初中几何推理教学路径探究——从2021-2022 年福建省中考几何压轴试题谈起

李霞

（福州教育研究院，福建 福州 350001）

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》修订保留《义务教育数学课程标准（2011 年版）》的合理内核及延续《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》倡导的数学核心素养主张.2022 年的中考是“双减”背景下的第一年中考，也是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》颁布后的第一年中考，福建省中考的几何压轴试题基本保持了以往的考察方式，保证了几何核心思维的考查——逻辑推理，也引导教师继续关注初中平面几何的教育任务.但这个任务的学习效果从试卷测评所反馈的情况看不容乐观，在抽查的测评试卷中，我们发现学生不能顺利完成几何压轴试题解答的原因是：不知道几何思维在问题解决中的作用，不懂得几何基本图形及几何基本方法，不能根据条件和图形构造基本图形并获得结论的使用，不明白几何问题探究的路径等.

一、中考几何压轴试题的解构

案例1（2021 年福建省数学中考第24 题）：

如图1，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A'，AA'的延长线交BC于点G.

（1）求证：DE//A'F；

（2）求∠GA'B的大小；（3）求证：A'C=2A'B.

案例2（2022 年福建省数学中考第24 题）：

已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC.

（1）如图2，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；

（2）如图3，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；

（3）如图4，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度数.

（一）考法分析

1.载体自身的结构特点

两道题的载体分别是三角形与四边形.三角形的核心知识，一是构成三角形中基本元素（边、角、边与角）及与三角形相关的元素（中位线、内角平分线、高及中线）之间的关系；二是两个三角形之间的合同或位似关系.四边形的核心思维在于四边形的问题基本上要转化为三角形来处理，这也是研究多边形问题的一般性方法.另外，特殊的四边形（平行四边形）及特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）的中心对称与轴对称性质，是解决许多数学问题和现实问题的基础.

2.载体在初中数学地位

三角形的有关知识是“图形与几何”中最为核心、最为重要的内容.三角形既是最基本的直线型图形，也是研究其他图形的工具和基础.特别是平面图形中的计算、推理论证等问题，一般要转化为三角形的问题来解决.

四边形的内容，承载着培养和发展演绎推理能力的功能，它作为初中阶段最后章节的直线型部分，很好地完成了从合情到演绎的过渡.特别是平行四边形法则，沟通勾股定理和向量内积，成为数学理论中重要的内容.另外特殊的四边形和图形变换中的“平移”“轴对称”“旋转变换”又有着广泛的联系.

（二）答题分析

1.几何思维中的确定性思维

2021 年的第24 题，还原图形的生成过程（图5 到图8），可以发现几何思维（图形的确定性思维）在本题中作用，四边形是确定的，边确定，E，F为AB边上的两个三等分点，则AE、EF、FB都是确定，且长度相等.点A关于DE的对称点为A'，A'也是确定的，三角形ADA'也是确定的，AA'的延长线交BC于点G，G点也是确定的，△ABG也是确定，且全等于三角形ADE，得到BG=AE=EF=FB，因此CG=2BG，为第三问打下基础.

其次学会消点法（构图法），如图6 到图8，题目中出现的A'点，点要与其他点产生联系，才能“有所作为”：①A'点在AA'上，A'H=AH；②连接A'F，A'F与DE产生平行位置关系，即为要证的（1）中的结论；③连接A'B，产生∠GA'B，即为要求的（2）中的结论；④连接A'C，出现新的△A'BC，即为要证的（3）中的结论.明白了试题的生成过程，对要解决的问题就不会太难，如第（1）问产生的新的线段也与原来图形中HE构成三角形中的中位线关系.第（2）问中的∠GA'B大小，从图形上可以猜想它与∠GFB相等.由BG=FB，得到△BGF为等腰直角三角形，可得∠GFB=45°.

第（3）问，如图9 首先可以通过测量得到A'C=2A'B.由于CG=2BG，∠GA'B=45°，只要证明∠CA'B=45°，因DA=DA'=DC，可以发现点A、A'、C在以D为圆心的圆上，则∠CAG=1/2∠ADC=45°.

第（3）问，还可以用建系的方法解决，如图10，令AE=1，根据kDE=kA'F=−3，得直线A'F的解析式为y=−3x+6，直线AG的解析式为y=，交点A'为（），则A'C，A'B=，所以A'C=2A'B.会想到这种方法.说明学生已经具备确定性思维，如△A'BC是确定的，则它的边长是可以定量表达的.因此确定性思维是几何思维中定量问题能够解决的充要条件.

可以看到：几何思维中的确定性思维对问题解决的策略，先是还原图形的生成过程（分步画图），其次确定每步的结论以及相应的可用的方法，最后判断基本图形或及其元素是否需要移动（也可以是量的等价转移）.对于特殊的确定性图形，还可以思考建系的方法解决.

2.演绎逻辑中的合情思维

2022 年的第24 题，是以等腰三角形作为基本图形，通过图形的运动，寻找变中不变的性质探究.第（1）问，由△ABC≌△DEC，得到AC＝DC；由CB平分∠ACD，得到∠ACB=∠ECB.于是本题有两个途径证明菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边相等的四边形是菱形，考查特殊四边形的判定定理.

第（2）问，由∠ACB=∠DEC，∠ACF=∠CEF，证出∠ACF+∠ECF+∠EFC=180°，证出∠ACE+∠EFC=180°.考查旋转变换中那图形的不变性质，两个全等三角形，随意摆放，若对应顶点排列顺序一致（平移除外），通过一次旋转变换，可以将其中一个三角形（△ABC）变换到另一个三角形（△DEC）.这里的∠ACF=∠CEF，其实就是基于一种经验、一种归纳得到的结论（对应线段之间的夹角相等且等于旋转角）.

对于第（3）问，题目本质上是两个等腰三角形（△A CB与△A CD）图形的叠加，问题就是研究构成这两个等腰三角形的基本元素—角（等腰三角形顶角∠CAB与∠ACD）之间的关系，这关系的寻找需要构造，根据题目给的条件是一边一角，题目的解决指向构造全等三角形（图11）.得到新结论△BMD为等腰三角形，从而沟通出∠BDA与∠BCD及∠BDC之间的关联.再根据题意，△A CB内陷在∠ACD中，角度之间隐藏着和差关系，即∠ACD+∠CAD+∠CDA=180°，从而得到∠BCD+∠BDC=30°，使问题得以解决.这种的思路还是基于合情推理中归纳、类比的经验使用，承认了全等三角形的价值，那么应该将建构全等三角形的方法提升到素养的层面，即在处理含有等边等角（拟等角、拟等边）的问题时，将建构全等三角形看作重要的思维方式.

另外，还可以先猜测∠ADB的度数为30°，然后去操作探究∠ADB与60°之间的关联，与60°关联的可以构造等边三角形，也可以构造同弧所对的圆心角.如图12 的三个图，其∠APC为被构造出来的60°.

几何问题的理解，要依据几何的图形思维，把几何对象化为具有几何特征的图形.如30°这是个数量化的元素，可以转化成60°，而60°可以把它置换在几何图形（等边三角形）中去研究，运用学过的几何的定义与性质去演绎.这种在学生通过猜测、观察、操作、变换探究出来的图形的性质，渗透了合情推理能力的培养和发展.

通过两道中考几何压轴试题的解构，可以看到无论是几何思维中的确定性思维，还是演绎逻辑中的合情思维，都是平面几何推理教学中需要秉承的思维.而这种思维的养成需要设计，需要通过几何推理教学的载体加以实现.

二、初中平面几何的推理教学

（一）初中平面几何的教育任务

现代中等教育把欧几里得《几何原本》中的内容分成了若干部分，分别归到平面几何、代数、三角、立体几何.初中平面几何的内容主要取材于《几何原本》的前六章，大致概括为点、线、面、角的概念，三角形，两条直线的位置关系（包括平行，垂直），四边形，圆，相似形，求图形的面积这样几个部分［1］.原北京师范大学副校长傅仲孙说过：“几何之为学，自实用方面观之：固为研究空间研究物体形状大小之学，自理论方面言之：则纯乎论理之一大盘演绎推测式也.”几何学习的最低要求——出于生活和生产的需要，要认识我们生活的空间，必须学习一些必备的基础几何知识.［2］几何学习的高层次要求——“培养逻辑思维与形成演绎体系是几何的特权”.平面几何是以图形为研究对象的学科；教材的安排线索先是通过观察、实验、猜想，接着就不失时机地补充推理验证.在平面几何的学习中，要教会学生识别图形的基本元素，研究基本元素之间的关系，研究平面几何的思维工具——变换（全等、相似）.研究用综合方法、坐标方法解决几何综合问题.何为几何综合问题：就是从逻辑推理和定量计算的角度来探求新的、未知的结论，通俗地讲就是创造条件实现由已知向未知的转化［3］.因此作为教育任务的初中平面几何教学的路径：从实验几何开始，用归纳实验去发现图形之本质，再以实验几何之所得为基础，用逻辑推理去探索新知，最后发展到推理几何，用演绎去论证，对已知的各种各样空间本质，精益求精地作系统化和深刻的分析［4］，形成综合几何问题解决的素养.

（二）初中平面几何思维的培养

北京市海淀区教师进修学校的张鹤老师认为：几何思维即几何图形思维——图形（形状、大小）的确定性思维.几何确定性思维是综合几何问题研究的思维路径.研究几何思维要从研究几何基本图形与基本方法开始.

何为几何基本图形？现行教材中概念、公理和定理所对应的图形都可记为基本图形，［5］一般分为两类：第一类是构成图形的基本元素及封闭图形，如点、线、角、相交线、平行线、三角形、四边形、圆等；第二类是在第一类基础上加一条线（线段、射线），如一条线与两条相交线，三角形及边上的高、三角形及其角平分线、平行四边形及其角平分线、垂直径定理及其推论、圆内接四边形及其对角线等.

基本图形的方法：是指在几何图形中分解或构造出起主要作用的基本图形，通过这些基本图形已知条件与要得出结论之间的联系，以求得问题的解决［6］.要实现基本图形的方法，首先要有图感，接着是方法感，如图13，对于一个几何问题，如果我们分析得到它的基本图形有一个或者若干个不完整的图形，那么我们可以把这些基本图形添加完整，然后应用.所以添加辅助线的目的是为了把不完整的基本图形补全，已使基本图形的性质（结论）得到应用而完成证明.这就是基本图形方法，也是几何思维的本质.

（三）初中平面几何的推理教学

推理：根据一个或几个事实（或假设），得出一个判断，这个思维方式就是推理.如：“因为三角形内角和为180°，所以，内角和不是180°的多边形不是三角形.”任何推理都由两部分组成，前提和结论.根据前提和结论的真实性关系，推理可以分为论证推理（若前提真则结论一定真的推理，主要是演绎推理）和合情推理（若前提真则结论似乎真的推理，主要包括归纳推理和类比推理）.

1.平面几何推理教学开始的路径

平面几何研究的是点线的直观概念及变换的形象概念，这些平面图形概念的获得一般都是从直观开始描述.如垂线、三线八角等，许多概念没有作严格的形式化的要求，是结合图形描述的，借助几何直观，可以加深对概念的理解.要明确认识图形的基本标准，如根据图形建立知识，先有图再有概念.明白认识图形的方法，从概念到性质（判定）再到延伸问题及应用.

初中几何思维的课程发展链，首先是从物到形，建立在视觉感知基础上的直观几何；接着是从素材到关系，以归纳演绎为基础的实验几何；然后是从合情到演绎，以演绎推理为基础的理论几何.

推理开始的路径无论是平面图形概念的获得，还是从课程链的发展，都应从直观开始.平面几何是研究构成图形的基本元素及基本元素之间的关系（数量和位置关系），其内在逻辑——定性到定量的过程.定性研究中，要发挥图形的直观功能，可以容易地得到位置关系的定性描述.［7］

2.平面几何推理教学实现的路径

研究图形，其实是从元素的位置关系入手，而位置要靠数量来刻画，而这两种关系的总和就是形状.平面几何推理教学实现的路径：图形（三角形）—图形关系（全等三角形）—图形运动（平移、轴对称）—图形运算（勾股定理）—数形结合（平面直角坐标系）.而图形（三角形）中研究的问题、线索和基本方法；定义（组成元素、分类）—性质（变化中的不变性、规律性）—变换（确定三角形的条件）—特殊图形的研究（直角三角形、等腰三角形）等.再如四边形，它与三角形不一样的地方是它的不稳定性，比三角形多了对边、对角、对角线，因此确定四边形研究的基本方向：先研究对边、对角的位置关系，再研究数量关系，进而再研究邻边邻角的数量关系；利用对角线可能存在的位置关系过渡到数量关系，从而形成四边形的所有的知识［2］.特别是性质定理是已知图形形状，进而得出图形元素的数量或位置关系；判定定理是已知图形元素的某些数量或位置关系，依此判断图形形状.因此，无论是性质还是判定，都是围绕图形的基本元素展开.平面几何推理教学实现的路径以图形会载体，单个图形可以研究构成图形基本元素的属性，多个图形就研究他们的关系.关系可以是数，也可以是位置，但数量化的几何一定要置换在图形中去研究.