基于响应面法和改进算术优化算法的抱杆优化设计*

陶 然，周焕林，孟 增，杨小猛

（合肥工业大学 土木与水利工程学院，合肥 230009）

引言

抱杆是组立特高压输电铁塔的重要施工设备[1].抱杆自重过大增加了制造和运输成本，加大了安装和拆卸的风险.目前，关于抱杆的研究包括力学性能分析和试验[2]以及可靠度优化设计[3].抱杆的设计一般参考抱杆规范[1]和起重机设计规范[4]，采用许用应力法确定荷载组合和安全系数，并进行有限元分析计算，根据计算结果对结构构件进行优化选型.目前，缺少针对大型空间杆系结构抱杆的优化设计方法研究.因此，研究抱杆优化设计方法，对抱杆的经济性和安全性具有重要意义.

优化方法包括经典的梯度类算法和新兴的元启发式算法.现代工程优化问题不仅涉及混合变量和多重约束，且大部分问题难以确定优化目标和约束条件与设计变量之间的函数关系.经典的梯度类算法解决这类问题时具有以下缺陷：①需要梯度信息来改进初始解；②要求设计空间连续；③容易陷入局部最优解.与梯度类算法相比，元启发式算法具有不受梯度信息限制、不受设计空间限制、全局搜索能力强等优点.因此，元启发式算法被广泛应用于各类复杂工程优化问题[5-8].算术优化算法（AOA）是由Abualigah 等[9]在2021 年提出的一种新兴的元启发式算法.AOA 结合算术运算符的特征构建优化策略，从一组候选解中确定符合特定标准的最优解.AOA 具有无需调整参数、收敛速度快的优点.尽管AOA 的性能较优，但根据“没有免费午餐（no free lunch，NFL）定理”以及Abualigah 等的分析[9-10]，仍有必要对AOA 进行改进以适应更复杂的优化问题.AOA 在处理高维等复杂优化问题时，存在求解精度较低，容易陷入局部最优的缺陷[11].因此，可以通过引入局部搜索技术，进一步增强算法跳出局部最优的能力，改善算法的求解精度[12].分数阶积分（fractional-order calculus）因其独特的记忆存储特性被引入演化算法[13-15].其中，Pires 等[13]将分数阶积分与粒子群算法结合，改善了算法的收敛性能.Mousavi 和Alfi[14]采用分数阶积分提取候选解的迭代信息改善了萤火虫算法的性能，并成功应用于混沌系统的参数辨识问题.Deshmukh 和Rani[15]利用分数阶积分增强了灰狼优化算法的收敛速度.因此，采用分数阶积分改进AOA 算法值得研究.

大型结构的优化设计通常无法确定可行域，导致优化需要大量结构分析，计算成本过高，而且部分非可行解可能会导致结构有限元分析的停滞，进而导致优化迭代的中断.代理模型方法通过少量样本信息，构建与原模型结果（数值分析或试验观测结果）相近的数学模型，可以极大地减小计算成本[16].经典的代理模型包括多项式响应面模型、径向基函数模型、Kriging 模型和人工神经网络模型等[17].

本文提出了一种改进的算术优化算法(IAOA)，引入分数阶积分改进AOA 的局部搜索能力，提高了算法的求解精度和收敛速度.采用响应面法(RSM)构建抱杆结构代理模型，将IAOA 与RSM 相结合，对抱杆结构进行优化设计.

1 AOA

AOA 包括初始化、探索和开发三个核心阶段.AOA 采用随机生成候选解的方式完成算法初始化.AOA 的探索和开发阶段分别对应两个运算符，即探索阶段对应于除法（÷）和乘法（×），而开发阶段对应减法（-）和加法（+）.

1.1 初始化

AOA 采用式（1）随机生成初始解X，其中N和d分别表示解的个数和维数：

1.2 探索阶段

AOA 的探索阶段利用除法和乘法算子生成高分布值，以达成算法在搜索域内进行全局探索的目标.AOA 探索阶段解的更新表达式为

1.3 开发阶段

AOA 的开发策略是利用减法和加法算子来获得分布密度低的值.AOA 的开发算子基于两种搜索策略对搜索区域进行深度探索，这两种搜索策略的模型如下：

当r3＜0.5 时，采用减法算子进行更新，反之则采用加法算子.

1.4 AOA 的优化流程

综上所述，AOA 的优化过程是从生成随机候选解开始的.在整个搜索过程中，每个新解都从最优解中获取信息进行更新.AOA 的优化流程如图1 所示.r1为随机数，当r1＜rMOA时，算法更新进入探索阶段；当r1＞rMOA时，算法则进入开发阶段.

图1 AOA 优化流程Fig.1 The optimization process of AOA

1.5 AOA 的计算复杂度

初始化过程、适应度函数评估和解的更新是影响AOA 计算复杂度的三个关键因素.初始化过程的复杂度为O(N)，其中N表示种群大小.更新解的复杂度为O(M×N)+O(M×N×d)，其中M表示迭代次数，d表示设计变量的维数.因此，AOA 的计算复杂度为O(N×(M×d+ 1)).

2 IAOA

2.1 基于分数阶积分的局部搜索策略

在AOA 中，对于全局最优解没有任何特定的更新策略.因此，对其进行改进可以改善算法的计算精度和收敛速度.分数阶积分对问题的真实响应具有较好的拟合性[18]，将其引入AOA 的开发阶段作为全局最优解的局部搜索策略，提出IAOA，利用迭代历史中全局最优解的信息对全局最优解进行更新.Grunwald-Letnikov（GL）分数阶积分[19]定义为

其中Dλ(xt)为λ 阶的GL 分数阶导数，Γ(·)表示Gamma 函数.在离散时间内，式(6)可改写为

其中T是采样周期，r是之前事件或记忆数据的项数，xt是离散变量.当λ=1 时，式(8)可以改写为

其中D1[xt]是相邻两次事件的差值.

为了采用分数阶积分的定义来增强算法的局部搜索能力，将式(9)与(5)结合，可得

将基于GL 定义的分数阶导数代入式(10)可得

利用式(8)中的GL 定义，可得T= 1 时式(10)的表达式：

由上式可得全局最优解的更新公式为

选择前三代历史数据更新当前全局最优解(r=3)，则

2.2 IAOA 的计算复杂度

AOA 的计算复杂度为O(N×(M×d+ 1))，IAOA 并未改变原算法的初始化过程，仅对每次迭代的当前全局最优解的更新方式进行了改进.由式（5）和（14）可知，新提出的当前全局最优解的更新方式并未增加新的循环计算.因此，IAOA 与AOA 具有相同的计算复杂度.

2.3 IAOA 的收敛性

元启发式算法收敛定义既可以针对个体，也可以针对整个种群.假设种群中某粒子在t时刻的位置为x(t)，xp为整个搜索空间内的某一任意位置，则粒子收敛定义如下[20]：

如果种群中的所有粒子都达到收敛，则整个种群也就不再变化，达到稳定状态，即算法达到收敛.相应地，xbest值也不再变化.IAOA 和AOA 相同，其开发策略是利用减法和加法算子来获得分布密度低的值，控制算法的收敛性能.由式（5）可得

与此同时，由式（4）可得

将式（17）代入式（16）可得

由式（18）可知，随着迭代的进行，IAOA 中的所有粒子最终收敛到全局最优粒子所在的位置，证明算法中的粒子最终达到稳定.

3 RSM

RSM 采用数学和统计技术寻找输出和输入数据之间的关系，并构造二者之间的显性函数表达式.针对结构优化问题，RSM 只需要一定数量的样本点和相应的响应值，拟合设计变量与结构性能指标之间的函数表达式，构造可供优化的代理模型，进而完成随机分析对有限元分析的替代.

结构设计变量X与结构性能指标y之间的关系可用下式表示：

其中yˆ(X)为响应函数，即响应面，δ 为总误差.响应面yˆ(X)可以定义为

其中a0为常数项，ai为第i个基函数的系数，n为基函数个数.选择二阶响应面进行研究，由式（20）可得二阶响应面公式为

从设计变量空间中选择样本点，确定φi(X)和对应的真实响应矢量.采用最小二乘法，以误差最小化为目标，对响应面近似模型的系数列阵a进行迭代优化，求得响应面的具体表达式.响应面代理模型的构建精度主要取决于设计样本点的选取.对设计变量较多的大型空间进行采样，工程中常使用拉丁超立方试验设计方法.拉丁超立方试验设计根据等概率随机正交分布的原则，可以通过极少的试验点得到较高精度的响应面近似方程.

4 抱杆优化设计

本文研究的抱杆高度为87 m，额定吊重为7 600 kg，如图2 所示.抱杆包含26 节标准节（3 m/节），标准节为1.52 m × 1.52 m 方形截面.抱杆钢材采用Q345，弹性模量为206 GPa，密度为7.85 × 10-6kg/mm3.抱杆标准节的杆件分为主杆、横杆和斜杆，均由方形空心钢管组成.选择三种杆件的截面尺寸为设计变量，抱杆许用应力和位移为约束条件，抱杆质量最小化为优化目标进行优化设计.所有设计变量均为离散整数变量.抱杆的优化模型可表示为

图2 抱杆Fig.2 The holding pole

其中X为设计变量，包括主杆的截面长度b1和宽度t1、横杆的截面长度b2和宽度t2及斜杆的截面长度b3和宽度t3，W为抱杆的实际质量，σ 和 σ分别为应力和许用应力，d和d分别为位移和许用位移.

4.1 抱杆有限元模型

抱杆主杆、横杆和斜杆均采用梁单元模拟.抱杆荷载包括重力荷载、风荷载、吊重（包括吊钩、起吊钢丝绳重量），选取最危险工况对抱杆结构进行有限元分析，得到抱杆最大位移、最大应力和抱杆质量.

4.2 建立响应面模型

为减小试验次数，提高计算效率，采用拉丁超立方试验设计方法获取30 个样本点，通过有限元计算，可得各样本点的结构性能指标.样本点数据如表1 所示.

表1 抱杆结构拉丁超立方试验设计结果Table 1 Latin hypercube experimental design results of the holding pole

采用最小二乘法分别构造应力和位移关于杆件截面尺寸的二阶响应面代理模型，具体如下：

采用方差分析法对构造的代理模型进行准确性检验，误差平方δ2、相对平均绝对误差δRAAE和相对最大绝对误差δRMAE的具体计算式如下：

其中m为随机选取验证样本点数量.随机选取10 个样本点进行准确性检验，结果如表2所示.

由表2 可知，误差平方δ2、相对平均绝对误差δRAAE和相对最大绝对误差δRMAE的高适应性区间分别为0.9 ～ 1，0 ～ 0.2 和0 ～ 0.3.δ2表示真实值与响应面模型之间的相似程度.R2越趋近于1，整个模型的全局近似度就会越好；δRAAE，δRMAE越接近于0，表明模型的平均和局部误差越小.响应面模型的随机样本点检验结果均位于高适应性区间内，且都趋近于最优值，表明所构造的响应面模型具有良好的拟合性.

表2 响应面模型随机样本点检验结果Table 2 Test results of random sample points for the response surface model

与此同时，从优化设计域内随机选择两组非样本点b1=130，t1=9，b2=71，t2=9，b3=41，t3=4；b1=138，t1=10，b2=43，t2=7，b3=57，t3=4 建模进行数值计算，数值计算结果与响应面模型计算结果如表3 所示.随机非样本点检验结果误差很小，精度较高.

表3 响应面模型随机非样本点检验结果Table 3 Test results of random non-sample points for the response surface model

4.3 优化设计

基于RSM 构造的应力和位移的响应面代理模型，采用IAOA 对抱杆进行优化设计，约束条件采用罚函数法进行处理：

其中杆件许用应力 σ取235 MPa，许用位移d取500 mm.采用IAOA 对抱杆进行优化，为了检验改进算法的性能，将优化结果与遗传算法（genetic algorithm，GA）、粒子群算法（particle swarm algorithm，PSO）、萤火虫算法（firefly algorithm，FA）和AOA 进行对比，各算法的主要参数和优化结果对比见表4、5.所有算法种群数为10，最大迭代次数为100，均采用罚函数处理约束条件.抱杆的初始设计参数与优化后设计参数，以及采用有限元软件和响应面法对抱杆进行单次分析时间的对比见表6.图3给出了五种算法的迭代曲线，其中f为目标函数的适应度值，t为当前迭代次数.

表4 各算法的参数值Table 4 Parameter values for each algorithm

表6 抱杆优化前后结果对比Table 6 Results comparison before and after optimization for the holding pole

从表5、6 和图3 中可以看出，IAOA 得到了抱杆的最优设计方案，最终质量为39 780.55 kg，与初始设计相比质量减轻了8.2%.相较于GA、PSO 和FA，IAOA 能用较少的迭代步数（25 步）获得最优设计方案.相较于AOA，引入分数阶积分的IAOA 的计算精度得到明显的改善，算法跳出局部最优解的能力得到了提升.与此同时，采用有限元软件对抱杆结构进行1 000 次分析所需时间为24 060.15 s，而基于改进算术算法和RSM 对抱杆进行1 000 次分析仅需要0.06 s，显著降低了计算成本.

表5 不同算法抱杆优化结果对比Table 5 Optimization results comparison by different algorithms for the holding pole

图3 不同算法收敛曲线对比Fig.3 Comparison of convergence curves for different algorithms

5 结论

本文基于RSM 和IAOA，对抱杆结构进行优化设计.将分数阶积分引入AOA 更新全局最优解，利用历史全局最优解的信息，改善算法的计算精度.将RSM 引入抱杆优化设计问题，构建了抱杆应力和位移关于其主杆、横杆和斜杆截面尺寸的代理模型.建立以抱杆质量最小化为优化目标，抱杆许用应力和位移为约束条件，杆件截面尺寸为设计变量的优化模型.采用IAOA 对抱杆优化模型进行求解.计算结果表明：构建的二阶响应面模型能够准确模拟抱杆结构的响应值；相比于标准AOA，IAOA 的求解精度得到明显改善，且算法跳出局部最优解的能力得到了提升；响应面代理模型不仅显著降低了有限元分析所需的计算代价，而且避免了非可行解可能导致结构有限元分析停滞和迭代中断的问题；与初始设计相比，在满足应力和位移约束的情况下，优化后抱杆结构的质量减轻，优化效果显著，与初始设计相比质量减轻了8.2%.联合使用RSM 和IAOA 可有效求解大型空间杆系结构的优化设计问题.AOA 作为一种新发展的元启发式算法，未来可结合列维飞行、反向学习、混沌映射等方法，提高算法的优化效率，以解决高维或超高维设计变量的大规模工程结构全局优化设计问题.对于大规模工程结构多目标优化设计问题，还可以发展基于Pareto 支配的多目标AOA.