核心素养视域下的2022 年新高考I 卷数学部分试题命制思路与解析

杨苍洲

（1.泉州第五中学，福建 泉州 362000；2.福建教育学院数学教育研究所，福建 福州 350025）

《普通高中数学课程标准2017 年版2020 年修订》提出了数学学科的六大核心素养：数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算和数据分析.新高考试题的命制也从知识立意、能力立意，转变为素养立意.2022 年，教育部教育考试院命制的新高考I 卷数学试题，其题面亲切、形式简约、思想深刻、内涵丰富.每道试题的背后都有其精彩的故事，细品题中所蕴含的数学知识、思想、方法，可以感受到试题的命制基于数学核心素养，试题是核心素养自然浸润的成果.指向素养立意的新高考数学试题更加注重检测学生的基础知识、思维水平、探究能力、学科素养、创新能力、应用能力等，其解题过程更多的是基于核心素养的探究活动.

一、直观想象视域下的函数导数试题

编制函数导数试题的时候，为了减少思维的抽象性，命题者往往先作出函数图象，然后观察函数图象，分析函数特征，在图象中发现问题、提出问题，并编制成题.命题从图象中来，解题要回图象中去.因此，解题往往也是从作图开始的，解题者要把自然语言、符号语言翻译成图象语言，在图象直观中，发现解题入手点，并形成思路，理顺逻辑，解答问题.

题1.（2022 年新高考数学I 卷，T22）已知函数f(x)ex−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值.

（1）求a；

（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

下面从命题的角度进行思考，并给出本题两个设问的几何解释.函数f(x)和g(x)的解析式含有元素：ex，lnx，ax.首先，我们想到的是y=ex，y=lnx互为反函数，其图象关于直线y=x对称，如图1；曲线y=ax的斜率为a，图象过坐标原点.

设A(x1,ex1)，B(x2,lnx2)，C(x1,ax1)，D(x2,ax2)，

则|AC|=f(x1)=ex1−ax1，|BD|=g(x2)=ax2−lnx2.

记点A(x1,ex1)，B(x2,lnx2)到直线y=ax的距离分别为d1，d2，则，如图2.

当d1，d2分别取得最小值时，|AC|，|BD|也取得最小值，即函数f(x1)=ex1−ax1，g(x2)=ax2−lnx2取得最小值.

由曲线y=ex，y=lnx的图象关于直线y=x对称可知，当且仅当a=1 时，d1，d2的最小值相等，即f(x1)=ex1−ax1，g(x2)=ax2−lnx2取得相同的最小值.

因此，可得问题（1）：“已知函数f(x)=ex−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值，求a.”

上述即为问题（1）的几何直观解释.

当a=1 时，图中的三条曲线分别为y=ex，y=lnx，y=x.现在对直线y=x进行平移，可得直线y=x+b与y=x−b，且这两条直线也关于直线y=x对称.

设直线y=x+b与曲线y=ex相交于M(x3,y3)，N(x4,y4)(x4>x3)；直线y=x−b与曲线y=lnx相交于P(x5,y5)，Q(x6,y6)(x6>x5)，如图3.

根据函数的对称性，结合图象可知，|MN|=|PQ|，即x4−x3=x6−x5.

特别地，当x4=x5时，x3+x6=2x4=2x5，如图4.

又“直线y=x+b与曲线y=ex相交相交于M,N两点，直线y=x−b与曲线y=lnx相交相交于两点P,Q，|MN|=|PQ|”等价于“直线y=b与曲线f(x)=ex−x有两个不同的交点E,F，与曲线g(x)=x−lnx两个不同的交点G,H，且|EF|=|GH|”，如图5.

特别地，当点F与点G重合成I时，|EI|=|IH|，即E,I,H的横坐标成等差数列，如图6.

因此，可得问题（2）：“证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=ex−x和y=x−lnx共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.”

上述即为问题（2）的几何直观解释.

由上分析表明试题的编制自始至终渗透着直观想象素养.解题者也应借助图象直观分析解答问题.

二、逻辑推理视域下的立体几何试题

试题的命制过程往往是命题者“执果寻因”的逆向逻辑推理过程.如在编制“立体几何与空间向量”的试题时，命题者可先设定一个确定的空间几何体，并根据空间几何体的特征，编制若干可确定该几何体的几何量或者位置关系的条件，让学生根据条件求解空间几何体，然后在确定的空间几何体中探究其他的几何量和位置关系.

题2.（2022 年新高考数学I卷，T19）如图7，直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为.

（1）求A到平面A1BC的距离；

（2）设D为A1C的中点，AA1=AB平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A−BD−C的正弦值.

命题者拟以直三棱柱为背景，考查“利用等积转化求空间中的点面距离”的方法.等积法的关键是转换顶点，进行等积转化，由，可得，又因为，所以.因此，只需要给定直三棱柱ABC−A1B1C1和△A1BC的面积，即可求解点A到平面A1BC的距离.

由此，编制出题干与问题（1）：“直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为，求A到平面A1BC的距离.”

一道立体几何试题的命制过程中，命题者是有全局观的.命题者对本道试题所涉及的几何图形、空间位置关系、几何量等是要有整体把握的.

题干与问题（1）所给的两个条件是无法确定这个直三棱柱的.要确定一个三角形至少需要三个单一独立的条件，如已知三边、已知两边一夹角等.那么，需要几个条件才能确定这个直三棱柱呢？要确定一个直三棱柱，需要确定直三棱柱的侧棱和底面三角形的形状和大小，因此至少需要四个单一独立的条件.

题中给出直三棱柱ABC−A1B1C1的体积和△A1BC的面积，因此需要再给出两个条件，于是命题者给出“AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1”两个条件.这四个条件即可确定直三棱柱，下面进行验证：

由条件“AA1=AB”可以快速判断出四边形ABB1A1是正方形，其对角线互相垂直平分；结合条件“平面A1BC⊥平面ABB1A1”，可得点A到平面A1BC的距离等于点A到A1B中点的距离，从而得到正方形ABB1A1对角线的长度，进而确定AA1,AB的长度；由“直三棱柱ABC−A1B1C1的性质，平面A1BC⊥平面ABB1A1”可以证得BC⊥平面ABB1A1，进而得BC⊥AB，BC⊥A1B；再结合“△A1BC的面积为”求得BC的长度.至此，侧棱及其底面三角形的形状和大小确定，从而确定了直三棱柱.有了确定的空间几何体，即可在几何体中设问其中的各种几何量，如求二面角的大小.

由此，编制出问题（2）：“直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为，设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1求二面角A−BD−C的正弦值.”

数学是讲道理的，解题靠推理.命题是“执果寻因”的推理过程，解题是“由因导果”的推理过程.无论解题还是命题，其基本工作形式都是逻辑推理，逻辑推理素养的具体表现是如何科学地、符合逻辑地在“因果”之间进行转化，从而实现命题或解题目标.

三、数学抽象视域下的不等式试题

数学抽象是指在具体问题背景中发现规律，归纳出共同的、本质的问题，建立数学模型加以研究.数学抽象常常从数量关系、数式的结构特征、图形关系等角度进行抽象研究.在命制“比较数值大小”的试题时，命题者常常从已知的不等关系出发，对不等式进行赋值、变形，得到具体数值的大小关系，从而设置试题.学生解题时需具备较强的数感和符号意识，根据数式的特征，对问题进行抽象，再构造函数求解.

题3.（2022 年新高考数学I 卷，T7）设a=0.1e0.1，b=，c=−ln 0.9，则

A.a

根据题干所给三个式子的结构特征，通过观察、归纳、抽象，发现a,b,c均是某函数在0.1 处的函数值.构造函数f(x)=xex，g(x)=，h(x)=−ln(1−x)，则a,b,c分别是f(x)，g(x)，h(x)在x=0.1 处对应的函数值，即a=f(0.1)，b=g(0.1)，c=h(0.1).

借助画图软件作图，如图8，可以发现g(0.1) >f(0.1) >h(0.1)，即c

由图象可看出，函数f(x)，g(x)，h(x)在x=0 附近的图象是非常接近的，肉眼几乎不可识别.若想借助函数图象解题，可用导数严格地加以证明.除了用图象观察得结论，编制试题.笔者猜测本题是对重要不等式lnx≤x−1 进行恒等变形、赋值而得.

曲线y=lnx的图象在其切线y=x−1 的下方（切点（1，0）除外），并由此可得不等式lnx≤x−1，当且仅当x=1 时，等号成立.

y=lnx与y=x−1 在x=1 附近的函数值是非常接近的，通过估算是难以比较其大小的.因此，命题者考虑，设置比较两个函数在x=1 的附近的函数值的大小，如比较ln 0.9 与0.9−1=−0.1 的大小.

由于背景的函数、不等式相对简单，若仅是对这两个数进行比较，则问题相对容易.因此，命题者对上述恒等式进行变形.

由“lnx≤x−1，当且仅当x=1 时，等号成立”，得“，当且仅当x=0 时，等号成立”，即“−ln(1−x)≤，当且仅当x=0 时，等号成立”.

由“lnx≤x−1，当且仅当x=1 时，等号成立”，得“ln(1−x)≤−x，当且仅当x=0 时，等号成立”，得“e−x≥1−x当且仅当x=0 时，等号成立”，得“当x<1，，当且仅当x=0 时，等号成立”，得“当0

综上，当0

那么0.1e0.1与−ln 0.9 的大小关系又如何呢？

构造函数φ(x)=xex+ln(1 −x)(0

当0 2，，此时φ″(x) >0，φ'(x) 单调递增，故φ'(x) >φ'(0)=0，φ(x) 单调递增，φ(x) >φ(0)=0，因此有0.1e0.1>−ln 0.9.

综上，可得−ln 0.9 <0.1e0.1<.

抽象是数学的重要特性之一.抽象的目的在于确定数学的研究对象，抽象的常见方法是观察变化中的不变、不同中的共性、无序中的有序，并把问题符号化、模式化，抽象成数学问题再加以解决.

四、数学运算视域下的解析几何试题

解析几何是考查数学运算素养的重要阵地，试题的综合性较强，运算量较大.命题者往往是基于圆锥曲线中一些熟知的二级结论，或者借助几何画板等软件研究圆锥曲线的图象性质，根据已知结论、曲线的性质、图象特征编制试题.而站在解题者的角度，由于曲线性质未知，解题方向未明，探究过程充满未知，因此对数学运算能力就有了较高的要求.学生在平时的学习、练习中，要注意总结一些常见的运算技巧，以提高运算的速度和准确性.

题4.（2022 年新高考数学I 卷，T16）已知椭圆C：=1(a,b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1,F2，离心率为，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是________.

命题者拟以椭圆为载体考查椭圆的方程与性质、直线与椭圆的位置关系.此类试题最常见的设题方式，是给定椭圆方程，求椭圆的离心率、相交弦弦长等.为不落俗臼，进一步考查数学运算素养，该题命题者逆向思维，给定“椭圆的离心率”和“斜率为定值的焦点弦的长度”，反过来确定椭圆的方程.

在逆向求解的过程中，运算途径的选择就显得尤其重要了.如求解椭圆方程的常见途径有二：途径（1），联立方程，结合条件“过焦点的弦长等于6”得到一个关于a,b,c方程，再由e=和a2=b2+c2，求得a,b,c；途径（2），先由e=和a2=b2+c2，得a=2t,b=,c=t，再联立方程结合条件“过焦点的弦长等于6”得到一个关于t方程，求得t和a,b,c.

途径（1）的运算中含有a,b,c，变量较多，运算烦琐，极易出错；途径（2）的运算中只含有变量t，运算得到了优化、简化，大大地提升了运算成功的概率.解题时，考生要有明确的运算目的、合理的运算途径，同时要有较高的运算准确率.这样的构题方式，有效地检测了学生的数学运算素养.

在求出椭圆的方程之后，命题者又因“图”制宜，根据图象的对称特征，设置求三角形的周长问题，从中考查椭圆的定义.

第一个问题求解直线与圆锥曲线位置关系，考查考生的“强算”能力；第二个问题利用图形的对称特征实现转化，并结合椭圆的定义求解三角形的周长，考查考生多思少算的“巧算”意识.考生需具有较强的图感和数感，能根据“数”与“形”发现图形的“对称”与“相等”，再结合椭圆的定义进行求解.

强算是“本手”，巧算是“妙手”.但是并非所有的解题都有“妙手”，解题往往只需“直译强算”，首先明白算理，明确目标，理清思路，寻找依据;然后制定解题计划，合理设计运算途径;接着就是按章办事，依规行事了.因此，“直译强算”是运算的基本能力.有了“直译强算”的基本能力，再加上适度的“多思巧算”，就有了较强的运算求解能力.当然，除了较强的运算能力之外，具备坚定的意志和必胜的信心也是解题成功的必要条件.

五、数据分析视域下的统计与概率试题

数学高考主要以统计与概率为载体检测学生的数据分析能力.一般地，命题者在试题的题干给出样本的相关数据，要求学生整理数据，提取有用信息，运用统计的方法对数据进行分析和推断，并根据样本估计总体的思想，对总体进行评价，得出结论.

题5.（2022 年新高考数学I 卷，T20）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100 人（称为对照组），得到如下数据：

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.

（i）证明：R=；

（ii）利用该调查数据，给出P(A|B),的估计值，并利用（i）的结果给出R的估计值.

附：K2=，

独立性检验是一种假设检验，即先假设、再推翻假设，它的原理及步骤与反证法类似.要判断“患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯是否有差异”，先假设患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯没有差异.在此前提下进行推理，推出小概率事件，概率不超过α 发生（α 一般为0.001，0.01，0.05，0.1），则意味着“患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异”成立的可能性很大（可能性为1−α）；若没有推出小概率事件发生，则意味着不能确定“患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异”成立.

试题第（1）问，命题者以研究“一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯的关系”为载体，在题干给出样本数据，要求考生分析数据，用独立性检验的方法判断两类变量是否有关系，再用样本估计总体.试题表述简洁明了，背景贴近生活实际，数学味与生活味并重，激发了学生应用数学解决问题的强烈意愿，从中考查学生数据分析素养和数学应用意识.

构造合理、有效的指标对样本进行评价是数据分析的常见方法.“卫生习惯不够良好且患有该疾病”的样本数越多，“卫生习惯不够良好且不患有该疾病”的样本数越少；“卫生习惯良好且不患有该疾病”的样本数越多，“卫生习惯良好且患有该疾病”的样本数越少，都能说明卫生习惯不够良好的人患该疾病的风险程度越大.因此指标R=能有效度量卫生习惯不够良好对患该疾病的风险程度，R的值越大，则表示卫生习惯不够良好的人患该疾病的风险越大，可见指标R是合理、有效的.试题的第（2）问以指标R为载体，要求证明并应用公式，考查条件概率公式以及所得恒等式的变形应用，检测学生的数据处理能力.

（六）数学建模素养视域下的应用性试题

数学建模要求学生具有一定的数学阅读理解能力、抽象概括能力、运算求解能力.学生要通过阅读理解感知问题的本质，在对问题进行分析、思考、抽象、概括之后，将实际问题转化为数学问题，并用数学的方法加以求解.

题6.（2022 年新高考数学I 卷，T4）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库，已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140km2；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为(≈2.65)

A.1.0×109m3B.1.2×109m3

C.1.4×109m3D.1.6×109m3

我们生活在三维空间中，随处可见空间几何体，也常常需要度量空间几何体的表面积、体积.本试题关注国家社会经济发展，以我国重大建设成就“南水北调工程”为背景设计试题，具有较强的实践性与应用性，主要考查学生的空间想象能力、运算求解能力、应用意识和数学建模素养.学生通过对试题情景的阅读，感受到我国日渐强大的综合实力，自豪感油然而生，不仅体验到数学在生活实践中的实际应用，同时引导学生把个人前途与国家和民族的命运联系起来，自觉树立献身科学、献身国家的志向，充分发挥正确的思想导向和价值引领.