源于课本 渗透素养——2021年武汉中考数学第21题评析

武前炜

(安徽省合肥一六八陶冲湖中学 230601)

作为学科知识的重要载体，教材的重要作用和基础地位不容置疑.在教学过程中，教师要正确使用教材，更要创造性地使用教材，在课本的基础上适时、适当、适度地进行延伸与发散，重视课本的本源性.中考试卷中一些关键位置的题目具有较强的思维发散性，决定着整张试卷的区分度，但是发散的“源头”往往来自课本，课本习题承担着帮助学生理解和掌握数学基本知识、形成和发展数学基本技能的重要功能，特别是一些经典例题、习题是十分有价值的教学资源，也是很多中考题源的根.重视经典习题的探究学习、改编，能很好地帮助学生整合知识、探索规律、形成方法、获得经验，从而发展思维，提升素养，达到“做一题、会一类、通一片”的高效追求.

1 题目呈现

图1

本题为2021年湖北省武汉市中考数学第21题.

2 追根溯源

本题以沪科版数学九年级下册第24章《圆》第69页第14题题干为基础，挖掘几何关系，可谓“根”在课本.

图2

(课本原题)已知：如图2，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.

题目蕴含丰富的几何关系，比如圆周角定理、切线性质、垂径定理、角平分线性质、弦切角定理、三角形相似、圆内接四边形等，这些内容对锻炼学生的识图能力、辨析能力、推理能力以及转化意识都有重要的作用.正如叶圣陶所说：“教材只是个例子.”作为教师在教学中要依托课本习题，从不同的角度、不同的层面、不同的条件进行拓展研究，挖掘问题本质，帮助学生学会学习，强化知识理解与应用，发挥习题最大功效，从而帮助学生跳出“题海”.

3 解法探究

图3

图4

如图4，延长AB,EC交于点H.因为∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+∠BDC,∠ACH=∠OCH+∠ACO=90°+∠ACO,而∠ACO=∠OAC=∠BDC,于是∠ADC=∠ACH,所以△ADC∽△ACH，则AC2=AD·AH，解得AH=6.

4 解后反思

设EC=a,ED=b，则a2=b·(b+1).

这里在由比值推导三角函数值时，过程是可逆的，于是题目也可以改编为逆向考查：给出

图5

(2021年四川自贡卷)如图5，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连结AD,FD．

(1)求证：∠DAE=∠DAC；

(2)求证：DF·AC=AD·DC；

图6

具体解法留给读者探索，这里从略.

5 教学启示

双减背景下，切实减轻学生负担要从教师“增压”开始，教材是教师教学和学生学习的“根”，教材中的习题是编写者精心设计的，值得教师深入研读、研究.我们注意到，很多中考题都是课本经典习题的改编和重组，也就是从课本的“根”生长出来的.用好教材、挖掘教材是教师专业基本功的重要体现，依托课本素材进行深入研究、变化，通过问题不同角度思考及变式训练培育学生核心素养.因此，要注重典型例题和习题延拓与发散，发展学生的思维、落实核心素养，积累活动经验，从而提高教学效率！