国外大学生数学竞赛简介

陈皓然

(西交利物浦大学大学数学系，江苏苏州 215123)

1 引 言

1894年，世界上第一项现代数学竞赛——Eötvös 竞赛在匈牙利诞生. 经过了一个多世纪的发展，数学竞赛已经从欧洲推广到全世界，从主要针对中学生发展到小学、大学乃至全社会参与. 数学竞赛已经成为世界各国宣扬数学文化，培养拔尖人才，促进国际交流的重要形式与载体.

为了开拓国内高校数学研究、教学视野，提高教师数学专业素养及教学水平，特别针对微积分、线性代数、概率论等基础课，开拓新问题、新思路、新应用，同时也为了增加学生课余学习、钻研热情，提高分析、解决问题能力，促进国内外学生交流，笔者整理出国外比较著名的十余项大学生数学竞赛，特别是在美国和东欧举办的各类竞赛，其中又以普特南数学竞赛和国际大学生数学竞赛级别最高，参赛人数最多，影响力最大.

本文主体分三部分，介绍美国、东欧和其他国家的知名大学数学竞赛，其中美国篇以普特南竞赛为主，东欧篇以国际大学生数学竞赛为主，从历史、规模、比赛形式、内容一一加以介绍，以求展现不同竞赛的风格特点等.

2 世界各国的大学数学竞赛

2.1 美国篇

2.1.1 普特南数学竞赛(William Lowell Putnam Mathematics Competition)

威廉·罗威尔·普特南数学竞赛，简称普特南竞赛，是美国和加拿大本科学生参加的年度数学竞赛，在世界范围最负盛名，被广泛认可. 普特南竞赛具有以下特点：

(i) 历史悠久. 该竞赛始于1927年，由伊丽莎白·罗威尔·普特南(Elizabeth Lowell Putnam)为纪念她的丈夫威廉·罗威尔·普特南(William Lowell Putnam，美国银行家，律师)设立. 考试自1938年以来以每年一次的频率进行(1943年、1944年、1945年停办，1958年举办两次)，2020年因新冠疫情于线上举行；

(ii) 参赛面广. 竞赛面向在美国和加拿大的本科学生(无国籍限制)，每人最多可参赛四次. 作为北美参与度最高的大学数学竞赛，普特南每年吸引了数百所大学学生参加，最近十几年的参赛人数均超过3000人[1]；

(iii)试题涉及范围广且极具挑战性. 考试一般在每年12月的第一个星期六举行，上、下午各3小时，共12道题，每题10分. 题目涉及大学数学各类基础知识，如代数(线性代数和抽象代数)、微积分、数论、组合等，要求参赛者具有创造性和敏锐的思维. 以2003年为例，在总共3615名考生中，有1,024 (28%)名总分在10分以上，42分即可进入前百名，而中位分数仅为1分；

(iv) 奖励丰厚. 每所参赛学校按照一定方式计算团体总分，排名第一至第五的团队分别获得25,000至5,000美元不等的奖励. 个人成绩前五名的选手被冠以“普特南研究员”(Putnam Fellow)称号，并各获2,500美元奖励； 第六名至第二十五名也获得1,000至250美元奖励. 竞赛的管理方美国数学协会(Mathematical Association of America)每年四月将前一年的竞赛结果以及前百名优胜者名单刊登在《美国数学月刊》(American Mathematical Monthly)上.

截至2019年，哈佛大学、麻省理工学院、加州理工学院等在团体和个人项目上多次取得优异成绩，许多普特南研究员已成为数学和其他领域的杰出研究人员，其中包括三名菲尔兹奖得主——米尔诺(John Willard Milnor)、蒙福德(David Bryant Mumford)和奎伦(Daniel Gray Quillen)——以及两位诺贝尔物理学奖获得者——费曼(Richard Phillips Feynman)和威尔逊(Kenneth Geddes Wilson)等[2].

很多参加过普特南竞赛的选手将该竞赛称为“普特难”，因为它确实很难，主要在三个方面：

第一，题目多，时间紧，平均每道题只有30分钟，需要选手迅速找到正确的解题思路，还要将论证过程清晰完整地表达出来；

第二，题目涉及范围广，综合性强，需要选手面面俱到；

第三，评分苛刻，虽然每道题10分，但据统计，3～7分的分值几乎不出现，选手只有做到论证严谨周密才能得到8～10分，而仅仅有思路的证明只能得到1～2分. 一般来说，上午和下午的第一题(A1，B1)比较“亲民”，即题目容易读懂，解答不涉及太多额外的知识和技巧； 最后两题(A6，B6)难度最高，得分人数往往只有个位数. 在此，笔者试举几个例子一窥普特南竞赛的风格.

2015年B1题设f:→三阶可导且具有至少5个不同的实根，求证：f+6f′+12f″+8f‴有2个不同的实根.

解由所给函数形式不难联系到求导公式

(uv)‴=u‴v+3u″v′+3u′v″+uv‴.

设v=f，将系数1,6,12,8分别除以1,3,3,1，得到1,2,4,8，此即为u‴,u″,u′,u之间的比例，于是令u=ex/2，得到

因ex/2f有5个不同的实根，由罗尔定理推论知其三阶导数必有2个不同的实根，而ex/2无实根，结论得证.

前199名参赛者对该题目的得分情况为(从10分到0分)：61，27，7，0，0，0，0，0，41，32，31.

2009年A3题设n阶矩阵的元从左到右，再从上到下依次为cos1，cos2，…，cos(n2)，其中1，2等均为弧度，其行列式之值为dn，例如

解此题看似是行列式与极限的结合，但实际上主要考察行列式运算与三角函数性质，而北美学生普遍对后者比较生疏. 注意到dn(n≥3)的每一行的弧度构成等差数列，由公式

cosx+cos(x+2)=2cos(x+1)cos1

可知，将行列式的第二列乘以2cos1，再减去第一列以及第三列，得到全为零的列，因此当n≥3时，dn=0，故所求极限为0.

前200名参赛者对该题目的得分情况为(从10分到0分)：81，6，6，0，0，0，0，0，6，2，99.

法1先考察所有阶数不超过3，P(0)=0，在[0,1]上P(x)≥0的实系数多项式P(x)，设对于这样的P(x)不等式总成立的最小C值为C0. 显然由P(x)的选取方式可知C0≤C. 另一方面，如果P(x)在[0,1]上的零点将[0,1]分成子区间I1,…,Ik，则P(x)在每个子区间Ii上不变号，且至少在一个端点处取零，于是通过线性变换可将Ii变成[0,1]，P(0)=0，这样在Ii上便有

其中l(Ii)为Ii的长度. 将上式对i=1,…,k相加即可得到C0≥C. 因此C0=C.

法2在计算C0时，注意到多项式P(x)的阶数不超过3，因此由辛普森公式得

其余论证与第一种方法相同.

前187名参赛者对该题目的得分情况为(从10分到0分)：2，0，0，0，0，0，0，0，1，1，183.

以下是一些关于普特南竞赛的网站.

注 本文中所引用的网站链接除特别指明外，均为英文.

1938～2003年普特南试题和解答(https:∥prase.cz/kalva/putnam.html)；

1985年至今普特南试题、解答、得分统计、获奖者名单和其他关于普特南竞赛的文章、书籍等(https:∥kskedlaya.org/putnam-archive/)；

“解题的艺术”数学社区上的普特南试题和讨论(https:∥artofproblemsolving. com/ community/c3249_putnam).

2.2.2 伊利诺伊大学本科生数学竞赛(UI Undergrad Math Contest)，模拟普特南竞赛(Mock Putnam Exam)，大学一年级数学竞赛(Freshman Math Contest)

竞赛信息(https:∥faculty.math.illinois.edu/～hildebr/putnam/)；

1996年至今试题和解答(https:∥faculty.math.illinois.edu/～hildebr/putnam/localcontestproblems.html).

2.2.3 密歇根大学数学竞赛(U-M Undergraduate Mathematics Competition)

官方网站(包括1995年至今试题和解答等)(https:∥lsa.umich. edu/math/ undergraduates/ extracurricular-activities/competitions/undergraduate-mathematics-competition.html).

2.2.4 新泽西大学生数学竞赛(New Jersey Undergraduate Mathematics Competition)

2004年至今试题和解答等(https:∥pages.ramapo. edu/～kkowal/KPWebpage/NJUMC/NJUMChome.htm).

2.2.5 弗吉尼亚理工大学数学竞赛(Virginia Tech Regional Mathematics Contest)

1979年至今试题，解答和比赛结果(https:∥personal.math.vt. edu/plinnell/Vtregional/)； “解题的艺术”数学社区上的相关讨论区(https:∥artofproblemsolving.com/community/c694592_vtrmc).

2.2 东欧篇

2.2.1 国际大学生数学竞赛(International Mathematics Competition for University Students)

国际大学生数学竞赛，简称IMC，是一项发源于保加利亚，在世界范围具有很大影响力的国际赛事，参赛者须为本科生，年龄原则上不能超过23岁. 从1994年第一届在保加利亚普罗夫迪夫起，IMC至今已成功举办27届，有超过50个国家，200余所大学参加，其中77个代表队的总共360名选手参加了第26届IMC.

伦敦大学学院参与IMC的组织，约翰·E·杰恩(John E. Jayne)教授从1994年起担任主席. IMC在每年7月下旬或8月上旬举办，赛程约6天. 正式比赛分两天进行，每天5个小时，5道题目(2020年起改为每天4道题目)，题目范围包括分析(复变函数和实变函数)、代数、几何和组合. 比赛结果分特等奖，一至三等奖和荣誉奖，此外还评选团体奖项及公平参赛奖. IMC比赛期间要求所有参赛者住在官方指定的酒店，旨在提供一个友好、舒适和安全的环境，让他们与来自世界各地的同龄人一起享受数学，拓宽他们的世界视野，并受到启发为自己设定以前可能无法想象的数学目标.

近年来，IMC吸引了包括圣彼得堡国立大学、格罗宁根大学、哥廷根大学等在内的诸多高等学府组队参加. 2018年，一名年轻数学家、第七届IMC参赛者，获得了数学界最高奖——菲尔兹奖.

从整体难度上来看，笔者认为IMC与普特南不分伯仲，且难度结构类似，IMC的第1，6题较易，第5，10题较难； 从内容上来看，IMC中微积分和线性代数所占比重比普特南稍高，技巧性更强(因为普特南每题30分钟，IMC每题1小时)，有些题目非常适合国内大学生课余思考、研究. 试举两例如下.

2021年第1题设A是n阶方阵，满足A3=O.

(i)求证：存在唯一的n阶方阵X，使得下式成立： X+AX+XA2=A.

(ii)试求出X关于A的表达式.

解对于唯一性，注意到等式为线性方程，不妨设X1，X2满足等式，需证Y=X1-X2=O. 将X1，X2代入等式并相减，得

Y+AY+YA2=O，

(1)

在上式中右乘A并由A3=O得到YA+AYA=(I+A)YA=O. 从

(I+A)(I-A+A2)=I+A3=I，

得出I+A可逆，这说明YA=O，于是(1)式转化成(I+A)Y=O，推得Y=O.

再求X的表达式.由A3=O猜测X=aA2+bA+cI，代入等式可解出a=-1,b=1,c=0.故X=-A2+A.

解存在. 事实上有更强的结论：对于任意的=C∪D，C∩D=∅，存在复数列{an}满足对p∈C收敛，对p∈D发散. 下证该推广结论. 记Ck=C∩[1,k]，Dk=D∩[1,k].

首先，对每个k∈，构造复数“单元列”x1,x2,…,xk满足

(2)

现在从单元列出发，令

M=max1≤m≤k,p∈Ck∑mj=1xpj≥1, Nk=k·(kM)k,

设m=kr+s，1≤s≤k，则(ii)后半部分可由下式推出：

最后将所有k-基本列(k=1,2,…)合并成一列，定义为{an}，即

{a1,a2,…}={z1,1,…,z1,N1,z2,1,…,z2,N2,…,zk,1,…,zk,Nk,…}.

IMC官方网站(包含1994年至今试题及解答等)(https:∥www.imc-math.org.uk/)；

“解题的艺术”数学社区上的IMC试题和讨论(https:∥artofproblemsolving. com/community/c3250_imc).

2.2.2 施魏策尔·米克洛什数学竞赛(Miklós Schweitzer Competition)

施魏策尔·米克洛什数学竞赛(MSC)是匈牙利的一项大学生数学竞赛，以二战布达佩斯围城战中牺牲的年轻数学家Miklós Schweitzer的名字命名. 该竞赛始于1949年，以题目高水平著称，内容涵盖代数，组合，函数论，几何，测度论，数论，算子理论，概率论，拓扑学以及集合论等多个数学分支，很多题目直接源于当代数学研究. 参赛者限匈牙利的本科学生或在匈牙利读本科的国际学生. 考试形式为开卷，共有10-11道题目，参赛者有10天时间应对挑战[3].

MSC试题和各类资源(http:∥www.math.u-szeged.hu/～mmaroti/schweitzer/)；

“解题的艺术”数学社区上的MSC试题和讨论(https:∥artofproblemsolving. com/community/c3253_mikls_schweitzer).

2.2.3 东南欧大学生数学竞赛(South Eastern European Mathematical Olympiad for University Students)

东南欧大学生数学竞赛，简称SEEMOUS，由东南欧数学学会(Mathematical Society of South Eastern Europe，MASSEE)主办，面向大一，大二学生，时间在每年二、三月份，至今已举办15届. SEEMOUS的举办形式类似国际数学奥林匹亚(IMO)，选手在5小时内挑战4道题目，内容主要涵盖微积分，代数，几何. 2020年SEEMOUS有保加利亚，罗马尼亚，北马其顿，希腊和土库曼斯坦的近60名学生参加.

SEEMOUS官方网站(http:∥www.massee-org.eu/index.php/mathematical/seemous)；

SEEMOUS-2020网站(https:∥www.seemous2020.auth.gr)；

“解题的艺术”数学社区上的SEEMOUS试题和讨论(https:∥artofproblemsolving. com/community/c648676_seemous).

2.2.4 Vojtěch Jarník 国际数学竞赛

由捷克主办的一项大学生数学竞赛，官方网站(https:∥vjimc.osu.cz/)；

“解题的艺术”数学社区上的相关讨论区(https:∥artofproblemsolving.com/community/c433368_vojtch_jarniacutek_imc).

2.3 其他国家篇

2.3.1 伊比利亚美洲大学数学竞赛(Olimpiada Iberoamericana de Matemática Universitaria)

伊比利亚美洲大学数学竞赛(OIMU)，参赛国为西班牙、葡萄牙以及拉丁美洲西班牙语及葡萄牙语国家，主要包括墨西哥，巴西，阿根廷等. OIMU由各国轮流主办，参赛者须为该地区的本科生. 截至2020年，OIMU共举办了23届.

第23届OIMU官方网站(包含往年试题及解答等，网站为西班牙文)(https:∥oimu.eventos. cimat.mx/).

2.3.2 北欧大学生数学团体赛(Nordic Mathematical Team Contest)

北欧大学生数学团体赛(NMTC)是活跃在北欧五国的大学生数学竞赛，笔者未能找到官方网站或历年竞赛信息，但以下网页包含2016年竞赛规则、试题及解答、获奖名单，以及2007-2012年试题链接(https:∥www.math.ku.dk/english/research/conferences/2016/nmc/).

2.3.3 PUMA纯数学竞赛

由比利时根特大学(Ghent University)主办的一项竞赛，官方网站(包含2009年至今试题及解答等，网站为荷兰语)(http:∥prime.ugent.be/activiteiten/puma/).

2.3.4 MOAWOA数学竞赛

由荷兰乌特勒支大学(荷兰语：Universiteit Utrecht)主办的一项竞赛，MOAWOA是Mathematical Olympiad for All/Wiskunde Olympiade voor Allen的缩写，意为“所有数学专业学生皆可参加”.

MOAWOA比赛信息及试题链接(荷兰语)

(https:∥www.a-eskwadraat.nl/Vereniging/Commissies/cieinfinity/moawoa.html).

2.3.5 西蒙·马赖斯数学竞赛(Simon Marais Mathematics Competition)

西蒙·马赖斯数学竞赛(SMMC)是澳大利亚主办的大学生数学竞赛，以南非裔澳大利亚业余数学家Simon Marais的名字命名，从2017年起举办，在东南亚和大洋洲具有影响力. SMMC的题目类型与普特南或IMC类似，选手可以选择单独或双人组队参赛.

SMMC官方网站(包括2017年至今试题及解答等)(https:∥www.simonmarais.org/).

附：关于“解题的艺术”数学社区(Art of Problem Solving Online)

“解题的艺术”数学社区，Art of Problem Solving Online，简称AoPS，是美国数学教育家理查德·鲁斯奇克(Richard Rusczyk)于2003年创建的在线论坛，主要为中学生提供课外数学学习，特别是数学竞赛方面的帮助，后来推广到从小学高年级到大学，目前是北美最大的综合性数学教育论坛. AoPS主要有四大板块：

(i)在线授课：有偿提供从小学到高中，不同难度、主题的竞赛辅导；

(ii)网上书店：提供各类教辅书籍；

(iii)竞赛论坛：极为详实地收录了全球超过80个国家和地区的各类数学竞赛真题(见https:∥artofproblemsolving. com/community/c13_contests)，以每道题一篇主题帖的形式交流讨论，到2021年为止已有逾70万学生参与，论坛共有超过130万篇主题帖和超过1500万篇讨论帖；

(iv)资源区：提供各种教学视频、数学公式、维基百科等.

3 结 论

本文以普特南和国际大学生两项数学竞赛为重点，详细介绍了其历史、参赛规模、考试形式、题目类型、获奖情况等等，每种竞赛配以两三道题及详细解答以展现其风格. 对于其他竞赛，也简要介绍了主办方与参赛情况等. 文中涉及的所有竞赛，均附有官方网站或往年试题解答以供有需要的读者进一步了解、学习、研究. 此外，还介绍了北美最大的网上数学社区“解题的艺术”(Art of Problem Solving)，其竞赛论坛板块具有丰富的资源，值得借鉴和学习.

致谢作者感谢审稿专家的宝贵意见.