基于数学抽象的“裂项法”教学设计探析*

俞文锐

(福建省福清华侨中学 350300)

数学抽象是数学的基本思想，是数学的本质特征的一种反应，也是形成数学学科理性思维的基础，数学抽象贯穿于概念公式的产生、发展、应用的过程中．[1]如何在数学教学过程中培养学生的数学抽象核心素养呢？这需要教师把握问题的数学本质，结合数学抽象的特点，创设有序多级的问题情境引导学生主动思考，逐步提高抽象概括能力，积累从具体到抽象的基本活动经验，形成良好的思考问题的习惯，灵活运用数学抽象的思维方式思考新问题、解决新问题．下面以“裂项法”教学为例，探究如何培养和发展学生的数学抽象核心素养．

对于这个问题，多数教师采用如下解法：

那么裂项法求和的思维起点是什么？教师要如何创设问题情境来让学生自然地接受这一裂项求和的过程呢？

1 数学情境，感知“裂项”背景

情境1 若已知数列{an}的前n项和Sn，那么数列{an}的通项an(n>1)与数列{Sn}的通项之间存在什么样的联系？

情境2 等差数列{an}的首项为a1，公差为d，令bn=d，那么数列{bn}的每一项d与数列{an}的通项an之间存在什么样的联系？数列{bn}的前n项和能否用等差数列{an}的项表示？

师生活动：(1)根据等差数列的定义，可得d=an-an-1，则数列{bn}的每一项d可以“裂成”数列通项{an}前后两项之差的形式：d=a2-a1，d=a3-a2，…,d=an+1-an．

(2)数列{bn}的前n项和Tn=nd=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an+1-an)=an+1-a1．

评析：数学抽象的过程必须遵循循序渐进的原则，要明晰学生的认知结构和最近发展区，可以确定等差数列的公差、通项等相关概念，以及任意数列{an}的通项与其前n项和Sn之间的关系是“裂项法”抽象的原型．教学应当引导学生在抽象原型的基础上进行数学抽象，从而获得裂项的本质特征．

2 数学探究，抽象“裂项”特征

提高裂项本质特征出现的频率，从而引起学生对“升幂裂项”和“构造函数裂项”这一特征的关注，使这一特征独立于任何问题情境，并且每一次特征的出现都具有一种优势联结．

问题1已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n，你能求出an吗？你能把数列{an}裂成新数列{bn}的前后两项之差吗？你能从函数的角度予以解释吗？

师生活动：因为数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2n，当n=1时,代入可得S1=a1=2，而由an=Sn-Sn-1,代入可得an=2n-2(n-1)=2，当n=1时上式也成立．综上可知，an=2．如果我们变换角度观察，可以发现2=2n-2(n-1)．

从数列角度看，常数列{an}的每一项“2”都可以裂成新数列{2(n-1)}的前后两项之差，令bn=2(n-1)，则an=2=bn+1-bn．

数列是特殊的函数，从函数的观点看，令f(x)=2(x-1)，则an=2=f(n+1)-f(n)，即{an}的每一项“2”都可以裂成一次函数f(x)=2(x-1)的两个函数值f(n+1)与f(n)的差．

问题2已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n，你能求出an吗？你能把数列{an}裂成新数列{bn}的前后两项之差吗？你能从函数的角度予以解释吗？

师生活动：因为数列{an}的前n项和为Sn,Sn=n2+2n,当n=1时,代入可得S1=a1=12+2=3，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1，当n=1时上式也成立．综上，可知an=2n+1， 如果我们变换角度观察，可以发现：2n+1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]．

从数列角度看,{an}的每一项“2n+1”都可以裂成新数列{(n-1)2+2(n-1)}的前后两项之差，令bn=(n-1)2+2(n-1)，则an=2n+1=bn+1-bn．

从函数的观点看,令f(x)=(x-1)2+2(x-1)=x2-1，则an=2n+1=f(n+1)-f(n)，即{an}的每一项“2n+1”都可以裂成二次函数f(x)=x2-1的两个函数值f(n+1)与f(n)的差．

问题3已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2，你能求出an吗？你能把数列{an}裂成新数列{bn}的前后两项之差吗？你能从函数的角度予以解释吗？

师生活动：因为an=Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*)，所以an=(2n+1-2)-(2n-2)=2n．检验当n=1时，a1=S1=2，故an=2n．

如果我们变换角度观察，可以发现2n=(2n+1-2)-(2n-2)，简化得2n=2n+1-2n，从数列角度看，{an}的每一项“2n”都可以裂成新数列{2n}的前后两项之差，令bn=2n，则an=2n=bn+1-bn．

从函数的观点看,令f(x)=2x，则an=2n=f(n+1)-f(n)，即{an}的每一项“2n”都可以裂成指数型函数f(x)=2x的两个函数值f(n+1)与f(n)的差．

评析：能否从“裂项法”抽象物的原型中发现并抽取裂项法的本质属性，是教师能否培养和提高学生数学抽象核心素养的关键．我们可以采用突出“特征”法，提高“特征”出现次数，通过对问题情境的变化，让学生发现变化的背景中不变的东西，就是我们要抽象的“特征”．

3 数学体悟，概括“裂项”公式

运用数学符号表征指导裂项法的教学，引导学生将裂项的本质属性转化为公式的形式．

从特殊到一般的抽象概括，把裂项的本质特征升幂裂项和构造函数裂项，一步一步抽象出来．

我们可以把常见的数列{an}裂成新数列{bn}的前后两项之差，并且从函数的角度予以解释．

结论1 数列角度：A=An-A(n-1)，A=(An+B)-[A(n-1)+B],bn=A(n-1)+B．

函数的观点：令f(x)=A(x-1)或f(x)=A(x-1)+B，则A=f(n+1)-f(n)，bn=f(n)．

函数的观点：令f(x)=k(n-1)2+t(n-1)，则An+B=f(n+1)-f(n)，bn=f(n)．

评析：将数列纳入函数体系中，从函数的角度研究数列，充分体现了新课标所倡导的大背景大框架大思路的研究方法，用数学符号表达是数学抽象的重要环节，能够提高学生用数学的语言表达世界的能力．从具体的问题情境中抽象出了裂项的思路和方法，并用数学符号(公式)予以表示，在这一过程中，学生累积了从具体背景中抽象出数学概念的活动经验．从结论1～3我们发现可以通过升幂进行裂项，可以通过一次函数、二次函数、指数型函数构造新数列，提炼出了解决一类裂项问题的基本方法，同时理解了裂项所蕴含的数学思想：升幂裂项和构造函数裂项．根据满意原则可以认为学生达到数学抽象素养水平二的要求．

4 数学内化，辨析“裂项”内涵

新的概念获得后学生掌握得还不牢固，需要创设新的问题情境强化概念，使其认知结构能够同化或顺应升幂裂项和构造函数裂项．

问题5设数列{an}满足a1=1，an=2n·(2n-1)，求数列{an}的前n项和Sn．

证明：an=Sn-Sn-1=2n·(2n-1)．

猜想：Sn-Sn-1=(2n-1)·2n=(An2+Bn+C)2n+1-[A(n-1)2+B(n-1)+C]2n=(An2+Bn+C)2n+1-[A(n-1)2+B(n-1)+C]2n=[An2+(2A+B)n+C+B-A]2n，A=0，B=2，C=-3．

an=(2n-3)2n+1-[2(n-1)-3]2n，令bn= [2(n-1)-3]2n，则Sn=(b2-b1)+(b3-b2)+(b4-a3)+…+(bn+1-bn)=bn+1-b1=(2n-3)2n+1+6．

结论5 (pn+q)·Cn=(An+B)Cn+1-[A(n-1)+B]Cn=[(AC-A)n+BC+A-B]Cn，其中AC-A=p,BC+A-C=q．

5 数学应用，深化“裂项”应用

通过应用不断提升学生的数学抽象能力，可以锻炼学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力，培养和发展数学核心素养．

问题6求数列{n3·2n}的前n项和.

通过运用裂项相消法，能够轻松解决这类数列求和问题,避开了利用错位相减法求和的复杂计算,显得思路清晰明了．

问题7已知数列{an}的通项公式为an=n3，求其前n项和Sn.

利用常规的数列前n项和的求和方法无法奏效,但是利用升幂裂项的思想，可以轻松化解难题．

数学抽象核心素养培养的五个环节是创设情境，感知“裂项”背景；数学探究，抽象“裂项”特征；数学体悟，概括“裂项”公式；数学内化，辨析“裂项”内涵；数学应用，深化“裂项”应用．这五个环节，环环相扣构建了一个完整的抽象体系，对培养和发展学生数学核心素养具有一定的实践指导意义．