数学现实原则对培养小学生模型思想的教学启示

刘蕊 王威 （哈尔滨师范大学教育科学学院）

模型思想是《义务教育数学课程标准（2011 年版）》（以下简称“新课标”）修订时新增的核心词，其中的阐释是模型思想地建立及学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。小学阶段所研究的模型思想是根据现实生活中遇到的问题情境，进行抽象的过程，通过建立数学模型以及运用数学模型解决同类问题的意识与方法。现阶段培养小学生模型思想仍存在一些现实问题，如教师教学方法单一、难以连接学生的生活经验和数学现实引导学生主动构建数学模型；学生模型意识淡薄、应用数学模型能力不强等。基于数学现实原则，一方面有利于教师根据学生的数学现实在课堂中创设真实情境渗透模型思想，提高学生利用数学模型解决实际问题的能力；另一方面，有利于学生体会到数学与现实世界的紧密联系，感受数学在生活中的魅力。

我国早在19 世纪末已经有了对高等教育领域模型思想地研究。经过多年对模型思想地实践研究，模型思想逐渐深入小学教学的教学领域，研究目的主要为促进一线教师重视教学中的建模过程，培养学生的数学思维。目前，对于小学阶段模型思想地研究和认知相对比较匮乏，教师教育理念陈旧，教师注重建模结果忽视建模过程。因此，教师在课堂上高效渗透模型思想还有很大的发展空间 。

一、基于数学现实原则探讨小学数学教学中培养学生模型思想的价值

弗莱登塔尔是20 世纪数学教育领域最伟大的教育家之一， 他的数学教育思想为我国课程改革带来了新的思路。弗氏数学教育理论中的数学现实原则主张数学源于生活，存在于生活并应用于生活，每个学生在不同阶段都有不一样的数学现实。学生的数学现实即儿童在以往的生活与学习中所掌握的与数学知识结构相关的认知经验、逻辑思考方式、解决问题的策略等。在数学教学中，不能将数学教学与现实生活相割裂，脱离了现实生活的数学教学是无趣的、抽象的、机械的。不能将数学教学与学生已有的数学现实相割裂，脱离了学生数学现实的数学教学不易被学生理解与接受。数学模型通过数学的语言符号和方法来描述现实世界，构建了数学与现实的桥梁，借助数学模型有助于数学教学回归现实生活。

同样在新课标中明确提出鼓励学生主动发现生活情境中的数学问题并抽象成为特定的数学模型、主动对数学模型进行检验与应用。这一过程加深了学生对数学模型的理解，增强学生学习数学的积极情感体验。新课标与数学现实原则相契合，充分体现了模型思想的重要性。数学模型与学生的生活经验、数学现实紧密相关，在数学教学中走出书本，走进学生的生活现实、数学现实有助于培养学生的模型思想，发展学生的数学思维，提高学生应用数学模型解决实际问题的能力。

二、小学数学教学中培养学生模型思想存在的问题

（一）教师注重书本教学，忽视学生数学现实

教学中，小学生数学模型思想地渗透与培养主要源于课本教材，是经过专家学者精心设计好的数学问题，学生建立模型思想的过程也是被动接受的过程。弗莱登塔尔在《数学教育再探》一书中提出，教师讲授现成的数学知识是违反教法的，自然界或现实生活中的问题情境的数学思想、数学问题不应该由教科书的作者或者教师来示范说明，而应该留给学生去发现、探索与体验。培养小学生的数学模型思想不能脱离于学生已有的数学现实，目前小学数学教学过程中以教材为主，忽视学生的数学现实，易使学生失去学习数学的乐趣与探究数学模型的兴趣。

（二）学生缺少现实生活经验，难以主动建构数学模型

小学数学是日常生活的一部分，广阔的生活中蕴含着丰富的数学知识，弗莱登塔尔指出数学教学要与学生的现实生活经验紧密地联系在一起。现实生活中的问题往往包含了很多复杂的因素且解决问题的办法是多种多样的，而在传统数学教学中，学生解决的是经过专家、教材编者精心设计的有固定答案的问题而并不是现实中的真实问题。自然中蕴含着丰富有趣的数学知识，如蚂蚁在搬运食物的过程中总能找到最短的路线；丹顶鹤成群结队迁徙时，排成的人字形角度是固定不变的。给予学生更多机会接触大自然，增加学生的现实生活经验有利于师生在教学过程中回归现实，化抽象为具体，让学生更容易理解数学概念，逐步培养学生的数学兴趣，探索自然界中的数学模型。同样，基于生活经验培养学生的模型思维也是课程改革贯彻的思想路径。

培养学生的模型思想需要教育者联系学生的生活经验，在学生的数学现实基础上渗透。学生积极主动地建构数学模型思想需要有自己独特的生活经验以及与自然接触后对问题地思考，让学生体验在生活中有趣而复杂的问题情境，在问题情境中从多角度发现数学问题，将数学问题经过思考再次加工提炼出数学模型，并对自己头脑中所创建的数学模型进行进一步地验证与运用。生活经验的缺失容易使学生逐渐失去接触现实生活的机会、探索数学问题的乐趣、体验解决数学问题的过程，因此学生很难主动建构数学模型。

（三）教师创设建模情境脱离学生生活实际，渗透模型思想效果不佳

模型思想是数学基本思想之一，小学阶段的数学模型是为解决现实生活中的问题而建立的数学概念、公式、定义、法则等。一些小学教师认为模型思想是高深的、抽象的，需要复杂的现实情境与条件，包含广泛的数学综合知识，小学阶段学生的水平难以汲取其思想内核。事实上，部分教师未能深入理解模型思想的内涵，在教学中进行模型思想地渗透时，创设建模情境远远脱离于学生生活实际，难以调动学生主动构建数学模型的积极性。尽管一些教师会根据教材内容创设情境，渗透内容背后的模型思想，但数学建模的过程仅仅是对数学模型的生搬硬套，而非引导学生积极表达、思考与解决问题。教学中，教师应准确把握教材内容背后的模型思想，合理创设贴近学生现实生活的问题情境，设计有趣地实践活动，引导学生积极主动地参与建模过程，潜移默化地向学生渗透模型思想。

三、数学现实原则对培养小学生模型思想的教学启示

（一）引导学生基于个体经验体会数学发现

数学源于生活，生活中蕴含着丰富的知识，数学现实原则主张教师在进行教学时不能停留于书本而应该带领学生感受大自然与美好的生活，将数学教学与生活实际联系在一起，提高学生发现生活中数学模型的能力。

案例1：认识人民币是人教版一年级下册的教学内容，教师可以充分利用学生在生活中的购物经验，将这一节课程设计成为实践活动，让学生在真实的购物活动中，了解各类商品的价格，认识元、角、分之间的进率关系。教师在设计实践活动时留给学生一定的时间和空间，让学生成为课堂真正的主人，教师在课堂中扮演组织者与引导者的角色。教师可以联系学生生活中的购物经验，尽量多地为学生提供实践与合作交流的机会，使每一名学生都能参与到认币、换币的活动中并在活动中得到充分展示，在感受购物活动乐趣的同时使学生认识人民币。

在模拟真实生活情境中进行模型思想地渗透，有利于学生运用模型解决简单的实际问题，培养学生在生活中发现数学模型的能力，增加学生的数学现实，有利于学生在生活情境中主动地提取出数学模型。引导学生在现实生活中善于发现数学模型、感受数学模型，虽然不能起到立竿见影的效果，但对于学生模型思想与数学思维的长远发展是大有裨益的。

（二）创设教学情境理解数学模型

数学具有抽象性，许多学生认为数学是有难度的,尤其是低年级的学生，思维以具体形象思维为主，逐步向抽象思维过渡，这一阶段的思维仍然依赖于学生在生活中的直接经验。学生不依赖于具体的事物与实物，难以感受具象化数学。因此，在教学中如何能使学生感受到数学的魅力是值得教师思考的。数学现实原则主张数学必扎根于生活，要将数学教学与学生的现实生活紧密联系在一起，相比于教师对书本知识的讲解，创设贴近学生生活的教学情境，更容易调动学生学习数学的热情。教师在设计课堂活动时应投其所好，更多地考虑这一阶段学生思维特征与兴趣爱好，帮助学生深入理解数学模型。

案例2：“鸽巢问题”是人教版数学六年级下册的内容，这部分内容是教学中的难点。很多教师的教学急于求证“鸽巢问题”的结论，忽视了创设真实的教学情境，未能连接学生的数学现实，学生难以解决“鸽巢原理”的变式问题。教学中，教师可以首先创设“抢凳子”的游戏激发学生的兴趣；其次设计课堂活动，让学生动手操作并讨论4 支铅笔放进3 个文具盒的情况；再次引导学生深入探究，回顾反思，建构“鸽巢原理”模型；最后应用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。这样的课堂设计重在接近学生的现实生活，使学生经历从生活情境中抽象出“鸽巢原理”的过程，深入理解“鸽巢原理”的模型思想，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题；通过对“鸽巢原理”的问题变式，提高学生应用“鸽巢原理”数学模型的能力，使学生感受到数学模型与生活是息息相关的。

在身心愉悦的课堂氛围中，通过创设游戏为渗透“鸽巢原理”这一数学模型做铺垫，教师充分调动学生的求知欲，因地制宜巧妙地设计课堂游戏活动，对学生渗透模型思想有着润物细无声的作用。积极创设真实情境，在增强学生课堂体验感的同时也为学生搭建增强数学现实的平台。在模拟现实生活情境中抽象出数学模型，培养学生在生活中主动去建构数学模型的意识，发现现实情境中的问题及数学变量及关系，再从学生已有的知识背景、现实经验中出发，发展学生的模型思想。这需要教师精心紧凑地设计每一环的教学活动，创设贴近学生生活的真实情境，激发学生主动探索现实世界与数学世界的联系，最终主动建构自己对于数学模型的理解。

（三）根据学生现有水平选择数学模型解决策略

学生的数学现实是从以往的学习生活中抽象出来的数学知识、数学方法以及数学思维与经验的总和。基于学生已有的数学背景与经验，教师要引导学生独立思考，对数学知识进行分析、检验和判断，主动建构对模型思想地理解。在小学数学教学中，教师渗透模型思想的效果最终体现于学生对于数学模型的应用能力。从多种角度去探索数学问题的本质有利于学生从不同角度深入理解数学模型，激发学生对数学模型进行转换与再创造的兴趣，提高学生的数学模型应用的能力。因此，在课堂上基于学生数学现实，发展学生的模型思想，使学生在问题解决的过程中寻求多种方法与策略是必不可少的环节。

案例3：“鸡兔同笼”是人教版数学四年级下册的教学内容，这一问题既是数学趣题也是教学中的难题。在鸡兔同笼的教学设计中，教师让学生在问题解决中经历从猜测到熟悉的列表法，再到“假设法”探究“鸡兔同笼”问题过程，最终引出列方程解决“鸡兔同笼”问题方法。基于学生数学现实，逐步探索问题解决的不同方法，感受解决问题的策略和方法的多样化，最终使学生熟练掌握“鸡兔同笼”的数学模型。

基于学生数学现实探讨解决问题的多种方法，启发学生在观察、猜测中提出新思路、在验证与推理后提出新设想，注重一题多解，重视多解归一，使学生深入掌握数学模型的同时训练学生思维的广阔性和灵活性，不断推动学生发展认知策略与模型思想。

（四）建立数学模型解决实际问题

弗莱登塔尔认为生活为数学教育提供了丰富的背景，现实生活紧密包含了数学中的各个要素，数学源于生活必然要回归生活、应用于生活以解决实际生活中的问题。数学教学如果脱离了那些多姿多彩而又错综相连的现实问题必将成为“无根之木”。数学必扎根于生活，实施现实原则的关键是让学生接触现实中的实际问题、提取出数学问题，主动思考如何解决这一问题，总结方法并能提炼数学模型，遇到问题能主动应用数学模型，提高学生利用数学模型解决非刻板化的、灵活的现实问题的能力。

案例4：“植树问题”是人教版数学五年级上册的教学内容，这一内容的教学目标主要是渗透植树问题的思想方法，教师在教学中设计学生常见的生活中的问题，通过画线段图，使学生主动探索植树规律，提取植树模型，再用探索到的植树模型解决生活中常见的实际问题。

数学应用于生活，教师应善于将模型思想与生活中的实际问题联系起来，结合具体的事例进行数学模型思想地渗透。教师应意识到培养学生的数学模型思想是为了提高学生解决实际生活中的复杂问题，而不是有准确答案的虚拟问题。生活中的问题包含了许多小学生可以尝试探索的数学模型，教师要善于将真实问题情境迁移到课堂当中，培养学生在实际生活中主动探索与应用数学模型的意识。

弗氏数学教学思想中数学现实原则充分重视了学生在教学中的主体地位。根据学生数学现实，教师应精心设计贴近学生生活的教学探究活动，让学生在生活情境中仔细观察、合理猜测验证和解决问题的过程中建构数学模型；根据学生的现实经验引导学生在生活中善于发现数学模型、利用数学模型解决实际生活中的问题。总之，基于数学现实原则培养小学生模型思想，可以发展学生数学思维，促进学生全面发展。