以核心问题引领学生深度学习——以“代入法解二元一次方程组”的教学为例*

李建国

(山东省临沂市教育科学研究院 276000)

“初中数学深度学习是指在教师引领下，学生围绕具有挑战性的数学学习任务，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的数学学习过程.”[1]在这一学习过程中，设计挑战性的学习任务是实现深度学习的关键，而任何一个学习任务又离不开核心问题的引领，因此提炼课堂教学的核心问题无疑是教学设计中最重要的环节.

课堂教学中的核心问题是指在一节课或者课的某个环节上基于对教学内容和学情的全面分析后形成的，针对教学的重点内容，能直达知识本质，驱动学生深入思考和主动探究的引领性问题.下面以人教版义务教育教科书七年级下册“代入法解二元一次方程组”的教学为例，谈如何通过核心问题引领学生深度学习.

1 教学分析

1.1 教学内容和学情分析

方程与不等式是“数与代数”部分的重要内容，代入法解二元一次方程组是初中阶段“方程与不等式”内容的重要知识，也是进一步学习二次、高次方程(组)和不等式(组)的重要基础.与其关联密切的知识和素养如图1所示.

图1

在知识储备上，学生已经掌握了一元一次方程的概念、解法和简单应用，也刚刚学习了二元一次方程(组)的定义、解等概念，理解了二元一次方程的解有无数多个，二元一次方程组的解是两个方程的公共解.在学习经验上，学生经历了“从数式到方程”“建方程”“解方程”“用方程”的过程.通过上节课的学习，学生知道可以通过类比一元一次方程的学习过程继续学习二元一次方程(组)的概念、解法和应用.在学习动力方面，学生能够理解方程思想的意义和解决实际问题的价值，对进一步学习二元一次方程组解法存在潜在期待.

1.2 教学目标和重难点

教学目标的确定，要关注学生知识的生长——一元到二元、方程到方程组；关注学生学习经验的生长——“转化”是变复杂为简单的基本思想，消元是解决多元问题的基本思想；关注学生能力和素养的发展——分析解决问题的能力、推理能力、运算能力；关注学生学习能力和学习态度的生长——体会代数知识的一般学习规律，感受个人在学习过程中的成就感、获得感.结合前面的内容、学情分析，根据《义务教育数学课程标准(2011年版)》对本课知识的要求，即“掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组”[2]，确定本节课的教学目标和重难点如下.

教学目标 (1)理解消元是解二元一次方程组的基本思想；

(2)会用代入消元法解数字系数的二元一次方程组；

(3)在探究代入消元法解二元一次方程组的过程中，感受转化思想的应用价值，发展推理能力和运算能力.

教学的重点是掌握代入消元法解二元一次方程组，难点是对消元法的深刻理解和运用.

2 以核心问题引领深度学习

2.1 核心问题引领知识关联

深度学习的特征之一是联想与结构[3].要让学生将之前具有的知识和学习经验与目前的学习联系起来，以系统化思想促进知识的再生长.解二元一次方程组需要联想解一元一次方程的思想(转化与化归)、方法(根据等式性质进行恒等变形)、步骤(去分母/去括号/移项/合并同类项/系数化为1)，为获得解二元一次方程组的思路找到类比迁移的根基.由此提炼出本节课第一个核心问题：在之前的学习经验中，怎样解一元一次方程？为何这样解？一元一次方程有何应用价值？

在核心问题的引领下，设计两个问题串，引入新课.

问题1回顾一元一次方程的学习过程，思考：

(1)我们学习了一元一次方程的哪些知识？

(2)解一元一次方程有哪些步骤？其中蕴含怎样的数学思想？

设计意图通过回顾一元一次方程的学习过程，尤其是再次回忆“化繁为简”的转化思想，促使学生逐渐悟出“消元”——转化为一元一次方程是解二元一次方程组的的根本出路.

问题2今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

(1)回想小学时的求解方法和上学期的一元一次方程的求解方法，思考它们各自有何优点？

(2)能否用二元一次方程组解决？请设出未知数，列出方程组.

(3)根据解一元一次方程的经验，你认为解二元一次方程组的关键是什么？

设计意图解决鸡兔同笼问题经历了三种方法：小学时的算术方法，初一上学期的一元一次方程方法，现在的二元一次方程组的方法.三种方法体现了学生知识发展的三个阶段.对比三种方法，让学生再次感受方程思想的价值，初步感受本课知识学习的意义，体会二元一次方程组的应用价值，并引出了新课.

2.2 核心问题引领新知生成

引入课题以后，要通过新知识探究的过程，让学生充分体验知识的形成过程，深刻认识知识的本质，领会数学思想的应用价值，发展学生的数学思维和数学能力，提高他们的数学核心素养.在探求二元一次方程组的解法过程中，会用到化多元为一元的消元思想，要让学生经历为何消元、怎样消元的思维过程，也要让学生明白“化多元为一元”是数学转化思想除“化繁为简”外的进一步的应用.因此，这一阶段的核心问题应该聚焦于“如何想到消元？为什么消元是解题中必经的步骤？如何消元？”为此笔者设计了下面的问题串，并在探究过程中根据学生的领悟程度进行追问.

问题3对于前面的鸡兔同笼问题，我们不妨先用一元一次方程解出问题答案，然后进一步思考：

(2)在探求一元一次方程解的过程中，我们运用了化繁为简的转化思想，这对我们解二元一次方程组有哪些启示？

教学分析 探究过程中，学生在挑战性问题的引领之下，需要经历“独立思考”“小组交流”“自主展示”“讨论互动”等阶段，最终达成“只要能够先解出方程组中的一个未知数，就能求出方程组的解”这一共识.过程中要充分体现学生的主体地位，由学生自主完成，教师适当评价和追问.数学学习的价值不只是学得更多的知识，更重要的是借助知识的学习获得研究问题的思路方法、解决问题的思想和经验，以及从中获得的数学核心素养.在核心问题的引领下，通过对第一个难点——“两个元”的关注，让学生在思考中明白消元思想的来源，深刻认识消元思想的价值，锻炼学生遇到困难后深入分析和调整思维方向的能力.接着教学进入如何消元这一环节.

问题4回想求解一元一次方程时一系列转化思想的应用，认真观察列出的二元一次方程组和一元一次方程有何关系，能否从中得到启发？

解法2 设鸡x只，则兔有35-x只，由题意，得2x+4(35-x)=94，解得x=23.又35- 23=12，所以鸡有23只，兔有12只.

教学分析 在学生仔细观察、思考、交流后，发现“解法2中‘35-x’，可由解法1中方程①的变形y=35-x得到；解法2中的2x+4(35-x)=94，就是把解法1中方程②里的y替换成(35-x)得到的”，进而获得解题突破.在随后的解方程组的过程中，学生独立完成，教师巡视.

这一过程中，学生出现了解答步骤不严密、解出x后回代的方程出错，以及因为对解法理解不清造成解题思路混乱的情形，对于这些情况教师用手机拍照投屏或把学生的解答实物投影进行点评分析.接下来通过问题引领进行解题反思，凝练消元思想，总结消元法解题的基本思路.

追问1回想一下，解二元一次方程组最初的难点在哪？怎样突破了这个难点？用到了什么数学思想？

生：难点在于未知数是两个.通过对比运用一元一次方程解题的过程，用x表达y，把方程组转化为一元一次方程就能突破这个难点.这里用到了转化思想.

师：上述解法中，消去二元一次方程组两个未知数中的一个，转化为我们熟悉的一元一次方程，就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数.我们用到了转化思想，区别于解一元一次方程时的“化繁为简”，这里的转化实现了“化二元为一元”的目的.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.

追问2我们还需要反思什么？

生：反思解题的思路和解题过程.

基本思路和步骤是：“第一步：将方程组中一个方程等价变形，y用x表示出来；第二步：代入另一个方程；第三步：解出x；第四步：回代x，求出y；第五步：写出答案.”上述过程可以用下面的流程图2表示.

图2 解二元一次方程组流程

可以把解方程组的步骤进一步概括为：“变形，代入，解出x，回代，获得方程组的解”五步.

追问3还有需要再反思的吗？

生：还可以消去x，把方程组转化为关于y的一元一次方程.

说明 要让学生明白在方程组中，x和y的地位是平等的，既然能消去y，当然可以消去x.

师：上面的解法，是利用二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

在上述教学过程中，通过核心问题“如何想到消元？为什么消元是解题中必经的步骤？如何消元？”的引领，学生通过解决一系列富有挑战性的问题，经历了充分的思考和体验，深刻理解了消元法的来源、作用、方法，达成对知识本质的认识，顺利实现从“解一元”到“解二元”的方法迁移.

2.3 核心问题引领高阶认知发展

根据深度学习的要求，完成了知识本质的认识和方法迁移以后，还需要对学习内容进行深度加工[3]，提升学生“运用”“分析”“综合”“创新”等高阶认知能力.根据数学学习的特点，从具体实例入手，通过核心问题“可以怎样解决？还能怎样解决？哪种更优？最优方法受到什么条件的制约？”引领学生充分分析具体问题的结构特点，更深地领悟“消元”的价值.为达成这个目的，更换教科书的例题为：

首先由学生分析题意，找出解题思路.然后再通过研究其他解题思路明确在解方程组的过程中，消去x与消去y、变形方程①与变形方程②都是合理的，这取决于方程组的特点.最后进行总结反思.在学生解题过程中，教师巡视、拍照、准备投屏点评.

追问1 在本题的解答过程中，你有哪些收获？

追问2 回代到方程组中任何一个方程都可以吗？

追问3 说说你的思路是从哪来的？

追问4 还有没有其他解题思路？

通过对解题思路和过程的反思，提高学生对解方程组的认识：整体着眼、方便入手、简化运算，达成最优解法，甚至于能够发现通过两式相加来消元，引出解二元一次方程组的另一条思路——加减消元法.

生：可以把方程先化简，再求解；也可以把(x-2y)看作一个整体来进行求解；还可以两式相加，先消去(x-2y)；还可以把第二个方程去括号，就得到y，回代求出x.

经历了以上的学习过程，让学生在各种思路的对比中找到最佳的方法，有利于学生养成解题前认真审题的好习惯，锻炼学生对问题的分析能力、综合应用能力，发展他们的批判性思维水平，提高数学运算素养.在对回代哪个方程的反思过程中，加深学生对解方程组本质的认识.加减消元法的发现，鼓励学生从更加广阔的视角观察问题，提高学生的创新性思维水平，也为下一节课的学习打开了一扇窗.问题的变式引发学生新一轮的探究热情，进一步提升学生的高阶认知能力.

2.4 核心问题引领反思提升

深度学习着意学习过程的建构反思[4].课堂小结是梳理本节课学习历程、提升学生总结概括能力的重要环节，也是下节课知识孕育的生长点，要给学生留有充足的时间，让学生带着问题认真反思.核心问题要在“如何梳理知识、方法、结构？如何提炼本节课的核心思想？如何预留未来发展空间？”这几个问题上进行提炼，达成完善知识结构、加深思想认识、优化学习习惯、提升自主学习能力的目标.

问题5请回顾本节课的学习过程，带着以下问题自主归纳梳理.

(1)本节课上你在知识、方法、经验方面有哪些收获？请用思维导图方式进行梳理.(图3)

图3

(2)今天的学习过程中，你感受最深刻的数学思想有哪些？在哪些地方用到了它们？

(3)再观察例1，以整体的思想分析两个方程，通过两式相加就能消去一个未知数，如果改变未知数的系数，还能进行这类形式的消元吗？课下可以进一步思考.

3 结语

浅层学习的认知水平往往只停留在“识记”“理解”，要达到高阶认知水平，需要实施深度学习，其策略是基于问题引领、基于任务驱动、基于过程评价[5],其关键是核心问题的研究和提炼.在教学设计和教学活动中，认真研究提炼核心问题，着眼于学生的长远发展，从知识结构出发，系统理解教学内容；从实际应用和挑战性问题的设计出发，提升学生对数学的学习兴趣，启发学生积极思考；从发现和提出问题、分析和解决问题的学习活动设计出发，发展学生的数学核心素养；从注重探寻学习规律和总结经验方法出发，促进学生学会学习.只有如此，才能做到“充分发挥教师主导作用，引导教师深入理解学科特点、知识结构、思想方法，科学把握学生认知规律，上好每堂课”[6].这是时代的呼唤，也是国家对全面提高义务教育质量的要求.