从“充分与必要”视角辨析一道三角题的解法

兰诗全

(福建省古田县第一中学 352200)

“问题是数学的心脏”，找到答案只是数学解题的前一半，更重要的是解题后的反思．“不思故无惑，不惑故无问，不问故无得．”为什么是正确的、为什么是错误的、错在哪里呢，对这些“为什么”的追问一定可以大大提升分析、解决数学问题的能力．反思才能悟出其中的方法与思想，反思才能悟出问题的真本质、真规律、真道理．

以下从充分与必要视角对一道题目的多种解法进行正误辨析，以示解题中要对充分与必要条件加以高度重视，理清思路、认识到位、理解深刻，要发现规律，要揭示本质，才能真正掌握知识，提高解题能力，提升数学素养．

题目在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c，若b2=ac，求cosB的取值范围．

辨析很多学生认为以上解法是正确的，但事实上是错误的．这又是为什么？细想b2=ac这个条件用到位了吗？没有用到位，没有用充分！由b2=ac⟹b不是最长边也不是最小边(不妨设a≤b≤c)⟹A≤B≤C，但反过来由A≤B≤C推不出b2=ac，即b2=ac内在的本质关系未充分利用，错解2也是条件不等价变形造成的！利用已知条件的必要条件A≤B≤C来解答就得出问题的解，这与解法1类似，往往会扩大所求的取值范围．

正解1 由b2=ac，得b不是最长边也不是最小边，不妨设a≤b≤c，则A≤B≤C．

辨析以上解法正确吗？“水本无华，相荡乃成涟漪；石本无火，相击而发灵光．”经过广泛讨论，积极思考后又有学生认为不对，理由是因为首先要构成三角形，从而在上述解法的基础上还应满足条件a+b>c，故有以下正解2．

辨析正解1与正解2的最后答案是一样的，这是偶然还是必然？要想找出内在本质规律，要想打破砂锅问到底，此问题还应从以下命题说起．

经常性地像这样进行数学问题辨析，错中求正、败中求胜，数学问题将越辨越清，认识将越来越深刻．数学学习若不能揭示问题的本质，则对知识方法认识依然“云里雾里”，不能从错误的阴影中真正走出来，不能从正确中掌握规律，这是数学学习的大忌．以上辨析说明，对充要条件是否准确应用直接关系到解题的成败，许多时候解题出错都是因为充要关系没用对，对充要条件的应用要特别注意，已知条件的相互转化要注意充要性，一定要利用已知条件或与已知等价的条件来解题，这是本质，这是关键．