傅里叶非圆齿轮驱动导条机构设计及其分析

陶德华，李 凝，胡礼广，王 笑

(浙江师范大学行知学院，浙江 金华 321100)

粗纺梳毛机成形装置是将搓板输出的粗纱绕成具有一定厚度的粗纱饼，其成形形状直接影响后续细纱机的喂入[1-2]。该成形装置运动由导条的直线往复运动和滚筒的回转运动组成[2-3]。为得到较高质量的粗纱饼形状，梳毛机成形装置的导条构件需满足在一定动程范围内作匀速往复直线运动的性能要求[4]。目前常采用阶数比1∶1的椭圆齿轮、传动比为2∶1的圆柱齿轮和正弦机构的组合机构[5]驱动导条作往复直线运动，实现了较为平稳的导条运动，在一定程度上改善了粗纱饼的成形形状，但仅采用椭圆齿轮驱动导条，其导条运动规律并不能满足理想的导条运动规律，且椭圆齿轮后一级为传动比为2∶1的圆柱齿轮，结构复杂，严重影响整体传动性能。

针对以上问题，本文运用一阶变性傅里叶及其二阶共轭非圆齿轮[6]与正弦机构的组合机构，使得导条构件在较长动程范围内实现等速的往复直线运动，建立机构的运动学数学模型，并利用MatLab编写机构运动学特性辅助分析软件，利用改进的遗传算法[7]对机构进行优化运算，优选出一组较优参数，通过虚拟样机仿真试验验证所建立的运动学分析模型的正确性。

1 导条机构工作原理

新型导条机构工作原理如图1所示，该机构由1对一阶及其二阶变性傅里叶级数型非圆齿轮副[6]和正弦机构串联组合而成。动力源由轴O1传入，驱动主动变性傅里叶齿轮“1”作匀速转动。通过齿轮啮合传动，将动力传输给从动非圆齿轮“2”上。由非圆齿轮传动特性[6]知，从动非圆齿轮“2”作非匀速转动，同时带动固联于其上的曲柄“3”作非匀速转动，动力经由滑块“4”，驱动导条“5”作往复直线运动。

1—一阶主动变性傅里叶齿轮；2—二阶从动非圆齿轮；3—曲柄；4—滑块；5—导条。图1 非圆齿轮—正弦机构式驱动机构示意图Fig.1 Diagram of non-circular gear sine-mechanism of driver mechanism

2 导条机构运动学方程的建立

为便于分析，以铰链O1、O2为原点分别建立坐标系xO1y和x′O2y′，并将涉及到的机构参数及相关含义列于表1中。

表1 相关参数Tab.1 Related parameters

2.1 一阶及二阶共轭变性傅里叶级数型非圆齿轮副

傅里叶型非圆齿轮副如图2所示。

1—一阶主动变性傅里叶齿轮；2—二阶共轭从动非圆齿轮。图2 非圆齿轮机构Fig.2 Non-circular gears mechanism

依据高阶非圆齿轮节曲线及变形非圆齿轮节曲线生成原理[6]，得到一阶主动变性傅里叶级数型节曲线数学模型表达式为：

式中：a0、a1、b1、a2、b2为傅里叶函数的参数，m11为第1段变性系数，m12为第2段变性系数，其数值大小满足等式m12=m11/(2m11-1)。

根据非圆齿轮传动特性[8]，得到一阶变性傅里叶及其二阶共轭非圆齿轮节曲线应当满足的封闭条件：

(2)

式中：σ1=m11φ1，σ2=m12(2π-φ1)，a为非圆齿轮副中心距，其值采用辛普森公式[9]进行求解可得到。

二阶共轭从动非圆齿轮节曲线数学方程为：

(3)

2.2 正弦机构运动学模型的建立

正弦机构[10]见图3,其曲柄与从动齿轮固联，即二者旋转中心同为O2，曲柄与从动齿轮的角速度相等。

图3 正弦机构示意图Fig.3 Piagram of sine mechanism

若设定机构初始位置为导条处于最大位移处(图3虚线所处位置)，由正弦机构几何数学关系可知，正弦机构各构件在坐标系x′O2y′中的坐标值推导过程如下：

滑块4上A点的位置坐标可表示为：

(4)

由于导条“5”作往复直线运动，即yB=yC，导条“5”上B点的位置坐标可表示为

xB=xA

(5)

导条“5”上C点的位置坐标可表示为：

xC=xA-lBC

(6)

则导条位移s方程可表示为：

s=l1cosφ1

(7)

(8)

(9)

3 导条机构运动学仿真分析软件

基于所建立的导条机构数学模型，利用MatLab编写了傅里叶非圆齿轮驱动导条机构设计分析软件，如图4所示。通过人机交互，输入机构的设计参数包括傅里叶级数型非圆齿轮参数：a0，a1，a2，b1，b2，m11，n1(主动轮阶数)，n2(从动轮阶数)；正弦机构参数l1,yc,lBC,点击按钮，软件自行计算导条运动特性曲线，并进行模拟仿真检查干涉情况。

图4 傅里叶非圆齿轮驱动导条机构设计分析软件Fig.4 Analysis and design software of sliver guide mechanism driven by fourier noncircular gear

4 参数优化

4.1 参数优化

依据粗纱成形为粗纱饼的纺织工艺[1]，导条构件需满足在一定动程范围内实现等速导条性能要求，本文采用一阶及其二阶共轭傅里叶级数型非圆齿轮副[6]与正弦机构的组合传动，来实现导条的近似等速运动。利用改进的遗传算法[7]对该机构进行优化运算，以导条等速运动特性为目标函数，以非圆齿轮传动特性为约束条件，搜寻满足粗纱梳毛机成形机构运动特性的机构参数。

根据粗纱梳毛机成形装置的工艺特性[1-3]，设定导条的最大位移量smax=40 mm，正弦机构中曲柄长度l1=20 mm，yC=40，lBC=50 mm。

利用改进的遗传算法[7]优化时，基本参数选择如表2所示。

表2 相关参数Tab.2 Related parameters

具体优化过程如下：

(10)

式(10)即为建立的目标函数。

②优化参数的建立。分析导条机构数学模型，可知导条的运动特性取决于非圆齿轮副参数，因此优化参数方程为：

xp=[a0,a1,a2,b1,b2,m11]

(11)

③约束方程的建立：为保证非圆齿轮副传动平稳，非圆齿轮应满足保凸性要求[8-9]，即建立的约束方程为：

(12)

4.2 优化结果与分析

采用改进的遗传算法优化得到结构参数并圆整，其优选结果为：

(13)

将优选出的结构参数输入图4的运动学分析软件中，输出导条速度曲线如图5所示，导条在动程内实现近似等速的运动规律。将优化得到的非圆齿轮设计参数代入齿廓生成程序，得到非圆齿轮廓线，如图6所示。由图6可清楚看到非圆齿轮齿廓啮合良好，无根切现象。

图5 优选参数下导条速度曲线Fig.5 Guide speed curve under optimized parameters

图6 优选参数下非圆齿轮副Fig.6 Non circular gear pair under optimal parameters

5 虚拟样机试验结果对比

优化得到粗纱梳毛机成形机构参数后，利用SolidWorks三维实体建模软件[12]建立机构的三维实体模型，并进行虚拟装配及干涉检验，结果表明所建模型并无干涉现象。将机构总装配体导入Adams多体动力学分析软件[13]进行虚拟样机试验，试验后处理界面如图7所示。图7中右侧为导条的速度曲线，可见优化参数下的导条机构满足在一定动程范围内作匀速导条运动的性能要求[4]。

图7 虚拟样机仿真试验后处理界面Fig.7 Post processing interface of virtual prototype simulation test

将虚拟仿真试验得到的导条速度曲线与理论分析结果比较分析，如图8所示，结果显示二者速度曲线基本吻合，验证了所建立的数学模型的正确性。但虚拟仿真试验结果曲线存在明显抖动，其主要原因有：①非圆齿轮在建模过程中采用样条曲线拟合，存在建模误差；②虚拟样机仿真试验时，添加了零件的材料属性，而理论分析结果为理想状态下的导条速度曲线。

图8 导条速度曲线对比图Fig.8 A comparison of guide speed curve

6 结 论

本文在建立傅里叶非圆齿轮驱动的导条机构的数学模型的基础上，利用MatLab编写了机构的运动学特性辅助分析软件，在研究粗纱梳毛机成形装置的工艺特性的基础上，利用遗传算法对提出的傅里叶非圆齿轮驱动的导条机构进行优化求解，得到相应的结构设计参数，建立三维实体模型之后，进行虚拟样机试验，并将理论分析结果与虚拟样机试验结果进行比较分析，得到以下结论：

①运用一阶变性傅里叶非圆齿轮及其二阶共轭齿轮和正弦机构的组合传动来实现导条构件在一定动程内作等速运动规律，结构简单，运动平稳。

②建立傅里叶非圆齿轮驱动的导条机构的数学模型，利用MatLab编写机构的运动学特性辅助分析软件，为后续导条机构的设计分析提供方便、快捷的分析平台。

③利用遗传算法对机构进行优化运算，根据优选出的结构参数进行结构设计，虚拟样机仿真试验得到的结果与理论分析结果基本吻合，验证了机构设计的合理性及所建立的数学模型的正确性。