流体-孔隙介质界面震电反射和透射系数的简化表达式

段韵达， 胡恒山

哈尔滨工业大学航天科学与力学系， 哈尔滨 150001

0 引言

地下和海底岩石都是孔隙介质.孔隙流体中存在的净剩电荷形成扩散层，而相应异号电荷在固体壁面形成吸附层(Stern，1924)，地震波经过孔隙介质时扩散层相对吸附层运动从而引起电磁波的现象即震电效应(Haines et al.，2007).在孔隙介质的震电耦合波理论建立前，Biot(1956a,b, 1962)导出了孔隙介质中声波的控制方程组(Biot方程组)，揭示了孔隙介质中存在三类弹性波：快纵波、慢纵波和横波.Pride(1994)利用体积平均法导出了描述孔隙介质震电效应的弹性波-电磁波耦合的方程组(下文称之为Pride方程组).当动电耦合系数等于零时，Pride方程组解耦为关于孔隙介质弹性波的Biot方程组和关于电磁场的麦克斯韦方程组.Pride和Haartsen(1996)在无限大介质中求解了Pride方程组，揭示出孔隙介质中存在四种体波，分别是电磁波、快纵波、慢纵波和横波，每一种体波均引起电场、固相位移和渗流位移.特别的，快纵波、慢纵波引起电场，而横波引起磁场和微弱的电场.

震电耦合效应受到了地球物理界的关注.Zhu等(1999)提出震电测井的方法，即充流体井孔中声源激发声场，在井轴上接收来自孔隙地层的反射电磁场.胡恒山和王克协(1999)推导了孔隙地层包围的充流体井孔中点声源引起的井内、外震电波场表达式，并对井内震电波场的进行了数值计算(胡恒山和王克协，2000)，结果表明伴随声波传播的电场中纵波的电声比最大，斯通利波次之，横波最小.Wang等(2015)在实验室的模型井中测量了震电信号，结果表明他们所测的电声比与胡恒山和王克协(2000)一致，并且震电波场比声场对渗透率和孔隙度更为敏感，从而震电测井方法有望用于探测储层渗透率和孔隙度.除了井孔模型中的震电波场，水平分层模型中的震电波场也受到许多学者的关注.Haartsen和Pride(1997)推导了爆炸源在水平分层孔隙地层中引起的震电波场，计算结果表明来自界面的辐射电磁场的幅度随着远离界面迅速减小，因而测量辐射电磁场的仪器不应布置在远离界面地方.Garambois和Dietrich(2002)数值计算了地震波通过水平分层孔隙地层时引起的界面电磁波场，结果表明界面电磁波主要对界面的孔隙度、渗透率、流体电导率和流体黏度的差异敏感.Haines和Pride(2006)通过有限差分方法数值模拟了地震波通过水平分层孔隙地层时引起的界面电磁波场，结果表明当地层厚度小于地震波长的二十分之一时，薄层引起的界面电磁波明显强于单个地层界面引起的界面电磁波.Haines等(2007)针对水平分层孔隙地层，进行了离线几何测量(源与接收器阵列不共线，相当于井间测量)和共线几何测量(源与接收器阵列共线，相当于地震勘探测量)的模型实验，并与有限差分的模拟结果进行了比较，结果表明离线几何测量更有利于分离界面电磁波和同震电磁场.天然地震时，可能由于岩石动电效应引起同震电磁信号，Gao和Hu(2010)推导出了地震双力偶点源引起的电磁场；Hu和Gao(2011)模拟了竖直走滑断层的电磁响应.

流体-孔隙介质界面是海洋地震勘探领域中常见的介质界面.Gao等(2017a)研究了流体中爆炸源对流体-海底界面的震电响应，导出了流体和海底介质中震电波场的表达式，数值计算表明气枪震源引起的震电响应的量级达到了仪器可测的程度，从而震电效应有望用来勘探海底储层.由于球面波可以展开为平面波(Aki and Richards，2002)，所以平面波入射流体-孔隙介质界面的震电响应模型有着重要的实际意义.Stoll和Kan(1981)基于Biot方程组和边界连续条件，导出了流体中的声反射系数和固体中的声透射系数，其中固体中的三类弹性波(快纵波、慢纵波和横波)都是非均匀平面声波.崔志文等(2002)简要介绍了流体-孔隙介质界面上的折、反射问题的研究情况.崔志文等(2004)研究了流体饱和孔隙介质中非均匀平面声波的能量特征，给出了Biot孔隙介质中的能流表达式，数值研究了界面上的干涉能流特征.崔志文等(2011)进一步研究了流体饱和孔隙介质中非均匀震电平面波的能流特征，导出了非均匀震电平面波的能流表达式，讨论了非均匀震电平面波的能量特征.Schakel和Smeulders(2010)基于全耦合的Pride方程和边界条件导出了流体-孔隙介质界面的震电反射和透射系数，并讨论了震电反射和透射系数对地层参数的敏感性.然而，他们给出的震电反射和透射系数是通过数值求解弹性波-电磁波耦合的6×6线性方程组获得的，从该方程组中难以看出震电反射和透射系数与孔隙介质中三类弹性体波的物理联系和数值关系.特别的，接收器一般布置在流体中，如果反射电磁波与孔隙介质中三类弹性体波的物理联系能够直接体现在震电反射系数中，则地下和海底储层的参数反演就有了清晰的思路.因此，本文推导流体-孔隙介质界面的震电反射系数和透射系数的简化表达式，以便实现震电波场的简化计算并为储层参数反演提供思路.

1 震电反射和透射系数的推导及化简

图1 流体中平面声波入射引起的反射波和透射波示意图Fig.1 Schematic diagram of reflected and transmitted waves caused by a plane acoustic-wave from fluid

本文考虑的平面波入射平面界面模型中，入射波、反射波和透射波既可是均匀平面波，也可是非均匀平面波，这样不仅能描述均匀平面波入射平面界面的情况，而且能描述球面波入射平面界面的情况(球面波可以展开为均匀平面波和非均匀平面波).对于均匀平面波入射而言，入射角是实数，对于非均匀平面波入射而言，入射角是复数.图1是流体中平面声波入射引起的反射波和透射波示意图，其中e和em分别表示流体中的反射电磁波和孔隙介质中的透射电磁波，p1、p2和sv分别表示孔隙介质中快纵波、慢纵波和横波.

1.1 Block的震电反射和透射电磁波的电场式

在推导震电反射和透射系数前，我们先简要介绍前人给出的震电反射和透射电磁波的电场式.Block(2004)忽略转换电场对声场的影响，利用解耦的Pride方程组和电磁边界条件，导出了平面波从流体入射孔隙介质界面的震电反射和透射电磁波的电场表达式(为了便于推导，省略了时间简谐因子exp(-iωt))：

×exp[ike(xsinθe-zcosθe)]，

(1)

×exp[ikem(xsinθem+zcosθem)]，

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

其中η、L和κ分别为黏滞系数、动电耦合系数和渗透率，θp1、θp2和θsv分别为快纵波、慢纵波和横波的透射角，wp1、wp2和wsv分别为快纵波、慢纵波和横波的渗流位移的幅度系数(即渗流位移中除去方向向量和简谐因子部分)，ks表示孔隙介质中的横波波数.我们注意到，Block(2004)文中式(4.48b)分子中的θe应写为θem，这里的式(6)中已更正.

1.2 震电反射系数

本小节将利用震电反射系数的定义式和Block给出的反射电磁波的电场式，先推导震电反射系数，然后基于一定的前提条件，将其化简为简化表达式.

1.2.1 震电反射系数的推导

流体中反射电磁波的电场可以写为：

(8)

其中：

ψe=Aeexp[ike(xsinθe-zcosθe)]，

(9)

这里的ψe是与反射电磁波的电场有关的矢量势，在本文中简称其为“反射电磁波的电势”，但物理意义并不是静电场中的电势.

震电反射系数定义为反射电磁波的电势与入射声波的位移势在界面入射点处的比值：

(10)

其中ψe为流体中反射电磁波的电势，φf为流体中入射声波的位移势，z=0表示入射点位于界面z=0上.

将式(1)和式(9)代入式(8)可得：

(11)

将式(9)、(11)、(3)代入式(10)可得：

(12)

再将式(5)和式(6)代入式(12)得：

(13)

(14)

(15)

(16)

其中φp1、φp2和ψsv分别为快纵波、慢纵波和横波的位移势函数，αp1、αp2和αs分别为快纵波、慢纵波和横波的渗流位移与固相位移之幅度比(Pride and Haartsen，1996；胡恒山，2000)，Tp1、Tp2和Tsv分别为快纵波、慢纵波和横波的透射系数.

将式(14)—(16)代入式(13)得震电反射系数：

(17)

式(17)中声波与电磁波的物理参数是解耦的，在给定介质参数和入射角且已知三类弹性体波的透射系数时，由式(17)就能直接计算出震电反射系数.式(17)中快纵波、慢纵波和横波的透射系数可通过Biot方程组和声场边界条件求解(见附录A).由于Block给出的反射电磁波的电场式是在转换电场对声场的影响可忽略的条件下导出的，所以式(17)成立的条件是：弹性波引起的电磁场对弹性波本身传播的影响可以忽略，而这种影响在地球物理问题中都是可忽略的(Hu and Liu，2002；Haines and Pride, 2006；Guan et al., 2018)，因此式(17)适用于地球物理问题.数值计算表明式(17)与Schakel和Smeulders(2010)给出的震电反射系数一致(即式(17)对于所有入射角都成立)，但式(17)比Schakel和Smeulders(2010)给出的震电反射系数要明确得多，因为他们的方法必须求解弹性波与电磁波耦合的6×6线性方程组，难以从中看出孔隙地层中三类弹性波引起反射电磁波的物理因素.因式(17)中含有透射角、反射角以及快纵波、慢纵波、横波和电磁波的波数，形式仍不够简洁，所以我们将对震电反射系数式(17)进步一步化简.

1.2.2 震电反射系数的简化表达式

在化简震电反射系数式(17)前，还需引入一定的前提条件.从电磁波数远小于声波波数的角度考虑，假定电磁波数也远小于界面的切向波数，即：

|ke|≪kr, |kem|≪kr，

(18)

其中kr为界面的切向波数(式(17)在直接坐标系和圆柱坐标系下的表达相同，但使用圆柱坐标系更便于描述任意方向入射的平面波，所以这里把切向波数写为了kr，下标r的含义是任意径向方向，且r轴位于oxy面内)，kr可写为(Brekhovskikh，1960)：

kr=ksinθ，

(19)

(20)

式(17)中的三角函数可以写为：

(21)

(22)

其中kp1、kp2和ks分别为孔隙介质中快纵波、慢纵波和横波的波数.将前提条件式(18)代入式(22)得：

(23)

将式(21)和式(23)代入式(17)得：

(24)

将|kem|≪ks和|kem|≪kr代入式(24)得：

(25)

×[iαsTsv-(αp1Tp1+αp2Tp2)]，

(26)

其中σ、σf、ε和εf分别为孔隙介质的电导率、流体的电导率、孔隙介质的介电常数和流体的介电常数.由(26)可知，快纵波、慢纵波和横波都对震电反射系数有贡献，并且贡献形式都是透射系数与固-渗位移比的乘积，而动电耦合系数、电导率和渗透率以乘积形式作为一个整体出现在震电反射系数中.式(26)形式简洁，明确表达了孔隙地层中三类弹性波引起反射电磁波的物理因素，这为储层动电耦合系数、电导率和渗透率的反演提供了思路.

1.3 震电透射系数

1.3.1 震电透射系数的的推导

透射电势波的电场可以写为：

(27)

其中：

ψem=Aemexp[ikem(xsinθem+zcosθem)]，

(28)

这里的ψem是与透射电磁波的电场有关的矢量势，在本文中简称其为“透射电磁波的电势”，但物理意义并不是静电场中的电势.

震电透射系数定义为：

(29)

(30)

将式(2)和式(28)代入式(27)得：

(31)

将式(28)、(31)、(4)代入式(29)得：

(32)

再将式(5)和式(7)代入式(32)得：

(33)

将式(14)—(16)代入式(33)得震电透射系数：

(34)

式(34)中声波与电磁波的物理参数是解耦的，在给定介质参数和入射角且已知三类弹性体波的透射系数时，由式(34)就能直接计算出震电透射系数.由于Block给出的透射电磁波的电场式是在转换电场对声场的影响可忽略的条件下导出的，所以式(34)成立的条件是：弹性波引起的电磁场对弹性波本身传播的影响可以忽略，而这种影响在地球物理问题中都是可忽略的(Hu and Liu，2002；Haines and Pride, 2006；Guan et al., 2018)，因此式(34)适用于地球物理问题.数值计算表明式(34)与Schakel和Smeulders(2010)给出的震电透射系数一致(即式(34)对于所有入射角都成立)，但式(34)比Schakel和Smeulders(2010)给出的震电透射系数要明确得多，因为他们的方法必须求解弹性波与电磁波耦合的6×6线性方程组，难以从中看出孔隙地层中三类弹性波引起透射电磁波的物理因素.

1.3.2 震电透射系数的简化表达式

将式(21)和式(23)代入式(34)得：

(35)

将|kem|≪ks和|ke|≪kr代入式(35)得：

(36)

(37)

可见，震电透射系数的简化式(37)与震电反射系数的简化式(26)有相似之处，即快纵波、慢纵波和横波都对Tem有贡献，并以透射系数与固-渗位移比的乘积形式出现.

2 算例检验

图2 10 Hz下和Re随入射角的正弦的变化规律(a) 和Re的幅度比较； (b) 和Re的相位角比较.Fig.2 Variation of and Re as a function of the sine of the incidence angle under f=10 Hz(a) Comparison of the amplitudes of and Re； (b) Comparison of the phase angles of and Re.

图3 10 Hz下和Tem随入射角的正弦的变化规律(a) 和Tem的幅度比较； (b) 和Tem的相位角比较.Fig.3 Variation of and Tem as a function of the sine of the incidence angle under f=10 Hz(a) Comparison of the amplitudes of and Tem； (b) Comparison of the phase angles of and Tem.

图4 10 kHz下和Re随入射角的正弦的变化规律(a) 和Re的幅度比较； (b) 和Re的相位角比较.Fig.4 Variation of and Re as a function of the sine of the incidence angle under f=10 kHz(a) Comparison of the amplitudes of and Re；(b)Comparison of the phase angles of and Re.

图5 10 kHz下和Tem随入射角的正弦的变化规律(a) 和Tem的幅度比较； (b) 和Tem的相位角比较.Fig.5 Variation of and Tem as a function of the sine of the incidence angle under f=10 kHz(a) Comparison of the amplitudes of and Tem； (b) Comparison of the phase angles of and Tem.

简化式Re和Tem成立的入射角范围由前提条件式(18)的使用范围确定，而式(18)与式(20)等价，所以临界入射角为θc也可通过式(20)给出，而式(20)可改写为：

θ≫θc_e,θ≫θc_em，

(38)

其中θc_e和θc_em分别为反射电磁波和透射电磁波的临界角，分别写为：

(39)

其中c为流体中声波速度，μ为真空磁导率(流体和孔隙介质中的磁导率一般都近似为真空磁导率).由式(38)知，θc也应远大于θc_e和θc_em，从而θc可写为：

θc=n·max{θc_e,θc_em}，

(40)

值得一提的是，我们利用准静态电磁近似法(Hu and Liu，2002；Sava and Revil，2012；Gao et al.，2017b；Guan et al., 2018)也导出了简化表达式(26)和式(37)，但准静态电磁近似法无法定量解释为什么当入射角不是极其小时式(26)和式(37)才成立，因此本文未给出用准静态电磁近似法推导式(26)和式(37)的过程.本文方法包含两条前提假设，其一忽略转换电场对声场的影响(见前文对Block公式的介绍)，其二是前提条件式(18)，其含义是将电磁波视为倏逝电磁波(见式(18)到式(23)的分析)；准静态电磁近似法也包含两条前提假设，其一是忽略转换电场对声场的影响，其二是电磁波长远大于源距(源到接收器的距离)；可见本文方法与准静态电磁近似法只有一处不同，但这种不同只是表象，其实质上是相通的.因为倏逝波不可能在远离界面处存在，并且电磁波在水和固体中也不能传播很远，所以倏逝电磁波对应的源距不能太大，而这也就意味着源距不能大于电磁波长，因此本文方法与准静态电磁法物理含义相通，所以两种方法都可以导出简化式(26)和式(37).由于电磁波长远大于源距时准静态电磁近似法适用于震电测井和海洋地震勘探(Gao et al.，2017b；Guan et al., 2018)，而本文方法与准静态电磁近似法相通，所以电磁波长远大于源距时简化式(26)和式(37)也适用于震电测井和海洋地震勘探.

我以海洋震电模型为例说明简化式(26)和式(37)的用法，理论模型是球面波入射平面界面，将球面波展开为无穷多个均匀平面波和非均匀平面波(Aki and Richards，2002)，其中的非均匀平面波即倏逝波.当平面声波的入射角小于电磁波临界角时，引起均匀平面电磁波(包括反射和透射)，当平面声波的入射角大于电磁波临界角时，引起倏逝平面电磁波(传播方向与界面平行，幅度在垂直界面方向上随着离开界面的距离按指数规律下降).将因子i/kr分别乘以式(26)和式(37)可得反射和透射平面波表达式中的反射和透射系数(详见Aki和Richards(2002)中的BOX6.6).因简化式(26)和式(37)只能描述倏逝电磁波的反射和透射系数，所以均匀平面电磁波对全波的贡献被忽略了.当电磁波长远大于源距时，这种忽略是可行的，因为本文的方法与全耦合法的计算结果一致(全耦合法指基于完整Pride方程计算球面波入射流体-孔隙介质界面时引起的反射和透射电磁波场，见Gao等(2017a)).然而，当电磁波长小于源距或与源距在一个量级时，倏逝平面电磁波衰减严重，而均匀平面电磁波的贡献不可忽略，则可用式(17)和式(34)描述均匀平面电磁波的反射和透射系数(式(17)和式(34)对于极其小的入射角也成立).

3 孔隙介质中三类体波对震电反射和透射系数的影响

本节将研究孔隙介质中快纵波、慢纵波和横波对震电反射和透射系数的影响，以便为储层参数反演提供一定的思路.

3.1 渗流位移势与震电反射和透射系数的关系

注意到震电反射和透射系数的简化表达式(26)和式(37)中与快纵波、慢纵波和横波有关的量是以αiTi的形式出现(i=p1,p2,sv)，所以接下来将对αiTi进行处理.以αp1Tp1为例，αp1是快纵波的渗流位移势与固相位移势的比值(Pride and Haartsen，1996；胡恒山，2000)，有：

(41)

其中：

(42)

其中φw_p1为快纵波的渗流位移势，Aw_p1和Ap1分别为快纵波的渗流位移势和固相位移势的幅值系数.

快纵波的透射系数Tp1为：

(43)

其中φf为流体中入射声波的位移势，有φf=Afexp[ik(xsinθ+zcosθ)]，其中Af为入射声波的位移势的幅值系数.由界面处切向波数相等得kr=ksinθ=kp1sinθp1，将该式和式(42)代入式(43)得：

(44)

由式(41)、(42)和(44)得：

(45)

式(45)的形式也适用于慢纵波和横波，则式(26)和式(37)可分别改写为：

×(Aw_p1+Aw_p1-iAw_sv)，

(46)

(47)

3.2 渗流位移势对震电反射和透射系数的影响

本小节将通过算例研究快纵波、慢纵波和横波的渗流位移势对Re和Tem的影响.将式(46)写为Re=Re_p1+Re_p2+Re_sv，其中Re_p1、Re_p2和Re_sv分别为快纵波、慢纵波和横波的渗流位移势对Re的贡献；将式(47)写为Tem=Tem_p1+Tem_p2+Tem_sv，其中Tem_p1、Tem_p2和Tem_sv分别为快纵波、慢纵波和横波的渗流位移势对Tem的贡献.

图6比较了10 Hz下快纵波、慢纵波和横波的渗流位移势对|Re|的贡献，其中图6a比较了|Re_p1|、|Re_p2|、|Re_sv|和|Re|，图6b比较了|Re_p2+Re_sv|和|Re|.图6a表明当sinθ<1.25时，慢纵波的渗流位移势对|Re|的贡献最大，而sinθ>1.3时，横波的渗流位移势对|Re|的贡献最大；图6b表明快纵波的渗流位移势对|Re|的贡献可以忽略.图7比较了10 Hz下快纵波、慢纵波和横波的渗流位移势对|Tem|的贡献，其中图7a比较了|Tem_p1|、|Tem_p2|、|Tem_sv|和|Tem|，图7b比较了|Tem_p2+Tem_sv|和|Tem|.图7a表明当sinθ<1.25时，慢纵波的渗流位移势对|Tem|的贡献最大，而sinθ>1.38时，横波的渗流位移势对|Tem|的贡献超过慢纵波的渗流位移势对|Tem|的贡献；图7b表明快纵波的渗流位移势对|Tem|的贡献可以忽略.综上可知，在地震频率下(例如f=10 Hz)，快纵波的渗流位移势对震电反射和透射系数的影响可忽略，而这一现象未见前人报道.

图6 10 Hz下快纵波、慢纵波和横波的渗流位移势对|Re|的贡献(a) |Re_p1|、|Re_p2|、|Re_sv|和|Re|的比较； (b) |Re_p2+Re_sv|和|Re|的比较.Fig.6 Contributions of seepage potentials of the fast compressional wave, slow compressional wave and shear wave to |Re| under f=10 Hz(a) Comparisons of |Re_p1|, |Re_p2|, |Re_sv| and |Re|； (b) Comparison of |Re_p2+Re_sv| and |Re|.

图8比较了10 kHz下快纵波、慢纵波和横波的渗流位移势对|Re|的贡献，其中图8a比较了|Re_p1|、|Re_p2|、|Re_sv|和|Re|，图8b比较了|Re_p2+Re_sv|和|Re|.图8a表明当sinθ<1.25时，慢纵波的渗流位移势对|Re|的贡献最大，而sinθ>1.3时，横波的渗流位移势对|Re|的贡献最大；图8b表明快纵波的渗流位移势对|Re|的贡献可以忽略.图9比较了10 kHz下快纵波、慢纵波和横波的渗流位移势对|Tem|的贡献，其中图9a比较了|Tem_p1|、|Tem_p2|、|Tem_sv|和|Tem|，图9b比较了|Tem_p2+Tem_sv|和|Tem|.图9a表明当sinθ<1.25时，慢纵波的渗流位移势对|Tem|的贡献最大，而sinθ>1.38时，横波的渗流位移势对|Tem|的贡献超过慢纵波的渗流位移势对|Tem|的贡献；图9b表明快纵波的渗流位移势对|Tem|的贡献可以忽略.综上可知，在测井频率下(例如f=10 kHz)，快纵波对震电反射和透射系数的影响可忽略.此外，我们通过计算知在实验室超声频率下(例如f=0.5 MHz)，快纵波对震电反射和透射系数的影响也可忽略，但这里不再给出详细结果.

4 结论

本文利用Block(2004)给出的震电反射和透射电磁波的电场式，导出了震电反射和透射系数的表达式，在给定介质参数和入射角且已知三类弹性体波的透射系数时，就计算震电反射和透射系数.本文的震电反射和透射系数与前人的震电反射和透射系数的计算结果一致，对于所有入射角都成立.相比前人给出的震电反射和透射系数，本文的震电反射和透射系数表达式中声波与电磁波的物理参数是解耦的，表达式形式更为简单.

图7 10 Hz下快纵波、慢纵波和横波的渗流位移势对|Tem|的贡献(a) |Tem_p1|、|Tem_p2|、|Tem_sv|和|Tem|的比较； (b) |Tem_p2+Tem_sv|和|Tem|的比较.Fig.7 Contributions of seepage potentials of the fast compressional wave, slow compressional wave and shear wave to |Tem| under f=10 Hz(a) Comparisons of |Tem_p1|, |Tem_p2|, |Tem_sv| and |Tem|； (b) Comparison of |Tem_p2+Tem_sv| and |Tem|.

图8 10 kHz下快纵波、慢纵波和横波的渗流位移势对|Re|的贡献(a) |Re_p1|、|Re_p2|、|Re_sv|和|Re|的比较； (b) |Re_p2+Re_sv|和|Re|的比较.Fig.8 Contributions of seepage potentials of the fast compressional wave, slow compressional wave and shear wave to |Re| under f=10 kHz(a) Comparisons of |Re_p1|, |Re_p2|, |Re_sv| and |Re|； (b) Comparison of |Re_p2+Re_sv| and |Re|.

图9 10 kHz下快纵波、慢纵波和横波的渗流位移势对|Tem|的贡献(a) |Tem_p1|、|Tem_p2|、|Tem_sv|和|Tem|的比较； (b) |Tem_p2+Tem_sv|和|Tem|的比较.Fig.9 Contributions of seepage potentials of the fast compressional wave, slow compressional wave and shear wave to |Tem| under f=10 kHz(a) Comparisons of |Tem_p1|, |Tem_p2|, |Tem_sv| and |Tem|； (b) Comparison of |Tem_p2+Tem_sv| and |Tem|.

基于电磁波数远小于界面切向波数的前提条件，本文将震电反射和透射系数的表达式化简为了简化表达式.震电反射和透射系数的简化式中，与快纵波、慢纵波和横波有关的量均以透射系数与渗-固位移比的乘积的形式出现，而动电耦合系数、电导率和渗流率以乘积的形式作为一个整体出现.当入射角θ大于一个极其小的临界角θc时(即入射角不是极其小时)，震电反射和透射系数的简化式适用于地震、测井和实验室超声频段，其中θc不超过1.4°(对应f=10 Hz)，并且θc随着频率的增大而减小.快纵波、慢纵波和横波通过渗流位移势影响震电反射和透射系数；快纵波对震电反射和透射系数的影响可以忽略.本文导出的震电反射和透射系数的简化表达式，不仅可以简化震电波场的计算，而且明确表达了快纵波、慢纵波和横波引起反射和透射电磁信号的物理因素，从而为地下和海底储层的参数反演提供了思路.

附录A 透射系数的确定

忽略转换电场对声场的影响，则Pride方程组中的声场与电磁场解耦，从而声场部分可通过Biot方程组(Biot，1962)和声场边界条件独立求解，即得快纵波、慢纵波和横波的透射系数.流体-孔隙介质界面的声场边界条件为：

(A1)

其中ufz、uz、wz、pf、p、σzz和τzx分别是流体的法向位移、孔隙介质中固相的法向位移、孔隙介质中法向渗流位移、流体压强、孔隙流体压强、法向正应力和界面处切应力.

将Biot方程组(Biot，1962)代入边界条件式(A1)可得：

M·A=B，

(A2)

其中A是由反射和透射系数构成的向量(Rm为流体中声波反射系数，Tp1、Tp2和Tsv分别是快纵波、慢纵波和横波的透射系数)，B是源向量，它们写为：

(A3)

(A4)

其中：

m11=kz，m12=kp1_z(1+αp1)，m13=kp2_z(1+αp2)，m14=kr(1+αsv)；