拦截大机动目标的有限时间收敛制导律*

吴刚 ，张科

（1. 西北工业大学 航天学院，陕西 西安 710072；2. 江南机电设计研究所，贵州 贵阳 550009）

0 引言

随着航空航天技术的进步，特别是以高超声速飞行器为代表的现代空袭武器机动能力越来越强，而且它的飞行轨迹难以预测［1］，这给拦截他们的导弹带来了新的挑战。为了增强对目标的毁伤效果，不仅仅需要导弹拦截目标时，脱靶量尽可能地小［2］，而且还需要导弹以特定的角度拦截目标［3］。因此研究考虑攻击角约束拦截大机动目标的制导律具有重要的意义。

目前，比例制导律因其实现简单，在工程上得到了广泛应用［4-7］，而传统的比例制导律，不能实现让导弹以期望的角度攻击目标。为此，学者们对传统的比例制导律进行了改进［8］，让其实现以期望的角度拦截目标。然而，比例制导律及其改进形式仍然针对的是非机动目标。它们拦截机动目标的效果并不理想。

为了实现对机动目标的拦截，学者们将许多先进的现代控制理论成果应用到制导律的研究。如基于最优控制理论的最优制导律［9］，基于自适应控制理论的自适应制导律［10］，基于微分对策理论的微分对策制导律［11］等。

相对于其他制导方法，滑模制导律结构简单，设计方便，易于工程实现，而且对目标机动等引起的制导系统扰动具有较强的鲁棒性，被广泛地应用于拦截机动目标的制导律设计［12］。传统的滑模控制只能实现无限时间的渐进收敛，而导弹拦截目标时，末制导时间很短，因此，设计制导律时考虑有限时间收敛更有工程实际应用价值。

在滑模制导律设计过程中，制导系统扰动通常通过选择合适的开关增益来消除。为了保证制导系统稳定，开关增益的选择通常要大于扰动的上界。这就要求制导系统扰动的上界是已知的，而在工程实际中，制导系统扰动的上界不可能事先知道。为了解决这一问题，文献［13］用自适应律估计制导系统扰动的上界。而仅仅通过开关增益实现滑模制导律对制导系统扰动的鲁棒性，会给制导系统带来严重的抖振现象。

为了消除滑模控制带来的抖振，滑模控制经常与扰动观测器一起使用设计制导律，常用的非线性扰动观测器［14］、扩张状态观测器［15］、高增益观测器［16］等扰动观测器的参数设计，对其估计性能和收敛性能都有较大的影响。参数设计不合理直接影响到导弹的拦截精度。为此，本文提出了参数适应调节的径向基函数（radial basis function，RBF）神经网络扰动观测器，用来估计制导系统扰动。

综上讨论，本文基于有限时间收敛的积分滑模控制理论和参数自适应调节的RBF 神经网络扰动观测器，设计了考虑攻击角约束的拦截大机动目标的有限时间收敛制导律。扰动观测器和连续趋近律的应用避免了滑模制导律的抖振现象。

1 制导模型建立

在二维平面中导弹拦截目标相对运动关系如图 1 所示，图中，M 代表导弹的质心，T 代表目标的质心，可得二维平面内导弹和目标的相对运动的动力学方程为

图1 导弹与目标的相对运动几何Fig.1 Relative motion geometry of missile and target

式中：r 为导弹和目标的相对距离；q 为视线角；vm为导弹的速度；vt为目标的速度；θm为导弹速度的方向角；θt为目标速度的方向角；am为导弹的法向加速度；at为目标的法向加速度。

对式（2）求导，得

结合式（1）、（3）、（4），式（5）可整理为

式中：uq= amcos(q - θm)为导弹加速度在弹目视线法向上的分量；wq= atcos(q - θt)为目标加速度在弹目视线法向上的分量。

令 x1= q - qd，x2= q̇，其 中 qd为 期 望 的 终 端 视线角，考虑攻击角约束的二维平面制导方程为

2 制导律设计

2.1 积分滑模制导律设计

在制导律设计之前，为了制导律设计及其有限时间收敛性证明方便，先介绍以下引理：

引理 1［17］如果存在李雅普诺夫函数 V(x)的一阶导数满足不等式

式 中 ：a ＞ 0，0 ＜ α ＜ 1，则 系 统 有 限 时 间 收 敛 到原点。

引理 2［18］对于如下 n 阶积分系统

存在 ε ∈ (0，1)，对于任意 αn∈ (1 - ε，1)，假如设计的控制器为

针对制导系统式（7），让导弹以期望的攻击角精确拦截大机动目标，为了使系统状态有限时间收敛，设计如下积分滑模面：

式（7）得

为了使系统状态轨迹从初始状态快速收敛到设计的滑模面，设计一种快速变幂次趋近律如下：

式中：k3＞ 0，k4＞ 0，0 ＜ γ ＜ 1。

设计制导律如下：

这里d̂为制导系统扰动d 的估计，下文中用神经网络扰动观测器对扰动d 进行估计。χ̂为自适应项，将在下文中定义。

定理1 针对制导系统（7），选择滑模面如式（11），趋近律如式（13），导引律如式（14），则制导系统状态在有限时间收敛到0 附近。

证：选取李雅普诺夫函数V1为

假设制导系统扰动的剩余估计误差为

式中：ε 为一个较小的正数。

对V1求导并整理得

将式（17）写作如下形式

当 k3|s| - ε ≥ 0 时，即|s| ≥ ε/k3时

由引理1 和不等式（19）可知，滑动流形s 在有限时间内收敛到一个小的区域|s| ≤ ε/k4= ε1，ε1是一个很小的正数。

s 收敛后，令 s = μ，| μ | ＜ ε1，此时可得

s 收敛后，ṡ= μ̇= 0，因此对式（20）求导得

根据引理 2，x1、x2有限时间收敛到 0，也就是说，制导系统在有限时间内，视线角q 收敛到期望的视线角qd，视线角速率q̇收敛到0。定理1 得证。

本文相对于传统的滑模控制所做的改进如表1所示，采用积分滑模面，可以让滑模面有限时间收敛，而传统的线性滑模面只能实现无限时间的渐进收敛，在趋近律设计中在传统的幂次趋近律的基础上增加了指数趋近项，加快滑模面的收敛速度。

表1 本文滑模相对于传统滑模所做的改进Table 1 Improvement of sliding mode compared with traditional sliding mode in this paper

2.2 RBF 神经网络扰动观测器设计

为了实现对大机动目标的精确拦截，对目标机动d 引起的制导系统扰动进行精确的估计是十分必要的，为此，本文提出了一种参数自适应调节的RBF 神经网络对其进行精确估计，扰动d 的表达式为

式中：Ŵ = (ŵ1，ŵ2，…，ŵm)T为 RBF 神经网络输出层的自适应调整的输出权向量；ĥ= (ĥ1，ĥ2，…，ĥm)T为RBF 神经网络隐层神经元的高斯激活函数向量，其参数可以自适应调整，ĥj的元素表示为

扰动d 和扰动的估计d̂做差，并利用线性化方法展开为泰勒展开式部分线性形式，得到

式 中 ：W͂ = Ŵ - W*为 RBF 神 经 网 络 线 性 输 出 层 自适应权向量Ŵ与最优权向量W*之间的权向量偏差；c͂= ĉ- c*为高斯函数自适应中心向量 ĉ与最优中心向量 c*之间的偏差中心向量；σ͂ = σ̂ - σ*为宽度向量在自适应宽度向量σ̂与最优宽度向量σ*之

将式（14）代入式（12）整理得

将式（26）代入式（29）得

选取李雅普诺夫函数为

式中：η1，η2，η3，η4为要设计的参数。

对李雅普诺夫函数求导得

将式（31）代入式（33）得

重新整理式（35）得

为了保证李雅普诺夫函数的一阶导数V̇0＜0，选取随时间变化的自适应参数为

3 仿真校验

为了说明本文所提制导律对大机动目标优异的制导性能，在相同仿真条件下将其与比例制导律（PNGL）和非线性终端滑模制导律（NTSMGL）［19］进行对比仿真。仿真中，选取3 组不同的导弹和目标的初值如表2 所示。

表2 3 组不同的导弹和目标仿真初值Table 2 Initial condition of the missile and the target for the simulation

目标机动的加速度设置为拦截难度较大的正弦跳跃式机动，at= 200sin(0.5t)m/s2。通过大量的仿真将比例制导律（PNGL）的比例系数调整到拦截效果最好，非线性终端滑模制导律（NTSMGL）的制导参数按照文献［19］选择。本文所提积分滑模制导律（ISMGL）的参数选择如下：

制导律中积分变量参数的初始值选取如下：

拦截目标时，设置期望的终端视线角qd= 15°。

针对3 组不同的导弹和目标初始值条件，3 种不同制导律拦截正弦跳跃式机动目标的仿真结果如表 3 和图 2～4 所示。从图 2a）、3a）、4a）中可以看出，在3 种不同的制导律作用下的导弹虽然运动轨迹不同，但都能成功的拦截目标。从图 2b）、3b）、4b）中可以看出，在本文所提的积分滑模制导律（ISMGL）和非线性终端滑模制导律（NTSMGL）作用下的导弹视线角都能收敛到期望的值附近，积分滑模制导律（ISMGL）视线角的收敛精度明显高于非线性终端滑模制导律（NTSMGL），而比例制导律（PNGL）视线角不能收敛到期望的值。从图2c）、3c）、4c）中可以看出，本文所提的积分滑模制导律（ISMGL）可以保证弹目视线角速率收敛到零附近，非线性终端滑模制导律（NTSMGL）虽然也可以让弹目视线角速率收敛到零附近，但是在弹目遭遇前的一小段时间会发散，收敛精度和收敛速度也远不如本文所提的积分滑模制导律（ISMGL）。图 2～4（d）为制导指令曲线，本文所提的积分滑模制导律（ISMGL）和比例制导律（PNGL）制导指令曲线比较平滑，而非线性终端滑模制导律（NTSMGL）制导指令曲线出现了震荡现象。表3 为3 种不同制导律的仿真结果统计，在飞行时间方面它们差别不大，在脱靶量和视线角控制方面本文所提的制导律明显优于其他2 种制导律。这充分说明本文所提的制导律具有优异的制导性能。

表3 3 种不同制导律的仿真结果Table 3 Simulation results of three different guidance laws

图2 初值1 下不同制导律仿真对比曲线图Fig.2 Simulation comparison curves of different guidance laws under initial value 1

图3 初值2 下不同制导律仿真对比曲线图Fig.3 Simulation comparison curves of different guidance laws under initial value 2

图4 初值3 下不同制导律仿真对比曲线图Fig.4 Simulation comparison curves of different guidance laws under initial value 3

4 结束语

本文以拦截大机动目标为背景，采用积分滑模控制和RBF 神经网络扰动观测器，设计了弹目视线角和视线角速率有限时间收敛的积分滑模制导律。利用李雅普诺夫理论分析了所设计制导律的稳定性。在相同的条件下，通过将其与非线性终端滑模制导律（NTSMGL）和比例制导律（PNGL）对比仿真，说明本文所提积分滑模制导律具有优异的制导性能。可以为拦截大机动目标制导律的设计提供一定的理论和实际参考。