数学中的真与美

/丘成桐

从古到今，无论是科技、数学或人文科学，内容愈来愈丰富，分支也愈来愈多。考其原因，一方面是由于工具愈来愈多，能够发现不同现象的能力也比以前大得多；一方面全世界的人口大量增长，不同种族、不同宗教、不同习俗的人在互相交流后，不同观点的学问得到融会贯通，迸出火花，从而产生新的学问。

数学之为学，有其独特之处。它本身是寻求自然界真相的一门科学，但数学家也如文学家般天马行空，凭爱好而创作，故此数学可谓是人文科学和自然科学的桥梁。

数学家研究大自然所提供的一切素材，寻找它们共同的规律，并用数学的方法表达出来。这里所说的大自然比一般人所了解的来得广泛。

我们认为数字、几何图形和各种有意义的规律都是自然界的一部分。我们希望用简洁的数学语言将这些自然现象的本质表现出来。

数学是一门公理化的科学，所有命题必须由三段论证的逻辑方法推导出来，但这只是数学的形式，而不是数学的精髓。大部分数学著作枯燥乏味，而有些却令人叹为观止，其中的区别在哪里呢？

大略言之，数学家以其对大自然感受的深刻程度，来决定研究的方向。这种感受既有其客观性，也有其主观性，后者则取决于个人的气质。气质与文化修养有关，无论是选择悬而未决的难题，或者创造新的方向，文化修养皆起着关键性的作用。文化修养是以数学的功夫为基础，自然科学为辅，但是深厚的人文知识也极为要紧。因为人文知识也致力于描述心灵对大自然的感受，所以司马迁写《史记》除了“通古今之变”外，也要“究天人之际”。

历代的大数学家如阿基米德、牛顿，莫不以自然为宗，见物象而思数学之所出，即有微积分的创作。费马和欧拉对变分法的开创性发明也是由于探索自然界的现象而引起的。

近代几何学的创始人高斯认为几何和物理不可分。他说：“我越来越确信几何的必然性无法被验证，至少现在无法被人类或为了人类而验证，我们或许能在未来领悟到那无法知晓的空间的本质。我们无法把几何和纯粹是先验的算术归为一类，几何和力学却不可分割。”

20世纪几何学的发展，则因物理学上重要的突破而屡次改变其航道。当狄拉克把狭义相对论用到量子化的电子运动理论时，发现了狄拉克方程，以后的发展连狄拉克本人也叹为观止，认为他的方程比他的想象来得美妙，这个方程在近代几何的发展中起着关键性的作用。

我们对旋子的描述缺乏直观的几何感觉，但它出于自然，自然界赋予几何的威力可说是无微不至的。

广义相对论提出了场方程，它的几何结构成为几何学家梦寐以求的对象，因为它能赋予空间一个调和而完美的结构。我研究这种几何结构垂三十年，时而迷惘，时而兴奋，自觉同《诗经》《楚辞》的作者，或晋朝的陶渊明一样，与大自然浑为一体，自得其趣。

捕捉大自然的真和美，实远胜于一切人为的造作，正如《文心雕龙》说的：“云霞雕色，有踰画工之妙。草木贲华，无待锦匠之奇。夫岂外饰，盖自然耳。”

在空间上是否存在满足引力场方程的几何结构是一个极为重要的物理问题，它也逐渐地变成几何中伟大的问题。尽管其他几何学家都不相信它存在，我却锲而不舍，不分昼夜地去研究它，就如屈原所说：

“亦余心之所善兮，虽九死其犹未悔。”

我花了五年工夫，终于找到了具有超对称的引力场结构，并将它创造成数学上的重要工具。

当时的心境，可以用以下两句来描述：

“落花人独立，微雨燕双飞。”

数学的文采，表现于简洁，寥寥数语，便能道出不同现象的法则，甚至在自然界中发挥作用，这就是数学优雅美丽的地方。

我的老师陈省身先生创作的陈氏类，就文采斐然，令人赞叹。它在扭曲的空间中找到简洁的不变量，在现象界中成为物理学界求量子化的主要工具，可谓是描述大自然美丽的诗篇，直如陶渊明“采菊东篱下，悠然见南山”的意境。

从欧氏几何的公理化，到笛卡尔创立的解析几何，到牛顿、莱布尼茨的微积分，到高斯、黎曼创立的内蕴几何，一直到与物理学水乳相融的近代几何，都以简洁而富于变化为宗，其文采绝不逊色于任何一个文学创作。它们轫生的时代与文艺兴起的时代相同，绝对不是巧合。

数学家在开创新的数学想法的时候，可以看到高雅的文采和崭新的风格。例如欧几里得证明存在无穷多个素数，开创反证法的先河。高斯研究十七边形的对称群，使伽罗瓦群成为数论的骨干。这些研究异军突起，论断华茂，使人想起五言诗的始祖苏李唱和诗与词的始祖李太白的《忆秦娥》。

我们现在来看另外一个例子，来解释数理与人文共通的地方：文学家和科学家都想构造一个完美的图画，但每个作者有不同的手法。

在汉朝，中国数学家已经开始研究如何去解方程式，包括计算立方根；到宋朝时，已经可以解多次方程，比西方早几百年，但解决的方法是数字解，对方程的结构没有深入的了解。

一个最简单的问题就是解二次方程：

x^2 + 1 = 0

这个方程没有实数解，事实上，无论 x 是任何实数，方程的左边总是大于零，所以这个方程式没有实数的解，因此中国古代数学家不去讨论这个方程式。

大约在四百多年前，西方数学家开始注意这个方程，文艺复兴后的意大利数学家发现它跟解三次和四次方程有关。他们知道上述二次方程没有实数解，就假设它还是有解，将这个想象中的解叫做虚数。

虚数的发现，可了不起得很！它可以媲美轮子的发现。有了虚数后，西方学者发现所有多项式方程都有解，而且解的数目刚好是多项式的次数。所以有了虚数后，多项式的理论才成为完美的理论。完美的数学理论很快就得到无穷的应用。

事实上，其后物理学家和工程学家发现虚数是用来解释所有波动现象最佳的方法，这包括音乐、流体和量子力学里面波动力学的种种现象。数论研究的重要部分是整数，但为了研究整数，我们不能避免地要大量用到复数的理论来帮忙。在 19 世纪初叶，柯西和黎曼开始了复变函数的研究，将我们的眼界由一维推广到二维，改变了现代数学的发展。

黎曼又引入了 Zeta 函数，发现了复函数的解析性质可以给出整数中的质数的基本性质。另一方面，他也因此开发了高维拓扑这个学科。

由于复数的成功，数学家企图将它推广，制造新的数域，很快就发现除非放弃一些条件，否则那是不可能的。但是哈密尔顿和凯利先生却在放弃复数域中某些性质后，引进四元数和八元数这两个新的数域。

这些新的数域影响了狄拉克在量子力学的构想，创造了狄拉克方程。从这里可以看到数学家和物理学家为了追求完美化而得到重要的结果。

其实物理学上很多伟大的发现，是伟大的科学家通过一些思考的实验和他们深入的洞察力得到的。

爱因斯坦创造广义相对论时，人类观察到的宇宙空间实在不大，他却得到数学家的大力帮助。

在爱因斯坦完成广义相对论后，魏尔和很多科学家开始融合引力场理论和电磁场理论，魏尔率先提出规范场的理论，经过十年的挣扎，才将麦克斯韦的电磁理论看作和广义相对论类似的规范场论，在物理学上，这是一个伟大的突破。

有趣的是，魏尔说：“假如理论和见到的现象界有冲突，而这个理论漂亮而简洁的时候，我宁愿相信理论。”这个看法对规范场理论的发展，有很大的帮助！

在这里，我们看到文学家和科学家类似的地方。狄拉克在完成他的方程后，他说他的方程比他自己更有深度，因为它优美地描述了基本粒子的性质，并在实验室中得到证明，有些性质是狄拉克在创造这个方程前没有办法想象的。这是科学创新中产生的一个奇妙的现象，我们用以了解真理的工具往往会带领我们向前，不断地向前摸索！

将一个问题或现象完美化，然后将完美化后的结果应用到新的数学理论，来解释新的现象，这是数学家的惯用手法，这与文学家有很多相似的地方，只不过文学家用这种手法来表达他们的感情罢了。

举例来说，在中国古代有很多传说，很多是凭想象，将得到的一些知识，循当时作者或当政者的需要而完成一些著作，所以我们看到东汉刘向父子作伪经，也看到《山海经》的写作，夸大地描述很多无法证明的事件。

中国诗词也有不少的例子。例如，李商隐和李白就创作了“锦瑟无端五十弦”和“白发三千丈”这两句夸大的诗句。在明清的传奇小说里，这种写法更加流行，《西游记》里面描述的很多事情只有很少部分是事实，《三国演义》里孔明借东风的事是作者为了夸大诸葛亮的能力而写出来的。

文学家为了欣赏现象或者舒解情怀而夸大而完美化，但数学家却为了了解现象而构建完美的背景。我们在现象界可能看不到数学家虚拟结构的背景，但正如数学家创造虚数的过程一样，这些虚拟的背景却有能力来解释自然界的奇妙现象。在数学家的眼中，这些虚拟背景，往往在现象界中呼之欲出。对很多数学家来说，虚数和圆球的观念都可以看作自然界的一部分。

现在粒子物理学里面有一个成功的理论叫做夸克理论，它和虚数理论有异曲同工之妙，人们从来没有看见过夸克，但是我们感觉到它的存在。

有些时候，数学家利用几千页纸的理论来将一些模糊不清的具体现象用极度抽象的方法去统一、去描述、去解释。这是数学家追求完美化的极致，值得惊奇的是，这些抽象的方法居然可以解决一些极为重要的具体问题，最出名的例子就是格罗滕迪克在韦伊猜想上的伟大工作。

物理学家在上世纪 70 年代引进的超对称也是将对称的观念极度推广，我们虽然在实验室还没有见到超对称的现象，但它已经引发了很多重要的物理和数学上的思维。

近代数学家在数学不同的分支取得巨大的成果，与文学家的手段极为类似。所以我说好的数学家最好有人文的训练，从变化多姿的人生和大自然界得到灵感来将我们的科学和数学完美化，而不是禁锢自己的脚步和眼光，只跟着前人的著作，做小量的改进，就以为自己是一个大学者。

中国数学家太注重应用，不在乎数学严格的推导，更不在乎数学的完美化，到了明清时期，中国数学家实在无法跟文艺复兴时期的数学家比拟。

有清一代，数学更是不行，没有原创性！可能是受到乾嘉考证的影响，大多好的数学家跑去考证《九章算术》和唐宋的数学著作，不做原创性的工作。和同一个时代，文艺复兴以后的意大利、英国、德法的学者不断尝试的态度迥异。找寻原创性的数学思想，影响了牛顿力学，因此产生了多次的工业革命。

到今天，中国的理论科学家在原创性方面还是比不上世界最先进的水准，我想一个重要的原因是我们的科学家在人文方面的修养还是不够，对自然界的真和美感情不够丰富！这种感情对科学家和文学家来说，其实是共通的。我们中华民族是一个富有感情和富有深度的民族，上述的文学家、诗人、小说家的作品，比诸全世界，都不遑多让！

但是我们的科学家对人文的修养却不大注意，我们管理教育的官员们却有很奇怪的教育政策，他们大概认为语文和历史的教育并不重要，用了一些浅显而没有深度的通识教育来代替这些重要的学问，大概他们以为国外注重通识教育的缘故吧。但这是舍本逐末的事情。

坦白说，我还没有看到过哪个有水准的国家和城市不反反复复地去教导国民们本国或本地的历史的。我的两个孩子在美国一个小镇读书，他们在小学、在中学将美国三百年的事情念得滚瓜烂熟！因为这是美国文化的基础。

我敢说：不懂或是不熟读历史的国民，他们必定认为自己是无根的一代。一般来说，他们的文化根基比较肤浅，容易受人愚弄和误导。这是因为他们看不清楚现在发生事情的前因后果。

史为明镜，它不单指出古代伟人成功和失败的原因，它也将千年来我们祖先留下来的感情传给我们，我们为秦皇汉武、唐宗宋祖创下的丰功伟绩感到骄傲，为他们的子孙走错的路而感叹！中国五千年丰富的文化使我们充满自信心！我们为什么不好好地利用祖先留给我们的遗产？

或许有人说，我不想做大科学家，所以不用走你所说的道路。其实这事并没有矛盾。当一个年轻人对自己要学习的学问有浓厚的感情后，学习任何学问都会轻而易举！至于数学和语文并重，则是先进国家（如美国等）一向认为理所当然的。美国比较好的大学收学生时都看 SAT 的成绩，最重要的部分，考的就是语文和数学。

除了考试以外，美国好的中学也鼓励孩子多元化，尽量涉猎包括人文和数理的科目。美国有很多高质量的科普杂志，销量往往都在百万本以上。而中国好的科普杂志不多，销量也少得可怜，从这点就可以看到中西文化的异同，希望我们会逐渐改进！

我在中国博物馆看到罗丹的遗嘱，在这遗嘱里我们看到雕塑家和科学家有着相同的目标。节录如下：

生在你们以前的大师，你们要虔诚地爱他们。

可是要小心，不要模仿你的前辈。尊重传统，把传统所包含永远富有生命力的东西区别出来——对“自然”的爱好和真挚，这才是天才作家的两种强烈的渴望。他们都崇拜自然，从没有说过谎。所以传统把钥匙交给你们，依靠这把钥匙，你们能避开守旧的桎梏。也正是传统，告诫你们要不断地探求真实，并阻止你们盲从任何一位大师。

但愿“自然”成为你们唯一的女神。

对于自然，你们要绝对信仰。你们要确信，“自然”是永远不会丑恶的，要一心一意忠于自然。

在艺术家眼中，一切都是美的，因为他锐利的目光能够穿透任何人或物，发现其“性格”，换句话说，能够发现其外形下透露出的内在真理；而这个真理就是美的本身。虔诚地钻研吧，你们一定能找到美，因为你们将会发现真实。奋发地工作吧！要有耐心！不要指望灵感。灵感是不存在的。艺术家的优良品质，无非是智慧、专心、真挚、意志。像一个诚实的工人一样完成你们的工作吧。

在我看来，罗丹教导我们的，何止是艺术，他每一句话都可用在科研的创新上，我们用真挚纯朴的感情去找寻大自然的美丽、大自然的真实。

我们都感谢以前的大师，我们在他们的肩膀上向前摸索，但我们也知道他们的道路不是唯一的，让我们勇往直前，建立我们自己了解大自然的道路！