一道力学题中的数学方法

冯沁峰

高考物理試题通常以“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”为考查内容，以“基础性、综合性、应用性、创新性”为考查要求。在物理高考中，应用数学处理物理问题的能力要求考生能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图象进行表达、分析。根据这一要求，高中物理教学尤其应该注重对学生进行应用数学处理物理问题能力的培养。下面我们就一道力学题的多种解法来了解多种数学方法在物理解题中的应用。

题目：如图一所示，从倾角为θ的斜面顶端以初速度V0把一小球水平抛出，不计空气阻力，若斜坡足够长，则小球抛出后在运动过程中距离斜坡的最大距离H为多少？

解法一：小球的运动为平抛运动。取地面为参考平面，则小球的运动产生水平方向和竖直方向两个运动效果，可以根据研究平抛运动的一般方法，在水平方向和竖直方向两个方向研究小球的运动。

如图二所示，取抛出点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立直角坐标系。根据小球在水平方向的分运动为初速V0的匀速直线运动，竖直方向的分运动为自由落体运动，可以写出小球在任意一个时刻t的位置坐标（取抛出时刻为零时刻）

x1=V0t       y1=－gt2

斜面在xoy坐标系中可等效为倾角为1800—θ的过原点直线，根据数学知识，可写出该直线的方程为：

y=kx=x· tg（1800－θ）= －x·tgθ

整理得：x ·tgθ+y=0

小球在运动过程中任意一个时刻距斜面的距离可理解为小球在任意一个时刻的坐标点距直线x ·tgθ+y=0的距离，该距离可根据数学中讲过的点到直线的距离公式：d=求出。其中a=tgθ，b=1，c=0：d==

可以看出当t=时d具有最大值。所以H=dmax=

解法二：研究曲线运动的一般方法是“先分解后合成”，在把曲线运动进行分解时，应该从运动的效果出发进行分解。本题中若取斜面为参考平面，可以认为小球产生了两个运动效果：沿斜面向下的运动和垂直斜面方向的运动。因此，可以在沿斜面方向和垂直斜面方向研究小球的受力情况和运动情况。

如图三，取抛出点为坐标原点，取沿斜面向下为x轴正方向，垂直斜面向上为y轴正方向，建立直角坐标系。小球只受一个重力，分解到x轴和y轴方向，则：

x轴方向：初速度V0x=V0cosθ，Fx=Gx=mgsinθ，∴ax=gsinθ，所以x轴方向小球做初速度为V0cosθ，加速度为gsinθ的匀加速直线运动。

Y轴方向：初速Voy=Vosinθ，Fy=Gy=－mgcosθ，∴ay=－gcosθ，所以y轴方向小球做初速度为

Vosinθ，加速度为－gcosθ的匀变速直线运动。

本题所研究的问题只y轴分运动有关。小球在任意一段时间t内在y轴方向发生的位移可根据匀变速直线运动的位移公式求得：y=Voyt＋ayt2= Vosinθ·t－gcosθt2=－gcosθ（t－）2＋可以看出：当g=时，y具有最大值∴H=Ymax=

解法三：除上述两个方法外，本题还可以通过对物理过程的分析，结合几何关系求解。

根据对小球运动过程的分析可知：当小球运动到其速度方向与斜面平行时，距斜面距离最大。设该点为D，过D做斜面的垂线（如图四所示，）垂足为C。过D点作水平线分别交斜面和竖直边于B、A。抛出点为O。D点速度平行于斜面，则：Vcosθ=VO ， ∴V=  竖值分速度V1=V0tgθ，∵V1=gt       ∴t=，OA=gt2= ，AD=Vot=

AB=OActgθ=，BD=AD－AB=，H=DC=BDsinθ==

从本题的三种解法可以看出，数学和物理是紧密联系的，数学为物理学的发展提供了强有力的工具。应用数学解决物理问题，不仅要求学生要把数学学好，还要求学生掌握在具体处理物理问题时知道怎样用数学。因此，高中物理教学应该有意识地培养学生这方面的能力。