没有数学老师的数学课堂

2022-11-02 06:46吴丽玮
视野 2022年20期
关键词:大纲新西兰数学

/吴丽玮

具体可视的数学

我女儿五岁时进入新西兰一所小学读一年级。开学一个月后,她骄傲地向我宣布:“我在学校每天都只想学习,不想玩。”

我被她的说法逗笑了,问她为什么。“上课的时候有意思,在外面玩有时会想不出玩什么。”

她口中最好玩的课是数学。有一天回来她跟我说,偶数就是能找到朋友的数。至于什么是“朋友”,她突然眯起眼龇牙咧嘴地表演:“挤挤挤挤挤……”两只手分别把指尖攒在一起,像小鸡嘴似的往一块撞,“两个好朋友长得一模一样,它们挤挤挤挤挤,挤在一起就是偶数。”表演完她乐不可支,补充道,“这是多宾斯小姐教我们的动作,我们当时都笑得躺地上了。”

对于五岁的孩子来说,老师教他们“找朋友”显然比“能被2整除”要容易理解得多。但怎么知道一个数能不能找到一个一模一样的“好朋友”呢?这对他们有点难。

这是一年级的第三个学期。经过了从零开始的二十多周学习,学生们已经开始学习跳数计数,两个两个地数,五个五个地数,或者十个十个地数。为了能让他们数得更熟练,老师会找一些真人唱儿歌的视频或者动画,连续一星期的数学课上大家先要唱着数一遍。老师也会发信给家长说:“虽然我们不鼓励去背口诀表,但现在希望孩子们可以快速反应出2+2、3+3、4+4、5+5、6+6、7+7、8+8、9+9分别等于几,同时也能迅速回答4、6、8、10、12、14、16、18可以分成哪两个相等的数。”在这个基础上,才有了奇数与偶数的概念,以及“好朋友”的说法。

找“好朋友”的方法并不总是奏效。送孩子上学的路上,我经常会随口说一个数,让她报出奇偶,结果常常卡壳。“1、3、5、7、9结尾是奇数,2、4、6、8、0结尾是偶数。”这个简便方法我重复说了很多遍,但她依然记不住。

老师似乎看上去并不着急,也并不会使用死记硬背的方法让孩子掌握奇偶数这个概念,他们在学校依然在各种玩。

比如钓鱼游戏,每个人拿着带磁铁的鱼竿把池子里写着数字的鱼形纸片钓上来,再把它们分别放在奇偶数的框里。我看老师发来的视频,我女儿看着3犯难了,经过旁边一个同学的提醒,她跑去一张百数表上查询。每行十个数字,一共十列,奇数列是黑色,偶数列是红色。当她跑去查看的时候,老师夸奖道,“去查表是很棒的”。

还有一个“宾果”游戏是全班同学的挚爱。在白板上写下四个数字,如果跟老师报出的数字一致就可以画去,全部都画掉后就高喊“Bingo”,取得胜利。老师会在学习跳数、“找朋友”和奇偶数时相应地变化口令,让孩子做出识别。

一年级的一个重要任务是认识位值,一组有顺序的数字里,每一位分别代表什么意思。老师会使用至少六七种方式让学生们认识位值,使用的教具也多极了。比如乐高块,一个两位数的数字,可以用几个十个一组的乐高块和几个单独的乐高块来表示?还可以使用叫“十框”的表格,每排五个格,把彩色圆片和方片以此填到格子里等等。

在使用教具认识位值的基础上,加减法的算法更是门类繁多。可以使用尺子形状的数值轴、乐高块、“十框”、百数表,还可以使用现在时髦的凑十法,当然,扳指头老师也不会干涉。

再比如认识平面和立体图形。老师在教室的各个区域分别摆上橡皮泥、透明塑料的图形、白板和iPad,同学们分组轮番尝试不同区域的活动,逐步建立起一些判断来,平面图形是立不起来的,立体图形各个方向可能会长什么样。

可视化学习是新西兰数学教学的常用方法。美国斯坦福大学教育学知名教授乔·博勒对视觉化思维在数学学习中的作用曾做过分析,大脑中的背视觉神经通路是数量运算的核心工作区域,孩子在进行数学运算时,大脑中会展现出一幅视觉图景,用形象的方式来解决抽象的数学问题。

我当然承认老师广泛提供可感可触材料的好处,可当一年级结束时,我看到依然有小朋友在扳着指头算一位数加减法,我还是觉得不太对劲。老师为什么不鼓励小朋友使用更有效率的方法?在这次采访时,我把这个问题提给了新西兰教育大纲数学部分的编写者文斯·莱特。

“从教育心理学上讲,联系已知内容进行理解是最容易的,所以在数学教学中联系实际会让孩子对学习更感兴趣。”莱特说道,但和其他科目相比,数学的独特性是最显著的,“在科学课里讲‘下落’的概念时,孩子可以明明白白地在现实生活中看到东西从上而下掉落。但数学不是这样,数学概念全部是人为创造出来的。现实中并不能直接找到‘三角形’,你只能是看到房顶的每个顶点在不同的位置,根据边角的位置关系来推测出它是一个‘三角形’。天气预报说今天有40%的概率会下雨,但你不能从现实中直接感受到40%是什么。我认为,从现实引入概念,只是理解数学的第一步,帮助学生在此基础上掌握数学概念才是数学老师面临的最大挑战。”

没有课本,没有考试和排名

新西兰的数学基础教育,可以用“毁誉参半”来形容。

一方面,它代表着新西兰教育大纲中最独特的部分。新西兰大纲的独特之处在于,只有教学目标和教师配套的指导用书,没有指定课本。按照大纲前言中的叙述,这是充分考虑未来社会对人提出的新要求所进行的设计,它的目标是使学生成为自信、连接、积极参与的终身学习者。每一个学生都是独特的,教学方法当然不一而足,老师不应局限在某一课本之上。新西兰因这一大纲面向未来的前瞻性,在一些国际机构评选的未来教育排名中始终名列前茅。与亚洲在数学教育上强调扎实的基本功和刻苦的练习相比,新西兰在数学上最能体现教育手段的差异性。

乔·帕特里克是奥克兰长湾小学副校长,她既是该校数学教研组组长,也是奥克兰大学教育学院计算能力教学培训师。作为一个有近40年教龄的资深教师,她亲身经历了新西兰在数学教育改革上的不断演进。帕特里克告诉我,虽然新西兰现有的教学大纲诞生于2006年,但在上世纪80年代中期,新西兰的学校已经在尝试使用一套名为“小学低年级数学”的新教育模式,“虽然那时候还有指定的课本,但所用的教材变得更宽泛了,这套模式也强调低年级学生的数学学习要围绕着活动的方式进行”。

1999年,奥克兰教育学院教授彼得·休斯在考察美国和澳大利亚的教育变革后,强烈建议新西兰教育部对本国的数学教育进行改革。帕特里克回忆说:“休斯博士根据国外的研究成果提出了很多建议,比如如何正确理解孩子在认识数字时的阶段性。”她说道,同样算出5+3的结果是8,但孩子们实际的计算能力却并不一定相同。“有的孩子无法把两组数连在一起,需要用两只手分别比出5和3,再从1开始,一个个地数下去,一直数到8。有的孩子已经有了集数的概念,他们知道两个数相加时,5是不变的,所以在5后面接着数出6、7、8。显然,会第二种方法比使用第一种的能力要强,那么接下来在学习9+6时,有集数概念的孩子更容易明白如何将数字重新组合,把9凑成10,再加上5。我在当时是不懂这二者的区别的,那时对教学有很多困惑,不明白为什么有的孩子总是计算上有困难。”帕特里克说,正是在这种新思想的推动之下,建构主义教育理论在新西兰流行起来,“比如苏联心理学家维果斯基的‘最近发展区’理论,老师们开始讨论如何识别孩子现在处在哪个发展区内,从而要给予他们与其能力最接近的教学资料,显然只使用一本固定的教材是远远不够用的”。

2018年,我在新西兰采访一个优秀的初中科技课老师,他的一番话给我留下了深刻的印象。“我觉得新西兰的教学大纲是世界上最好的,因为它给了老师极大的自由空间。”这位老师来自英国,以前曾是一名足球俱乐部的技术教练,在新西兰读了教育学位后成为中学教师。在成为专职的科技课老师之前,他当过七年级一个班的班主任,在没有课本的束缚之下,尽情发挥着自己的才智,帮助学生更好地理解数学。他给我举了一个例子,大纲中要求七年级某学期有三周的数学课学习测量,他组织全班同学分组把校园各个角落量了个遍,回到教室后大家把数据汇总起来,使用电脑软件把校园进行了复原。最终,他的班级在学期末的测评中,整体成绩增幅高出了同年级其他班一倍之多。

而另一方面,新西兰数学教育的有效性也饱受各方质疑。

新西兰教学大纲涵盖一年级到十三年级的基础教育全学段教学内容。它将教学阶段共分为八个级别,每个级别对英语、数学、艺术、自然科学、社会科学、体育等科目的教学目标进行逐个描述。考虑到学生的个体差异,这八个级别分别跨越不同年级,比如级别一覆盖到一至三年级、级别二覆盖到二至六年级、级别三覆盖四至八年级等等。

新西兰教学大纲中数学部分从第一级别开始,就分为了数字与代数、几何与测量、统计学三个门类。即便是面向一年级小学生,它也明显地体现出对于过程的重视,比如会用到“交流与解释”“翻译描述”“调查情况”等词汇,这也大大弱化了新西兰对于统一考试的重视程度。

新西兰小学低年级没有任何结构化的考试形式,每个学校三年级以上会有选择性地参加一些统一考试,但也不会作为评判的主要标准,因此也不会有排名,再加上没有课本,家长和社会公众想了解学校整体的教学进度和质量并不容易。

很多人把经济合作与发展组织每三年组织一次的PISA(Programfor International Student Assessment)国际考试作为评价标准,在这个面向各国15岁学生的标准化考试中,新西兰近几年表现不佳。2018年,新西兰学生的数学考试成绩排在37个国家中的第22位,引起了国内舆论强烈的批评。在那次考试中,数学排在第一位的是中国,但是仅有北京、上海、江苏和浙江四个省市作为代表参加。

作为大纲的编写者和数学教育专家,莱特对PISA考试的结果持有一分为二的态度:“它说明我们在教学中存在一些问题,比如对于运算等基础知识的掌握,这跟我们设立大纲的初衷是背道而驰的。大纲的灵活性让教师们都非常重视数学的应用能力,会设置很多场景来学习数学,但对于基本概念的要求,我认为是缺失的。这也是为什么今年我们要重新修订大纲,我们希望能将学习的目标更明确化,更有目标性。”

但莱特并不认为PISA的结果意味着新西兰数学教育的失败。“首先,新西兰提供的是全国普遍性的样本。而且新西兰一向不重视考试,所以不会对此做针对性的准备。很多能力是无法在统一的笔试过程中检验出来的,比如我们认为团队合作解决问题的能力很重要。”

虽然新西兰少有公开的考试,但老师对学生数学能力的评估却时时刻刻以察觉不到的方式进行着。

我曾经参观过惠灵顿一所名叫埃姆斯伯里的创新型学校,它们教学楼里班级之间不设围墙的教学环境非常有特色。在各个角落里,总是有很多孩子或者围着老师,或者自己进行着各种讨论和小组项目。

五年级的一个班级正在数学课上学习分数乘法。老师提出了一个问题:2/3+3/4的结果是多少?有的学生脱口而出:5/7。老师不动声色,接着问道:“你怎么向我证明这个答案是正确的?”接着,她安排学生们组成各个小组,进行分组讨论,“5/7到底对不对?如果不对的话,你认为答案应该是什么?”

分数是新西兰小学阶段数学的一大难题。在起步阶段,老师经常使用比萨教具来帮助学生理解抽象的分数,于是有的小组迅速开始在白板上画起了比萨图。2/3个比萨,加上3/4个比萨,两部分都超过了一个比萨的一半,加起来肯定大于1,所以5/7是错的。

但2/3+3/4究竟该怎么算呢?老师没有教学生使用最小公倍数对分母进行通分的方法,想得出结果全凭自己摸索。有的小组开始抓耳挠腮起来,有的小组陷入激烈的互相否定之中。老师在各个小组中间穿行,多数时候只是在一旁默默地听,一堂课就在没有主导的讨论中过去了大半。

针对这样的课堂教学模式,该校副校长德梅拉扎·托普告诉我,老师正在观察每一个小组是否在进行“富有产出的挣扎”过程。“富有产出的挣扎”指的是有助于解决问题的尝试和犯错的过程。“孩子们如果是尝试着这样或那样做,发现都不对;或者小组里有个人说,我们应该这么做,但另一个人反驳说,不对,然后讲出理由,这些情况都说明他们没有迷失方向,即便他们还没有找出正确的路线,但至少他们辨别出什么是错的,而且在进行着改变。”托普说,这是一种皮亚杰所说的“非平衡状态”,适度的挑战性会在一开始为学生带来焦虑感,但他们通过正确道路上的探索,很快就会期待通过问题的解决来获得成就感。在这种情况下,老师不会介入,避免对他们的思路进行干扰。

但老师如果看到小组进行的“无产出的挣扎”,它无助于问题的解决,老师应该迅速地加入讨论,“提问、启发,甚至是直接告诉他们,让他们回到正确的轨道上,能转换成‘产出挣扎’模式”。比如老师看到某个小组无从下手,提出了一个较为简单的问题,如何计算1/3+1/2?当在一块比萨上将需要计算的面积都涂上阴影之后,孩子们想到,可以用1减去最后那块没有阴影的部分。

一堂课下来,老师讲授知识点的时间非常有限,但托普却认为这是更高效的学习模式。“我们特别看重数学的小组讨论和互相学习。”她说道,“如果老师全程参与进去,就会变成专家式的‘你说我听’的过程。听的效率是很低的,因为往往是说话的那个人最聚精会神。而当孩子们自主讨论时,他们的参与感会非常强,形成的也是一个平等的会话模式,从别人那学习,相互帮助理解新的问题,并且会在合作中获得新的发现。”

而组织好小组讨论,也是一个成功数学老师的必备技能。“课讲得深入、善于启发等等,这都不能代表全部,倾听和观察同样也非常重要。老师观察着每个小组的讨论,记录下来每个孩子究竟理解了什么,在理解哪些概念上有困难,哪个孩子是需要在小组讨论时专门进行单独谈话的,‘我发现你在这个问题上有困难,不如我们试试先做这个练习,它对你有帮助’。”

“做好记录,追踪每一个孩子的学习进展是老师在教数学时特别重要的一项工作。”托普说,“这意味着老师并不需要总是给孩子做测验,通过每天的倾听和观察来了解孩子会了什么、不会什么。”

全科教师教数学

新西兰数学教育与中国的另一个显著的不同,是一般没有专职的数学老师,小学和初中往往都采用一个班主任教全部科目的形式。

取得教师资质的全科老师,往往学的是综合的教育学学科,而非数学专业背景,但全科老师模式依然被西方很多国家认为是更科学的。

王井健是奥克兰花园小学高年级班主任。他的本科就读于中山大学历史系,但这并不妨碍他顺利执教五、六年级的数学。“新西兰的教育大纲非常适合全科老师的教学。”王井健告诉我,“全科老师有两个最明显的优势。一是熟悉每一个学生的个性和学习特征,比数学单科老师更能安排适合每个学生的学习任务;二是更容易进行整体性教学,数学不一定只在数学课上,学习的方法会有很多。”

王井健说道,在他的班级里,每星期纯粹学习数学的时间可能只有60~90分钟,“其余都是综合性的学习”。比如学习分数,艺术课、音乐课、英语课都可以做出相应的安排。除此之外,学校每个学期都会制定一个主题,各个班级会依照这个主题制定小组项目,将学生本学期各科目的收获都有所囊括。比如,上学期学校的主题是“文化”,班上会围绕着什么是文化、不同民族有哪些文化、文化有怎样的表现等等展开活动。“我们的项目是要制作一种能够代表年级文化的食物,这个就涉及很多方面了。”王井健说,选择食物就要调查每个人的口味,会用到上学期所学的统计学概念,“高年级使用百分比,低年级会计算人数。在制作食物时会学习怎样通过食谱配比来调整具体的食材用量。”

但对一名新手全科老师来说,刚步入课堂一定会经历非常懵懂的状态。一位学校的数学教研负责人告诉我,她刚刚入职的前两年,几乎都不知道自己在教些什么。“会有一个有经验的老师来当我的导师,但没有课本确实挺难掌握方向的。”两年之后,她选择去伦敦进修,经过了多个学校的历练,才终于获得了教学的自信。

长湾小学副校长帕特里克每周都会在学校里为老师组织数学工作坊。“我们的工作坊首先是讲教学框架的,接着是关于各科目的具体指导。对于新老师来说,我的建议是不妨使用一些教材作为参考。学校在老师入职培训中发挥着非常重要的作用,但光靠一个学校的力量还是不够的。”

美国数学教育研究教授保罗·科布在研究系统如何促进数学教育质量时曾指出,很多国家的数学教学大纲大约都会以每十年更新一次的频率往前推进,“编写完,发现失败了,于是重新书写,结果又失败了,循环往复。问题其实并不出现在大纲制定上,而是国家的教学研究机构,它们没有花足够的力气把大纲向一线教师做出解释,从而让大纲成为有实践意义的参照”。

科布在对美国小学教师进行实证研究后指出,一个成功的大纲,应该让教师在课堂实践中能够向学生清晰地陈述出学习目标,具备让学生实现这些目标的指导性实践能力,同时拥有足够的资源,用持续性、有针对性的专业技术来指导课堂教学。同时,教师应该成长在以学校为单位的学习环境中,具有有效的测评手段获知哪些学生存在学习困难,并能够使用针对性的教育资源来帮助这些学生。

澳大利亚数学教师培训专家罗宾·怀特现在是新西兰一家教育机构的负责人。三年前,他受新西兰教育部之邀,来新西兰帮助教师提高数学教学能力,他以保罗·科布的实证研究为参考,以每年12次的工作坊形式为参与培训的数学老师们提供教学指导。“我们的培训有三个目标:让老师具备连贯的教学能力,形成集体合作的教研网络,同时帮助学校创建一个数学教研领导团队,每个学校的校长是帮助老师提高教学能力的最核心要素。”

“我的首要任务是让老师充分理解大纲。”怀特说,“即便是有15年或者20年教龄的老师,都可能存在不够了解大纲的问题。当我让他们去把大纲里的每个字都说出来时,他们会拍着脑门说:‘天哪,我竟然没有看到大纲中在这里写着要提高推断能力!’这是非常常见的问题,因为大纲可能在书写的时候不够清晰直白。”围绕着大纲,12次的工作坊培训每期都会有一个非常实用的主题,包括如何在不同的语境和语言能力下提高学生的数学认知能力、如何评估学生在每个学习阶段的能力水平、如何在鼓励学生自主探索时拥有课堂进度的控制能力、如何掌握提问的技术从而激活学生的思考和潜能的发挥、如何结合日常生活提高学生的计算能力等等。

2001年,美国数学专家基尔帕克里特和斯瓦福特等人出版了《加起来:帮助孩子学习数学》一书,书中提出了体现学生数学能力的五种技能,包括流利度、理解、解决问题、推理和富有成效的处置能力,它们成为世界很多国家进行课程设置时的重要参考。“这五个能力是相互联系、相互缠绕的。亚洲国家强调基础运算能力,澳大利亚大纲把‘有成效的处置问题能力’放在突出重要的位置,这些都是不正确的。”怀特说道,“我希望新西兰课程大纲的更新,能将数学能力的这几个方面做出清晰的表达,这样老师们才能在日常教学中把培养应用、建模等能力设计进去。”

该如何衡量新加坡的数学教学水平呢?教学百花齐放,并且没有看得见摸得着的能力测试,很难评说。但我想至少有一点能窥见新西兰数学教育的一个侧面。我在新西兰一个教育论坛搜索信息时,看到一篇文章被推荐阅读,推荐者说,作者使用的统计学方法非常有创见。我打开一看,有点吃惊。这是一篇医护工作者写的护理学主题的论文,用数学方法统计患者接受治疗的频次和强度与康复情况的关系。能够把数学知识应用到并不直接相关的自然科学主题之下,或许这就是莱特期待的新西兰学生该具备的数学能力。

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