基于3D-MUSIC和波叠加的声场重建方法*

孙玲莉 杨 超 郭 辉 胡定玉 顾汝彬

（1.上海工程技术大学机械与汽车工程学院 上海 201600）（2.上海工程技术大学城市轨道交通学院 上海 201600）（3.中国人民解放军32128部队 济南 250000）

1 引言

近场声全息（Near-filed Acoustic Holography，NAH）作为一种声源定位和声场可视化技术，可为振动、噪声源分析提供丰富的声源和声场信息，对噪声源控制及声辐射研究具有重要价值。近场声全息技术包含多种实现方法［1～4］，其中，波叠加法对各类声场的适应性较好，且不用处理复杂积分问题，而得到广泛运用。如：杨殿阁等［5］提出动态波叠加法计算运动声源的声场；Bai等［6］将粒子滤波算法与波叠加法相结合，提出从正向求解等效源源强；为减少空间采样点数，Bi等［7］提出一种压缩模态等效点源法，Hu等［8］在压缩感知框架下对等效源法进行了改进。

利用波叠加法重建声场，其计算精度取决于对等效源强度的求解，这属于声学逆问题，需采用正则化进行求解，已提出多种较为成熟的解决方法［9～10］。除此之外，等效源点的布置对等效源强度的求解起重要作用，影响波叠加法重建声场的精度。李加庆等［11］提出利用波束形成进行声源定位，指导等效源配置，再用波叠加法重建声场。该方法是已知声源与测量面的距离，在二维平面上进行声源定位，对于声源空间位置完全未知的情况，重建精度会受到影响。杨超等［12］提出用统计最优近场声全息两次定位声源二维平面的位置，再通过三角函数定理求解声源z轴距离，实现声源的三维定位，再配置等效源。为进一步提高重建精度，Yang等［13］提出多次转动全息面进行声源三维定位，获得足够多的声源位置信息，用卡尔曼滤波提高声源定位精度。该方法将多种算法联合，提高了波叠加法重建声场的精度，但其计算分析较复杂，在实际应用中受到一定限制。

针对上述问题，提出一种基于3D-MUSIC算法和波叠加法的局部声场重建方法。3D-MUSIC算法通过空间谱矩阵的求解及谱峰搜索，获得声源的俯仰角、方位角和距离等空间位置数据，可直接准确定位声源的三维位置。根据3D-MUSIC算法搜索的位置信息，确定等效源的配置策略，利用波叠加法重建声场。

2 理论基础

2.1 3D-MUSIC算法

MUSIC算法是一种基于子空间特征分解的高分辨率谱估计算法，根据信号子空间和噪声子空间的正交特性，构造出空间谱矩阵，通过空间谱矩阵的求解及谱峰搜索估计出信号的DOA参数。但经典MUSIC算法［14］仅适用于二维远场声源定位。改进的3D-MUSIC算法［15～16］可计算近场噪声源的俯仰角、方位角和距离，实现声源的三维空间定位。

如图1所示，假设坐标原点o为参考点，任一声源sd与参考点o的连线在xoy平面的投影oc与x轴的夹角θd为方位角，声源sd与参考点o的连线与z轴的夹角ψd为俯仰角，rd为声源sd到参考点o的距离，rmd为第m个传声器到声源sd的距离。

图1 传声器阵列接收信号示意

假设空间有D个近场窄带信号源(s1(t)，…，sD(t))，辐射到由M个传声器组成的阵列上，第m个传声器接收到的信号表达式为

其中，d=1，2，…，D，m=1，2，…，M，nm(t)表示第m个传声器在t时刻接收到的高斯白噪声。整个传声器阵列的接收信号表达式为

式中，S(t)为声源，A是阵列方向矢量，N(t)是高斯白噪声。其中：

由图1的几何关系可知：

其中，rmd代表第m个传声器与第d个声源与的距离；ωc为声源的中心角频率；τmd为第m个传声器接收到第d个声源信号的相对时延。

对传声器阵列接收到的数据进行协方差运算，根据信号和噪声互相独立的特性，协方差矩阵可以将信号和噪声分离。定义测量声压P(t)的协方差矩阵R(t)为

式中，ARs(t)AH为信号部分，σ2I为噪声部分，Rs(t)为原始信号的协方差矩阵。对R(t)进行特征分解可得：

式中，Us为信号子空间，Un为噪声子空间。由噪声子空间与信号子空间相互正交可得：

构造空间谱函数为

3D-MUSIC算法对空间谱函数进行网格搜索，进而输出空间谱函数为极大值的ψ，θ，r值，即空间声源信号的俯仰角、方位角和距离。根据该声源定位信息指导等效源的配置，进而利用波叠加法重建声场。

2.2 波叠加算法

波叠加法的基本思想是将声源辐射声场用声源内部分布的一系列等效源产生的声场叠加替代，由全息面测得声压反求出等效源的强度，从而实现整个声场的重建与预测。其中声源面、重建面和全息面的位置关系如图2所示。

图2 声场空间位置示意

由式（2）可知，全息面上M个传声器测量的声压信息为P(t)，是时域信号，经过傅里叶变换为频域信号，再进行下一步计算。假设等效源面上布置N个等效源，则全息面上的声压可表示为

式中，Pℎ=[p(r1)p(r2)…p(rM)]T，Q为各等效源源强组成的列向量。G为等效源到全息面的传递矩阵，其中元素：

其中，g(rm，rn)为全息面上第m个传声器到第n个等效源的格林函数。

由式（9）可反解出源强：

式中，G+为G的广义逆矩阵。为了保证解的唯一性，等效源的总数N应小于等于全息面上的测量点数M。采用Tikhonov正则化方法求解等效源强度，正则化参数由Hald经验公式［17］确定。

由此，可计算出重建面声压：

式中，H为等效源面到重建面的传递矩阵。

3 数值仿真

3.1 仿真设置

数值仿真参数设置如下：选取两个振动频率为1400Hz的非相干脉动球声源，声源半径为0.005m，表面脉动速度为0.02m/s。根据3D-MUSIC算法定位特点，声源可设在距传声器阵列中心0.01m～1m、俯仰角1°～90°、方位角1°～360°的任意位置，设置两个声源在笛卡尔坐标系下的位置分别为s1=（-0.4m，0.2m，0.6m）、s2=（0.2m，-0.1m，0.6m）。由传声器组成的全息面位于坐标原点所在平面，传声器阵列如图1中的全息面所示，采用36个传声器组成三个同心圆的面阵列，三个同心圆半径分别为0.07m、0.18m、0.25m。重建面位置在0.59m处，面积为1×1m2，网格点间隔为0.1m。

仿真过程中，重建误差的计算公式如下：

式中，P(i)为声压理论值；Pr(i)为声压重建值。

3.2 声源定位

由3D-MUSIC算法定位声源位置，其俯仰角、方位角和距离随信噪比变化的均方根误差曲线如图3所示。随着信噪比的增加，均方根误差越来越小，这是因为3D-MUSIC算法中噪声子空间和信号子空间的分离更加彻底。根据图3的定位误差分析，选择在信噪比为20dB的条件下进行仿真。表1为在笛卡尔坐标系下，声源理论坐标与算法定位结果的数值对比，两个声源的x轴定位误差绝对值分别为0.009m和0.002m，y轴定位误差绝对值均为0.001m，z轴定位误差绝对值分别为0.017m和0.011m。由表1可以看出，在xoy平面上误差在1cm以内，z方向上误差在1cm～2cm之间，满足定位精度要求。

图3 均方根误差曲线

表1 理论位置与定位结果对比

3.3 声场重建

由3D-MUSIC算法定位结果可知，声源估计位置分别为（-0.391m，0.199m，0.583m）和（0.198m，-0.101m，0.611m）。根据该定位信息配置等效源，文献［18～19］指出：等效源配置最好能与振动体表面共形，且等效源球面半径与脉动球半径之比在0.8以下，有较好的重建效果，另一方面，当等效源数目增加时，重建误差会随之减小。由此制定等效源配置策略：等效源面是一个以定位声源位置为中心、0.01m为半径的球面，在两个声源的等效源球面上分别布置16个等效源点。

图4、5给出了两种方法的重建效果。图4是在z轴为0.61m的平面，等效源面大小为0.5×0.5m2，均匀布置6×6个等效源点的情况下，传统波叠加法的重建值与理论值的对比结果，可以看出传统波叠加法重建声场的精度不高，这是因为等效源均匀分布在平面上时，等效源强度被均分，声源位置处没有重点布置等效源，重建值的峰值小于理论值。图5是本文所提方法的重建值与理论值的对比结果，其重建值与理论值几乎重合，重建精度较高。由此说明：利用3D-MUSIC算法对声源位置进行估计，在声源估计位置处密集布置等效源，声场的重建值更接近理论值。图6是两种方法的重建误差值随频率的变化趋势，传统波叠加法在1300Hz～3000Hz范围内的相对误差均大于15%，而本文所提方法的误差在10%以下，重建误差对比明显。由此可以看出，本文所提方法可有效降低重建误差，对声场进行准确重建。

图4 传统波叠加法重建结果

图5 本文所提方法重建结果

图6 重建误差对比

4 实验验证

为进一步检验算法的可行性与准确性，在半消声室进行实验验证。实验设置如图7所示。半消声室尺寸为9.8m×8.6m×3.5m，背景噪声为18dB（A），截止频率为125Hz。采用两个音箱模拟噪声源，音箱位置分别为s1=（-0.4m，0.2m，0.6m）、s2=（0.2m，-0.1m，0.6m）。以传声器阵列的中心位置为坐标系原点，确定水平坐标x轴、竖直坐标y轴和测量坐标z轴，传声器阵列离地面高度为1.2m。传声器阵列为三个同心圆组成的面阵列，其参数与仿真设置一致。两个音箱发出的声信号是频率为1400Hz的非相干声源，利用传声器阵列和数据采集系统采集数据，再利用本文所提方法进行实验验证。

图7 实验布置

笛卡尔坐标系下，声源理论坐标与3D-MUSIC算法定位结果的数值对比如表2所示。由表2可得，实验中两个音箱的算法定位误差绝对值在x轴分别为0.019m和0.028m，在y轴分别为0.020m和0.012m，在z轴 分 别 为0.017m和0.004m。利 用3D-MUSIC算法进行声源定位的实验误差在可接受范围内，能够较为准确地定位出声源的空间三维坐标。以声源定位坐标（-0.381m，0.220m，0.583m）和（0.172m，-0.112m，0.596m）为中心，以0.01m为半径的球面上，分别配置16个等效源，利用波叠加法进行声场重建，重建面在z=0.59m处，重建面大小为1×1m2，网格点间距为0.1m。

表2 理论位置与定位结果对比

声场重建结果如图8、9所示，图8为传统波叠加法重建值与理论值对比，图9为本文所提方法重建值与理论值对比。实验结果表明，传统波叠加法的声场重建值与理论值相差较大，这是因为平面上均匀配置等效源时，没有对声源位置处有针对性的布置等效源，使得重建峰值与理论峰值相差较大；而本文所提方法可以较为准确地重建声场，说明在声源估计位置处密集布置等效源，可提高声场重建精度。图10为两种方法的重建误差对比，可以看出，在1300Hz～3000Hz频率范围内，本文所提方法的重建误差明显低于传统波叠加法的重建误差，能够更好地重建声场，保证重建精度，验证了本文所提方法的可行性与准确性。

图9 本文所提方法重建结果

图10 重建误差对比

5 结语

为解决等效源配置不确定性问题，提出了基于3D-MUSIC和波叠加的声场重建方法。数值仿真和实验研究结果表明，该方法在1300Hz～3000Hz频率范围内，可有效定位声源三维位置，准确重建声场且重建误差不高于10%。结论如下：

1）与传统波叠加法的均匀分布方式相比，基于3D-MUSIC和波叠加的声场重建方法的等效源布置是非均匀的，重点声源布置更多的等效源点，能够更好地模拟辐射声场。

2）该方法精准配置等效源，降低了不必要的等效源数目，降低了求解方程的难度，提升了求解效率。

3）与现有的复杂三维定位方法相比，该方法利用3D-MUSIC算法直接定位声源的空间位置信息，在保证准确重建声场的基础上，降低了计算复杂度，易于实现。

此外，本文实验所用为两个音箱模拟辐射声场，后续可用板声源或其他型声源进行深入研究；本文采用36个测点进行声场数据采集，在保证定位结果及重建精度的情况下，可进一步研究如何减少采样点数，如引入压缩感知理论等。