问题与征解

问题

问题19(供题者: 复旦大学 张奇) 甲与乙下棋获胜的概率是40%，但甲想不停地与乙下棋直到净胜乙五局就结束，他有可能做到这一点吗？如果有可能，请给出做到这一点的概率是多少；如果不可能，请说明原因.

注：读者在提供问题解答时，请先提供印刷体的版本，并注明单位、姓名和身份(教师、本科生或研究生等). 解答被选用后需提供word版本.

问题20(供题者:吉林大学 周鸣君) 设B是n(n≥1)中的单位开球，非负函数u在B内二阶连续可导，u(0)=0且u在B内不恒为0.试证明：对于任意的α>0，都存在ξ∈B， 使得Δu(ξ)>αu(ξ)，其中

解答

问题10(供题者: 湖南交通工程学院高科技研究院 冯良贵) 设R={1,0,-1},Rn×n为R上n阶方阵全体, 证明：集合S={detA|A∈Rn×n} 必包含开区间(-2n-1,2n-1) 内的一切整数.进一步,提出如下开放问题：S是否就由闭区间 [-2n-1,2n-1] 内的一切整数所构成？

解以下解答由陈树人(武汉理工大学本科生，E-mail:1340511818@qq.com)和张神星(合肥工业大学副研究员,E-mail: zhangshenxing@hfut.edu.cn )独立给出.两份解答方法基本一致.前半部分选取了陈树人的解答，后半部分选取了张神星的解答.

构造矩阵A的行列式如下

第i行乘以-1加到第i+1行(i依次从n-2到 1)，可得

再将第j列乘2加到第j-1列(j依次从n-1到 2)，可得

显然(-2n-1,2n-1)中的整数可以用二进制展开表示为a1+2a2+...+2n-2an-1,其中a1,...,an-1取值为{-1,0,1}，所以集合S必包含开区间(-2n-1,2n-1).

供题者点评作者利用整数的二进制表示, 结合行列式的基本性质成功地回答了此问题的第一部分.对此问题的第二部分，作者通过举例给出了否定的答案，并与著名的Hadamard猜想相联系，回答简洁有趣，恰好反映了问题提供者初衷.综上，解答人给出了该问题的一个完美回答.