小学数学行程问题的解题思路

☉卞 慧

在小学数学教学活动中，教师对于行程类问题的讲解不仅仅在于让学生熟记公式，更重要的是让学生形成一种属于自己的解题思维。行程类问题的难点在于对题目中各种变量的分析，将线段应用在行程类问题的解答中可以帮助学生理清楚行程类问题中存在的各种变量关系。

一、一般相遇追及问题

在小学数学行程类问题的解题教学环节中，学生最先接触到的是一般性质的相遇追及问题。一般性的相遇追及问题是题目中所给出来的已知项中，将多个变量变成了定量，减少了学生中间的思考环节，帮助学生在做题环节中减少中间变量时产生的条件干扰。解决一般类型的相遇追及问题时，要让学生注意寻找题干中出现“一人或者两人”“同时或者不同时”“同向或者异向”等这些字眼来画图解决。［1］

在小学数学行程问题的教学实践中，要科学全面地提升学生的学习质量，不断优化学生的数学素养，教师应该注重创新以及变革行程问题的具体教学思路，更好地优化学生的学习质量。对于学生而言，一般相遇追及问题是相对比较简单的。在具体的教学实践中，教师可以为学生提供必要的教学指导，同时不断优化学生的解题思路，真正帮助学生建构起完善且系统化的学习体系。当学生再遇到这类相遇问题时，能够快速找到解题的切入点，也能够快速高效地进行解答。在相遇追及问题的教学讲解过程中，为帮助学生更加直观地进行认知，也为了引导学生来展开思考，教师可以着重引导学生来进行画图辅助。依托于数形结合的方式，能够简化学生的解题思路，同时也能够有效地帮助学生理解与认知。

例如，在小学数学题目中，问：小明的家、小红的家以及学校是在同一条路上，学校在小明和小红家的中间，小明的速度是30 米/ 分，小红的速度是20米/分，已知小明和小红同时从家里向学校出发，经过十分钟之后，两人在学校门口相遇，求小明家和小红家相距多少米？学生在这一道题目的作图上，可以先画一条线段，然后在线段上标出三个点，三个点分别就是题目中所说的小明的家、学校、小红的家，小明家到小红家的距离就是小明家到学校加上小红家到学校的距离，也就是说根据路程的计算公式，小明家到学校的距离是30×10=300 米，小红家到学校的距离是20×10=200 米，然后小明家到小红家的距离就是300+200=500 米。这种问题在小学数学行程类问题中属于简单的问题，教师在教学生利用线段巧解相遇追及类问题的时候，不用画太过于复杂的线段进行求解，要先让学生明白线段求解问题在于对线段的巧妙运用。

二、复杂相遇追及问题

在小学数学行程类问题的教学中，还会出现一种比较复杂的相遇追及问题。复杂的相遇追及问题分为两个大的类别。首先是多人相遇追及类型的问题，也就是说，在一般追及相遇问题上多了一个要研究的运动对象，以前是对两个人的运动进行分析，现在是对三个人的运动进行分析。对于三个人的运动分析和对于两个人的运动分析其实在解题思路上是一样的，对于这一类型的问题的解答，还是要看学生对于这一类问题的画图能力是否标准，学生在做题环节中所画出来的图能否正确、清楚地表达出问题中三个人的运动状态。［2］小学数学追及类问题的涉及范围是比较小的，最难的多次相遇追及问题的标准型主要是指，已知的是两地之间的距离和两个运动个体的速度，求解的问题是关于n 次相遇的问题以及在一些较难的拓展学生数学思维的题目中会让学生求解有关于纯周期类型的问题（在纯周期问题中，一般讲的是两个运动的个体做的都是折叠运动，在一个周期之后，求两个运动个体在一个周期内在均回到初始点之前相遇或者追及的次数）。在这些难度相对比较大的相遇问题的教学中，教师可以采用案例教学法。所谓案例教学法，就是通过列举具体化的教学案例，指导学生注重开展深入的案例分析，在把握好案例中数量关系的基础上，充分明确不同数量的具体关联性，再将这部分内容转变为具体的数学模型。通过这样的转换，能够在很大程度上优化学生的数学思维，也能够全面提升学生的数学认知能力，还能够保障学生的数学学习质量。通过具体的案例分析，能够帮助学生建构起科学的数学思维，当他们再遇到这类型的题目时，可以快速找到解题的切入点，有效防范可能出现的思维障碍以及认知缺点。

例如，卡车和小轿车同时从m 城出发，在相距600 千米的m城和n 城不断做往返运动，在这个过程中已知卡车每小时20 千米，小轿车每小时30 千米，问题一：两车第一次相遇时距离中点多少千米？问题二：第一次迎面相遇之后又经过多长时间之后小轿车和卡车再次相遇？在问题一中，教师可以先让学生画出一条线段，然后标注好线段的中点，小轿车的速度比卡车的速度快，所以小轿车和卡车若是从同一个地点相向而行，第一次相遇就是迎面相遇，也就是说，小轿车已经从m 城到达了n 城，然后从n城返回的时候迎面遇上了卡车。教师在帮助学生完成对题目理解的时候，一定要让学生能够在线段中理解到在小轿车和卡车完成第一次相遇的时候，此刻小轿车行驶的距离加上卡车行驶的距离等于m 城到n 城的双倍的距离。对于这道题目的第二问上的解答，在画线段理解的过程中就可以看出来，第二次相遇小轿车和卡车的相遇有两种可以假设的状况，第一种是小轿车和卡车的迎面相遇，第二种是小轿车追上卡车是一种追及相遇。在第一种情况下，小轿车和卡车的迎面相遇是指小轿车从m 城到n 城，卡车从n 城到m 城；在第二种情况下小轿车完成了折回再次开始从m城到n 城，卡车则继续从m 城到n 城，这个时候小轿车从后面追上卡车完成追及相遇。对于上述这种多次相遇追及类型的问题，在运动的个体数量上没有变化，仅仅是改变运动个体在某一时间段的运动状态，最简单的运动状态的改变就是两个运动个体在同一时间同一地点反复相遇反复追及，或者两个运动个体在同一时间点不同的地点反复相遇反复追及的问题。在数学教学中，这一类型的问题被形象地称为“反复折腾型”的行程类问题。

三、流水行船问题

流水行船问题在小学数学中算是一种比较特殊并且学生计算较为困难的行程类问题。在讲解之前，教师首先应该让学生明白船是如何在河流中行驶的，船在河流中行驶的时候不仅仅受到人为给的动力。也就是说，船在河流中行驶除了自己前进的速度外，河水还会给其一种往前推的外部动力，学生所要分析的是，在这种情况下，船的行驶的速度、时间、路程。在行程问题的解答过程中，这类问题是较为复杂且抽象的。［3］部分学生在理解与认知的过程中，可能会感觉到一定的思维难度，同时也难以全面系统地进行理解与认知。比如很多学生在解答这类问题时，常常会忽略到最为关键的水流问题。

事实上，对于流水行船的过程中，水流给予船舶的力量，无非就是两种力量，一种是顺流的推进速度，一种是逆流的阻碍速度。在具体的行程问题解答中，教师要引导学生结合题干信息来判断水流方向与行船方向是否一致。在明确两种不同的方向的基础上，教师要指导学生认真阅读题干，有效把握题干中的变化。比如很多题型中，水流方向是不断变化的。可能在前期是顺流，但到了后期则会变成逆流。在明确这些水流方向的基础上，教师再引导学生进行深入的思考，科学建构数学模型。当然，为引导学生深入全面地进行认知，教师可以让学生来进行自主思考和探究。待学生思考探究完成后，教师再结合学生的学习成效给予必要的教学指导，以此来真正有效地提升学生的数学素养。

例如，一艘小船从a 地开往b 地，这时候小船是顺水而行，小船的速度是每小时28 千米，小船到达b 地后，然后又开始逆水行驶，小船再次回到a 地的时候，发现回来比去多行驶了两个小时，已知水流速度是每小时4千米。问：从a 地到b 地相距多少千米？在流水行船的问题中，常见的两个公式是：顺水速度=船的速度+水的速度、逆水速度=船的速度-水的速度；然后教师教学生利用线段求解这一类的问题，小船去的时候速度（顺水速度）=船的速度+流水的速度=28 千米/时。在这道题目中，题中已知小船的顺水速度是28千米/时，在此时就可以计算出船在静水中的速度28-4=24 千米/ 时。船来的时候速度（逆水速度）=船的速度- 流水的速度24-4=20 千米/时。则小船回来的时候所用的时间为（20×2）÷（28-20）=5 小时，由此就可以计算出来小船回来所用时间5小时，小船回来时逆水速度20千米/时，得出a 地到b 地的距离28×5=140 千米。流水行船类型的问题在小学阶段的学习是最基础的，学生只要能够找到船在静水中的速度、船在逆水中的速度以及船在顺水中的速度这三个量，就能弄清楚一般类型的流水行船问题，但是这一类问题难点也在于学生很容易会将这三种速度弄混淆，如一些学生会将船在顺水中的速度认为是船在静水中的速度。

四、特殊行程问题

在小学数学行程类数学问题的教学中，涉及到行程类问题是多种样式的，但这些题目的类型都是行程类问题类型中最基本的题目。小学数学题目中出现的特殊行程问题，主要是帮助学生在这一学习阶段在大脑中对行程类问题有一个最简单最基础的了解。对于特殊类型的行程问题，不少学生在初步接触的过程中，无从下手，认为这部分的行程问题具有一定的特殊性，无法快速有效地把握好解题切入点。事实上，特殊行程问题是简单行程问题的一种变式。［4］学生之所以会在解答过程中，无法找到切入点，就因为他们没有认识到特殊与一般之间的转换关系。为此，教师在特殊类行程问题的教学过程中，要引导学生将特殊行程问题通过数形结合的方式等转变为多个一般行程问题。在先解答一般行程问题的基础上，再逐步提升到复杂行程问题的解决过程中。如此往复，学生的数学思维便得到了有效的提升和优化，学生的数学解题能力也能够得到有效的增进。为此，教师要注重不断优化学生的数学思维，积极培育学生良好的数学分析习惯，切实有效地提升学生数学认知能力。

例如，小民和小红在环形跑道上赛跑，已知小民的速度是每秒钟跑6 米，小红的速度是每秒钟跑4 米，已知学校操场环形跑道300 米，问小民第二次追上小红的时候，小民已经在环形跑道上跑了多少圈？教师在这一道题目的分析过程中，要注意让学生在画图分析中解题。在这一道题目中，最好的作图分析是环形图，做好图纸后教师要帮助学生理解有关于这一道题目的相关分析。题目中小民第一次追上小红小民的路程是环形跑道的路程，然后此时就相当于小民和小红再次同时同地开始跑，就可以将复杂的二次追及问题转化成一次追及问题，这样在一定程度上减少了学生的解题难度。特殊行程类问题的做法其实就是多个一般行程类问题的叠加，所以学生在特殊行程类问题的解答中，重点要学会将特殊行程类问题分解成一般行程类问题，然后用线段巧解一般行程类问题。

五、总结

行程类问题的难点在于问题中涉及的变化比较多，因此，教师要教学生学会利用线段巧解行程类问题，注重引导学生借助线段搞清楚物体运动的具体状况，再将抽象的数学文字进行转化，这样有利于学生更加形象直观地了解到行程类问题中一些已知数据的微妙的变化。学生在这一阶段对于行程类问题的有效思考，对于他们以后的数学学习将有很大程度上的帮助，也对于学生日后数学模型思维的建立和拓展有很重要的作用。