基于样条函数改进的傅里叶积分重建算法研究*

于 雪，孙兴伟，董祉序，刘 寅，杨赫然,吴翔恂

(1.沈阳工业大学 机械工程学院，辽宁 沈阳 110870；2.辽宁省复杂曲面数控制造技术重点实验室，辽宁 沈阳 110870；3.沈阳工业大学 软件学院，辽宁 沈阳 110870)

0 引言

在过去的几十年中，由梯度离散数据集合恢复表面轮廓高度等方法的发展受到了广泛的关注，这种方法可以应用于从阴影中恢复形状[1]、生成全景图像[2]、编辑数字图像[3]、高动态范围压缩、人脸识别、医学成像、自适应光学中的波前估计[4]以及梯度积分重建[5]等方面。这些应用中的一种典型的方法就是生成所需图像或表面的梯度，由测量或计算得到的梯度离散数据集合恢复图像或重建表面。这主要通过二维积分来实现，主要的难点在于给定的梯度离散数据集合通常是不可积的。也就是说，任意闭合路径的积分都为零，且积分结果与路径无关。因此，从它们的梯度恢复表面或图像的典型方法是将给定的梯度投影到满足可积分条件的空间上。

基于离散傅里叶变换的积分重建技术主要是借助离散傅里叶变换于频域中进行波前重建[6]。但是，傅里叶梯度积分算法在频域中运行，可能会使梯度数据中一些像素存在丢失的情况。离散傅里叶梯度积分法可以提高重建精度，但对于非周期性的梯度数据，不能直接用来对表面或图像形貌重建[7]。针对这种情况，学者们提出可以使用迭代来进行离散傅里叶变换以解决梯度数据非周期性的问题[8]。

针对传统southwell模型及差分采样模型等精度不足等问题，本文提出一种基于样条函数改进的傅里叶梯度积分法。通过增加相邻四点的约束，对扩展后的梯度数据进行样条函数拟合。通过K阶多项式系数表示梯度数据，进而代入到southwell模型中，以此来改进该模型进行傅里叶积分重建时带来的精度不足等问题。

1 样条函数改进傅里叶积分理论模型

1.1 傅里叶积分法

傅里叶梯度积分算法运用二维离散傅里叶变换的相关理论，将梯度转换到频域中进行计算，再通过傅里叶逆变换得到重建面形。

为了计算f(x,y)曲面高度分布，利用积分算法构建一代价方程，使整体重建区域内重建后的梯度数据和已知待测梯度之间的误差趋于最小，如式(1)所示：

(1)

其中：W为重建后的梯度数据和已知待测梯度之间的误差；zx、zy分别为重建面型沿两个垂直方向上的偏导数；g、f为对应方向上的测量梯度值。

公式(1)表明，待测表面重建后结果最优时，重建表面的梯度数据与已知待测梯度误差最小。

(2)

由式(2)可知，高度差可表示为：

(3)

(4)

对表面展开系数进行二维离散傅里叶逆变换，即可得到曲面高度分布。

1.2 样条函数改进southwell模型

常见差分采样模型southwell 的梯度矩阵与高度矩阵大小一致，某点高度差可表示为：

(5)

其中：ΔZx、ΔZy为某点沿x、y方向高度差；fm,n、gm,n和Zm,n均为该数据矩阵在(m,n)点的数据；hx为x方向的相邻采样点距离；hy为y方向的相邻采样点距离。

将表面梯度按x与y方向分别进行样条函数曲线拟合，则表面高度差可表示为：

(6)

其中：cm,n,k为梯度数据的样条拟合曲线的k阶分段多项式系数；Δgm,n为x方向梯度差，Δfm,n为y方向梯度差。为使拟合梯度满足重建精度要求，并节省计算资源，本文取3阶样条函数(K=3)进行拟合。

1.3 梯度数据的周期性扩展

对于傅里叶梯度积分重建算法，积分面型需满足周期性条件。因此对所测梯度数据进行扩展，以满足后续差分数据的周期性条件,如式(7)所示：

(7)

其中：fliplr(·)表示矩阵的列在左右方向上翻转，flipud(·)表示矩阵的行在上下方向上翻转。

由此，积分重建算法步骤可分为以下几部分：

(1) 式(7)中的符号Z表示扩展的g、f梯度数据。将梯度数据g、f分别按式(7)进行扩展以满足傅里叶积分重建的周期性条件。

(2) 扩展后的g、f分别按行按列以相邻四个梯度数据为一组进行曲线拟合，求得k阶分段多项式系数cm,n,k。

(3) 根据式(6)计算表面差分分布ΔZx、ΔZy。将得到的差分数据进行快速二维离散傅里叶变换。将离散后的差分数据代入式(4)求得曲面频域中的表面展开系数。

2 曲面重建与精度分析

使用基于传统southwell模型以及差分采样模型的梯度积分法进行高度重建，其结果与本文基于改进southwell模型重建的高度进行比较，采用均方根误差进行精度分析。

给定一理想曲面为：

(8)

重建后，理想曲面高度与使用传统southwell模型、差分采样模型与改进southwell模型重建高度的分布如图1所示。

图1 重建高度分布图

三种模型重建高度与理想曲面高度数据对比，其误差分布如图2所示。

图2 重建表面的误差分布

采用传统傅里叶梯度积分法进行高度重建，使用模型为southwell模型，重建后其均方根误差为0.106 0 mm。使用差分采样模型对曲面进行重建，均方根误差为0.071 7 mm。使用本文提出的一种基于样条函数展开的傅里叶梯度积分法对southwell模型进行改进，增加相邻高度点的约束，重建后均方根误差为0.009 2 mm。由此看出，改进的基于样条函数的傅里叶梯度积分法具有较高重建精度。

3 结论

本文提出了一种基于样条函数改进的傅里叶梯度积分法。通过对曲面梯度数据的求取，对其进行周期性的扩展，针对传统southwell模型精度不足的缺点，以样条函数对扩展后梯度数据进行曲线拟合，再以传统southwell模型代入，求得新的高度差分布。由高度差与曲面展开系数在频域中建立联系，得到频域中的曲面展开系数。最后对曲面展开系数进行二维离散傅里叶逆变换，保留其实部，从而得到表面高度。与傅里叶积分法使用的传统southwell模型及差分采样模型相比，改进的算法具有相邻四点的约束且具有更高的精度。在已知图像及物体表面梯度后，能更好地重建物体。