基于可调频光力晶格中声子-光子拓扑性质的模拟和探测*

刘浪 王一平

(西北农林科技大学理学院,杨凌 712100)

提出一种基于耦合光力系统的一维晶格理论方案，其中由多个腔场模和机械模式组成，通过调控系统的参数，使其获得集体动力学演化规律，来研究其中的拓扑相变和拓扑量子通道.首先，通过分析该晶格系统的能谱和边缘态，研究其拓扑特性和拓扑量子通道.其次，基于拓扑绝缘体的散射理论和输入输出关系，研究平均光子数和反射系数相的环绕数，探测系统的拓扑边缘态和拓扑不变量.另外，考虑无序缺陷对拓扑特性的影响，发现系统受拓扑的保护，使边缘态对其具有鲁棒性；但无序和微扰大于能隙时，边态模和不变量会发生改变.该理论研究结果可以应用于量子通信和量子信息处理中.

1 引言

腔光力学目前已经成为一个热门的研究领域,它由一个法布里-珀罗腔构成,其中一端镜固定而另一端镜可以随着辐射压力的作用而移动[1,2].近年来,随着微纳米技术的快速发展,腔光力学系统已经得到了多种扩展,比如悬浮薄膜腔、回音壁式微腔、杂化光力系统、超导量子电路等[3−5].特别是利用电磁辐射压与机械振子之间的相互作用,腔光力系统可以在宏观尺度上观察和验证许多量子行为,成为经典力学和量子力学之间的桥梁.在腔光力学研究进展中,已经有大量的量子效应被发现与证实,如机械振子的基态冷却[6]、量子压缩[7,8]、光力诱导透明[9,10]、正则模劈裂[11]以及非互易光子阻塞[12]等.

目前,不同结构的腔光力学系统在各自领域已经取得优异的成绩,可以应用在量子光学、量子信息处理和量子模拟等领域[13−18].尤其是,由腔光力学系统构建的一维或二维晶格系统,为研究拓扑绝缘体提供了一种新的研究思路和方案,也为构建可扩展性的量子网给出了新的蓝图.拓扑绝缘体自发现以来就受到研究人员广泛的关注,作为一种新的物质形式[19−25],通常在其内部可以展现为绝缘体性质,但在边界处显示金属特性,它与传统绝缘体具有明显的不同,例如,在拓扑绝缘体的边界或表面区域,可以发现零能隙的边缘态模式[26−29].对于不同的拓扑绝缘体,可以通过拓扑索引或非局部参数,分析系统的拓扑相变通道,也就是从一个相进入另一个相[30−33].2017年,Roque等[34]利用光力阵列系统研究无序诱导的光子-声子拓扑特性,发现该系统可以使混合激发态产生安德森局域;Wan等[35]通过二维光力阵列系统构建Lieb 晶格,研究了能带中的光子和声子的局域特征;2019年,Qi等[36]利用可调频的光力晶格系统,研究了波色基塔耶夫相(Bosonic Kitaev phase);2022年,Xu等[37]利用一维光力阵列系统,通过强驱动场增强光力作用,来研究系统的拓扑性质.因此,受上述研究的启发[26−29,34−37],本文利用腔光力系统,根据目前的实验可行性参数,来构建一维光力晶格系统,研究、模拟和探测其中的拓扑特性和拓扑量子通道.

本文提出了基于耦合光力系统构建的一维晶格方案,其中由多个腔场和机械模式相互作用,通过调控系统中的参数,分析其中潜在的拓扑性质.首先,分析了能谱和边缘态,发现边缘状态分布发生翻转过程,这可以应用于量子信息储存和传递.此外,通过分析腔场稳态的平均光子数和入射光子反射系数相的环绕数,对系统的拓扑边缘态和拓扑不变量进行探测.另外,当无序缺陷在系统中存在时,研究其对系统拓扑特性的影响.当无序缺陷强度较小时,发现系统受到拓扑保护,使边缘态对其具有鲁棒性.相反,无序缺陷强度较大时,能带分布被破坏,将会变得无序和混乱.该系统的研究结果可以推广到类似系统中,并且可以应用在量子信息处理和量子计算方面,将会对未来量子信息技术的发展提供指导性蓝图.

2 模型和哈密顿量

如图 1 所示,考虑一个一维腔光力耦合晶格系统,包含N+1 个腔场模式和N个机械模式,每个腔场和机械模式都可以被调制,该晶格系统的哈密顿量可以表示为

图1 一维(1D)腔光力耦合晶格系统模型图,an和bn 分别表示腔场和机械振子的模式,其中包含 N +1 个腔模式和 N 个机械模式Fig.1.Schematic of the 1D optomechanical coupling lattice system,an and bn represent the modes of the cavity field and the mechanical oscillator,respectively,and including N +1 cavity modes and N mechanical modes.

接下来,根据上面的公式研究该系统的拓扑特征,以及对系统的拓扑性质的探测.

3 结果与讨论

3.1 能谱与边缘态

系统的能谱和边缘态可以反映系统的拓扑特性,这里取t=1 作为能量单位,并且选取M1和M2为常数,绘制系统能谱E与相位ϕ的图像如图2 所示,其中红线和蓝线分别表示能谱的边缘态.可以看到,当M1=M2时,系统边缘态只在ϕ属于 π/2 —3π/2的范围内出现简并情况,这意味着在这个范围内能隙 ∆E=0,而其他地方不等于0,如图2(a)所示.此外,在图2(b)中,当M1M2时,能谱中存在能隙,边缘态简并情况消失,这意味着,导带和价带之间始终存在有一条有限能隙 ∆E0,该系统展现拓扑平凡的绝缘体特征.

为了更好地研究拓扑绝缘体的非平凡性质,这里引入参数ψ,令M1=η1cos(ϕ −ψ),M2=η2cos(ϕ+ψ),其中η1和η2是周期调制项的振幅.图3 所示为取不同ψ情况下能谱E与ϕ的物理图像.从M1和M2的表达式可以推出,当ψ取0,− π和 π时,M1和M2始终相等,能谱图如图2(a)所示.因此,在该情况下系统应该存在两条简并的边缘态.在图3(a)和图3(d)中,当ψ为0和 π时,系统在ϕ属于 π/2 到3π/2的范围内有两条简并的边缘态,并且方向相反.然而,当ψ取0.1π和 0.9π时,在ϕ=π 处看到带隙之间存在交叉的边缘态,这可以连接导带和价带,并且具有时间反演对称性.

图2 系统能谱E 与参数 ϕ的物理图像(a)M1=M2=0;(b)M1=0,M2=0.1.参数 ϕ 取值范围为(0,2 π),N=15Fig.2.The energy spectrum E of the system vs the parameter ϕ :(a)M1=M2=0;(b)M1=0,M2=0.1.The range of parameter ϕ is(0,2 π),N=15.

此外,如图4 所示,绘制了边缘态概率分布与晶格数的物理图像.图4(a)和图4(b)给出了图3中红色边缘态模的概率分布.可以发现,当ϕ=2π/3时,在ψ=3π/2 位置的边缘态以最大的概率占据最左端(蓝色);在ψ=π 位置的边缘态以最大的概率占据在两端(红色),在ψ=π/2 位置的边缘态以最大的概率占据最右端(黑色),如图4(a)所示.然而,当ϕ=π/3时,在ψ=4π/3 位置的边缘态以最大的概率占据最左端(蓝色);在ψ=π 位置的边缘态以最大的概率占据在两端(红色),在ψ=2π/3位置的边缘态以最大的概率占据最右端(黑色),如图4(b)所示.根据上面的讨论,边缘态的分布可以实现翻转过程,也就是说,左边蓝色边缘态概率转移到右边黑色的概率,这可以应用于量子信息的储存和传递.在图4(c)和图4(d)中绘制了图3 中蓝色边缘态模的概率分布,发现与图4(a)和图4(b)的分布相反,这证明了在导带和价带之间有交叉的边缘态将两者连接,系统的两边缘模发生翻转的结论是正确的.

图3 系统能谱E 与参数 ϕ的物理图像(a)ψ=0;(b)ψ=0.1π;(c)ψ=0.9π;(d)ψ=π.参数 ϕ 取值范围为(0 ,2π),N=15Fig.3.The energy spectrum E of the system vs the parameter ϕ :(a)ψ=0;(b)ψ=0.1π;(c)ψ=0.9π;(d)ψ=π.The range of parameter ϕ is(0,2 π),N=15.

图4 边缘态分布与晶格数的物理图像(a),(c)ϕ=2π/3,ψ=3π/2,π/2,π;(b),(d)ϕ=π/3,ψ=4π/3,2π/3,πFig.4.The state distribution vs the lattice number:(a),(c)ϕ=2π/3,ψ=3π/2,π/2,π;(b),(d)ϕ=π/3,ψ=4π/3,2π/3,π.

3.2 系统拓扑特性的探测

我们知道,对该晶格系统施加一个和系统本征能量完全相同的外部驱动场时,系统相应的本征模将会以一定的比重被占据.根据这种思路[38],当系统达到稳定时,该系统腔场的期望值为

如图 5 所示,分析该系统沿晶格方向腔场稳态的平均光子数,驱动εna,b=(ε1a,0,...0,0)T施加在系统最左端,并对左边边缘态的特性进行探测.从图5(a)和图5(b)可以看出,无论是在不同的腔长还是在不同的驱动频率的情况下,腔场平均光子数都局域在最左端,同时也间接说明边缘态局域在最左端,而这源于左端腔场与驱动场共振,使边缘态局域在左端.另一方面,系统的耗散越大腔场平均光子数在左端的值越小,并且沿着腔场方向传递时逐渐减少.从图5(c)发现,参数ψ的变化可以影响晶格最左边的平均光子数的大小,这和前面图4(a)和图4(c)讨论的结果一致,可以说明边缘态的翻转过程.另外,在图5(d)中,分别在晶格系统的最左边、中间和最右边驱动,结果表明光子在晶格内扩展分布时,越远离驱动场施加端,由于共振作用越小,测得的腔场光子数平均值越小;比如在最左边驱动,那么最右端因为存在不共振的情况,所以有平均光子数为零的结果.

图5 沿晶格方向腔场稳态的平均光子数N 与晶格数的物理图像(a)晶格数为10,驱动频率为∆a,n=0.25t,ψ=0.25π;(b)晶格数为4,驱动频率是∆a,n=−0.01t,ψ=0.25π,黑色虚线 κ=0.1,红色点线 κ=0.15,蓝色点虚线 κ=0.2;(c)ψ=0.2π,0.23π,0.26π;(d)在腔的最左边(黑色线圆)、中间(红色虚线正方形)和最右边(蓝色点虚线菱形)驱动晶格.其他参数为Ω1a=0.1t ,ϕ=0.8πFig.5.The average photon number N vs the lattice number:(a)The lattice size 10,∆a,n=0.25t,ψ=0.25π;(b)the lattice size 4,∆a,n=−0.01t ,ψ=0.25π,black dotted line κ=0.1,the red dotted line κ=0.15,the blue dotted line κ=0.2;(c)ψ=0.2π,0.23π,0.26π;(d)lattice site driven at the far left(black circles),middle(red dashed squares)and rightmost(blue dotted diamonds).Other parameters are Ω1a= 0.1t and φ=0.8π.

在拓扑绝缘体的散射理论中,一个边缘入射光子反射系数相的环绕数可以用来说明拓扑不变量.因此,利用输入输出关系[39,40],并结合(4)式,研究从最左端入射光子反射系数相,那么环绕数可以表示为[()]

图6 给出了当参数ψ=π/2和ψ=−π/2时,反射系数相的环绕数随参数ϕ的变化.图6(a1)中红色线条为ψ=−π/2,蓝色线条为ψ=π/2,可以发现它们旋转的方向相反,红的线条逆时针,蓝的线条顺时针,虚部从 0 开始再回到 0,并且极值在−1—1范围内.图6(a2)和图6(a3)从不同的侧面来展现,可以看到图形具有一定的相互对称性.在图6(b)和图6(c)中,绘制了不同的腔耗散对反射系数相的环绕数的影响,可以发现无论腔耗散取何值,始终能完整环绕完一周,其中箭头表示环绕数的正负,顺时针方向为负,逆时针方向为正.因此,通过研究反射系数相的环绕数,可以对拓扑不变量进行探测.同时,从最右端入射光子的情况,该结论也适用.

图6 反射系数相的 环绕数随参数 ϕ的变化(a1),(a2),(a3)蓝色线条为ψ=π/2,红色线条为ψ=−π/2;(b)ψ=π/2,κ=0.1,0.5,1.5,2;(c)ψ=−π/2,κ=0.1,0.5,1.5,2.其他参数为Ω1a=0.75t,晶格数为10Fig.6.The winding number of the reflection coefficient phase varies with parameter ϕ :(a1),(a2),(a3)The blue line is ψ=π/2,the red line is ψ=−π/2;(b)ψ=π/2,κ=0.1,0.5,1.5,2;(c)ψ=−π/2,κ=0.1,0.5,1.5,2.Other parameters areΩ1a=0.75t and lattice size 10.

3.3 无序缺陷对系统能谱的影响

在实际的系统中,除了腔的耗散之外,还存在系统固有的涨落引起的无序以及操作带来的微扰等因素影响系统的拓扑特性.接下来讨论随机缺陷强度对系统的影响,那么系统的哈密顿量表示为

其中µ表示系统中位能产生的随机缺陷强度,υ表示近邻相互作用之间的随机缺陷强度,η是大小为–0.5—0.5 之间的随机数,H.c.表示复共轭项.首先,考虑其中一个缺陷强度为零,研究另一个缺陷对系统拓扑特性的影响.图7所示为在µ=0 情况下,缺陷υ与能谱的物理图像.可以看出,当µ=0时,随着υ的逐渐增加,系统的能带受到的扰动逐渐增强,但两个边缘态受影响很小,甚至几乎不受影响;但是当υ超过一定数值时,扰动变得非常强烈,甚至会湮灭边缘态,从而不能对边缘态特性准确地判断.这说明当相邻之间的缺陷强度很小时,不会影响边缘态,也不会影响信息的传播;但是,当随机缺陷强度超过能隙的宽度后,边缘态会被逐渐地融入能带中.

图7 最近邻相互作 用之间的无序 与系统能谱的物理图像(a)υ=0.1;(b)υ=0.5;(c)υ=1;(d)υ=1.5;(e)υ=2;(f)υ=3.其他参数为ψ=π/2,晶格数为10Fig.7.The effects of the disorder added into the nearest neighbor interaction on the energy spectra(a)υ=0.1;(b)υ=0.5;(c)υ=1;(d)υ=1.5;(e)υ=2;(f)υ=3.Other parameters are ψ=π/2 and lattice size 10.

此外,图8 给出了当υ为零时缺陷µ与能谱的物理图像.可以看出,一旦引入了在位调整项的缺陷,即便强度很小,系统的边缘态也会受到影响,从而发生微小扰动;并且随着缺陷强度的逐渐增加,系统能带和边缘态受到的影响都逐渐增强.在一定强度范围内,系统的边缘态布局依然可见,但是在缺陷强度超过能隙宽度时,无序缺陷就破化了系统的结构,能谱中的边缘模将会彻底消失.这说明在位调整项的微扰带给系统的影响是非常剧烈的,哪怕很小的缺陷强度,也会让我们对边缘态的特性探测产生较大的误差,因此应当极大程度地规避由在位调整项带来的微扰.另外,图9 给出了左边缘态的分布分别与缺陷强度µ,υ和晶格数的物理图像.从图9(a)可以看出,随着缺陷强度υ的增加,边缘态的布局会减小但不会消失.然而,在图 9(b)中,随着缺陷强度µ的增加,破坏了能带结构,使边缘态的分布完全消失.由此可见,在目前的实验中,类似的系统应该减小缺陷势能的影响,增强边缘态的分布区域,从而应用于量子信息的传递.

图8 在 位无序与系统能谱的物理图像(a)µ=0.1;(b)µ=0.5;(c)µ=1;(d)µ=1.5;(e)µ=2;(f)µ=3.其他参数为ψ=π/2,晶格数为10Fig.8.The effects of the disorder added into the on-site potential energy on the energy spectra:(a)µ=0.1;(b)µ=0.5,(c)µ=1;(d)µ=1.5;(e)µ=2,(f)µ=3.Other parameters are ψ=π/2 and lattice size 10.

图9 左边缘态的分布与缺陷强度 µ,υ和晶格数的物理图像,其他参数为ψ=π/2,晶格数为10Fig.9.The distribution of the left edge state is plotted with the defect i ntensity µ,υ,and lattice number,respectively,other parameters are ψ=π/2 and lattice size 10.

3.4 无序缺陷对系统拓扑特性的影响

下面继续讨论缺陷对系统拓扑性质的影响,从3.3 节可以知道,不同的缺陷对系统的特性影响是不一样的.因此,本节还是将两类缺陷分开讨论.图10 给出了缺陷与反射系数相的环绕数的关系.在图10(a)和图10(b)中,当µ=0时,可以看出υ逐渐增强时,反射系数相仍然能构成闭合的回路,当υ增加到一定程度时,虽能看到闭合的回路,但是不再构成规范的环绕.这说明最近邻相互作用的缺陷强度没有影响系统的拓扑不变量,但是当υ超过能隙的宽度时,会引起体能态的较大扰动而覆盖边缘态的特性.图10(c)和图10(d)给出了当υ=0时,µ变化情况下对环绕数的影响.可以看到,只有当µ很小时,才能大概保持系统不变量仍然为1,而µ较大时,反射系数相不能再构成闭合的回路了.这说明µ值较大时,破坏了系统的拓扑结构,该结论与上文的结论一致.

图10 反射系数相的环绕数与无序缺陷的物理图像(a)υ=0,0.3,0.6;(b)υ=1,1.2,1.4;(c)µ=0,0.04,0.08;(d)µ=0.1,0.2,0.3.其他参数为ψ=π/2,κ=0.1,晶格数为10Fig.10.The winding number of the reflection coefficient phase varies with the disorder:(a)υ=0,0.3,0.6;(b)υ=1,1.2,1.4;(c)µ=0,0.04,0.08;(d)µ=0.1,0.2,0.3.Other parameters are ψ=π/2,κ=0.1 and lattice size 10.

图11 所示为无序缺陷对腔场稳态平均光子数的物理图像.从图11(a)可以知道,随着υ的逐渐增大,平均光子数在减小,但始终局域在最左边的区域.当υ较小时,对平均光子数分布影响很小,当υ较大时,平均光子数将减小,这说明引入的缺陷υ影响了晶格的共振作用,但没影响平均光子数的分布结构.在图11(b)中,当µ逐渐增加时,平均光子数的值也在逐渐减小;当µ较大时,平均光子数变化很大,数值变得非常小,并且也局域在最左边的区域.这说明无论哪种缺陷的引入,都会影响到声子-光子在晶格内的拓扑特性,并且在位调整项的缺陷会破坏拓扑结构,这与上文结论一致.

图11 沿晶格方向腔场稳态的平均光子数与缺陷强度 µ,υ和晶格数的物理图像(a)υ=0,1,2,3;(b)µ=0,1,2,3.其他参数为Ω1a=0.1t ,ϕ=0.8π,∆a,n=−0.5t,κ=0.1,晶格数为10Fig.11.The average photon number N varies with the defect i ntensity µ,υ and lattice number,respectively:(a)υ=0,1,2,3;(b)µ=0,1,2,3.Other parameters are Ω1a=0.1t ,ϕ=0.8π,∆a,n=−0.5t,κ=0.1 and lattice size 10.

4 结论

本文研究了基于耦合光力系统的一维晶格系统,通过调控系统的参数,研究其中的拓扑相变和拓扑量子通道.首先,通过分析系统的能谱和边缘态分布特征,研究能带的拓扑结构和边缘态的拓扑量子通道.其次,研究稳态腔场的平均光子数和入射反射系数相的环绕数、探测系统的拓扑边缘态和拓扑不变量.同时,考虑无序缺陷对系统拓扑特性的影响,发现系统受拓扑的保护,使边缘态对其具有鲁棒性;然而,当无序和微扰大于能隙时,边态模和不变量会发生改变.在小微扰的情况下,拓扑绝缘体可以较好地应用于量子信息的存储和传递,因此,该研究结果在未来量子信息处理中具有广泛前景.