基于PISA 理念填空压轴题剖析及教学思考

浙江省温州市第十二中学 朱 光（邮编：325000）

PISA 是国际学生评估项目的缩写，PISA 类测试可强化对考生知识面、综合分析、创新素养等方面的考查. 测试的重点是考生全面参与社会知识与技能发现和提出简单数学问题，初步懂得应用所学的数学知识、技能和基本数学思想进行独立思考、PISA 测试题是中考命题的新方向. 此类题目，综合性强，能很好地体现数学核心素养.近年来在各地中考中频繁出现基于PISA 理念的填空压轴题. 下面以2022 年温州市名校中考模拟卷的填空压轴题为例，分析试题特点和学生思路受阻点，探究问题通性通法.

1 试题呈现

如图1 是一款带毛刷的圆型扫地机器人，它的俯视图如图2 所示，⊙O的直径为40cm，毛刷的

一端为固定点P，另一端为点C，CP=10cm，毛刷绕着P点旋转形成圆弧交⊙O于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上.毛刷在旋转过程中，与⊙O交于点D，则CD的最大长度为cm.扫地机器人在遇到障碍物时会自转，毛刷碰到障碍物时可弯曲.如图3，当扫地机器人在清扫角度为60°的墙角（∠Q=60°）时，不能清扫到的面积（图中阴影部分）为cm2.

图1

图2

图3

2 分析错因，探究正解

本题虽然是填空压轴题，但是两空的实际得分率还是比预想的低很多. 特别是第二空，得分率约为0.02. 为什么会这么低？是题目本身问题还是学生某些方面掌握不够？

图4

图5

图6

可见，PISA 类填空压轴题综合性很强，需要很强的阅读理解能力，对几何直观、逻辑推理、数学抽象、数学建模、数学运算等数学核心素养都有较高要求. 更多地考查学生运用数学思维的能力，PISA 项目又被成为数学素养.

3 教学实施建议

3.1 类题呈现

如图7，ED为一条宽为4 米的河，河的西岸建有一道防洪堤、防洪堤与东岸的高度差为3 米（即CE=3 米），因为施工需要，现准备将东岸的水泥沙将通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点P作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为1 米的半圆（直径MN=1 米），绳子QM=QN=1.3 米，钢架高度2.2 米（AB=2.2 米），距离防洪堤边缘为0.5 米（BC=0.5 米），滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，则DP的长度至少保持米.

图7

3.2 学生思维障碍分析

通过与学生交流，了解到学生主要存在的问题：

（1）基础较薄弱的学生，数学阅读审题能力弱，对情境象较复杂问题不能抽成基本几何问题，从而找不到解题思路.

（2）关键点没有深入分析，仅凭借直觉导致临界点位置找错，体现为数学逻辑思维与直观思维不能有效结合，数学抽象和建模思想有待加强. 部分优秀学生思路如下：

图8

3.3 解法探究，突破难点问答设计

下面就关键点开展探究：

教师：请说出运输过程中吊篮刚好碰到点C的临界位置在哪里？

学生1：应该是吊篮的最低点在C点的时候.

学生2：凭直觉是吊篮的最低点，但是老师说答案不对. 仔细想象过程，应该不是在最低点.

教师：对，凭直觉有时并不一定正确，应该深入分析. 请思考：吊篮可以抽象成什么图形？它的位置由什么决定？

学生3：吊篮可以抽象成圆，圆的位置由圆心决定.

教师：很好，圆心轨迹是怎样的？为什么？

学生4：与AP平行的直线，因为题目中提到滑轨在运送货物时“保持笔直”.

教师：请用铅笔在图上画出圆心轨迹及圆的临界位置，并标出可求的线段求解.

说明画出关键位置的图像是本题关键，应该给学生充足的时间思考与尝试. 画图也是学生的薄弱环节，让学生动手画图，意在使其经历确定临界位置的过程，把问题转化为圆的切线的确定问题，培养学生得几何直观、数学抽象和建模等素养.

教师：问题临界位置在哪里？

学生5：平行于AP的切线过C点时.

教师：很好，请根据已知条件标出已知边和可求边的长度？如何设元并建立等量关系？

说明几何推理是本题的另一个难点，抽象成几何问题后，找到解题的方向和目标至关重要. 通过恰当设元，借助全等、勾股或相似等关系是建立等量关系的常用方法.

图9

4 结语

4.1 重视数学阅读，加强信息提取能力

此类问题，情境往往比较复杂，对数学阅读能力和信息处理能力要求的较高，这也是近年来的趋势. 只有将文字语言转化为数学符号语言和图形语言，才能顺利建构数学模型解决数学问题. 在阅读过程中体现学生得数学抽象、几何直观等数学素养. 在教学中，教师要重视培养学生深度阅读能力，准确理解题意，将“文字”、“数”与“形”相互转化和联系使建构成熟悉的数学模型.

4.2 关注整个过程，寻找蛛丝马迹

题目（包括图）中往往隐藏着一些“蛛丝马迹”，需要你去仔细理解和深入分析. 如上面两个例子中的：“遇到障碍物时会自转”“ 毛刷可弯曲”“ 滑轨在运送货物时保持笔直”等，这些信息都是可探寻的“痕迹”，同时还要联系生活实际，关注整个过程. 多引导学生动手画图，在图中做标记，有助于寻找解题思路.

4.3 关键处要有理性精神，猜想不忘验证

在数学学习中，教师要注重培养学生得理性精神，不能靠臆想来解题. 如上面例子中的“圆弧的圆心”，以及“吊篮一定不会碰到点C的临界位置”都是解题的关键点. 很容易因直觉而误解.在课堂教学中，我们一方面要鼓励学生大胆猜测，另一方面也要强调小心求证，直观想象与逻辑推理并重.