基于分裂状态的规范伪括号多项式计算方法

鄂 强，张志艳

(大连海事大学 理学院，辽宁 大连 116033)

0 引言

在分子生物学领域中，研究人员通过电子显微镜观察DNA的双螺旋结构，有时会无法区分影像中的缠绕的链在某些交叉点处的交叉方式，仅能得到一个具有不确定的交叉点信息的链环投影图，研究人员仍希望通过研究这样的投影图来研究DNA链环的拓扑结构，这就是伪纽结理论提出的背景[1].

2009年，R.Hanaki[2]引入了3维欧氏空间中的纽结在平面上的伪投影图的概念.纽结的伪投影图是指缺失纽结部分(或全部)交叉点信息的投影图，也就是在投影图中的某些交叉点处，上行线和下行线分别是哪一条线是不清楚的.2013年，A.Henrich等[3]提出了伪纽结的概念.伪纽结是纽结伪投影图在初等变换及伪变换下的等价类.这一理论的提出为研究DNA链环的模糊影像提供了一种可能的数学方法，同时作为纽结理论的一个崭新分支，近年来也逐渐受到关注.

伪纽结与奇异纽结、虚拟纽结都是经典纽结的推广，但研究对象不同.奇异纽结[4]是带有自交点的曲线，奇异交叉点对应曲线的自交点；虚拟纽结[5]可看作嵌入在闭曲面的I-丛中的闭曲线，虚交叉点对应曲线投影不存在的交叉点.而伪纽结对应的曲线是3维欧氏空间中的嵌入的闭曲线，伪交叉点对于曲线投影真实存在但形式未知的交叉点.

与纽结理论类似，伪纽结理论的核心问题是伪纽结的分类问题.即任意给定两个伪纽结，如何区分它们或者证明它们是等价的.其主要的研究方法是寻找伪纽结不变量，即寻找伪投影图在初等变换及伪变换下保持不变的量.A.Henrich等[3]定义了伪纽结的赋权解集，即伪投影图所对应全部的纽结及其概率权重构成的集合，并证明了它是伪纽结的不变量.2014年，A.Henrich等[6]给出了纽结伪投影图的染色性的性质.2015年，F.Dorais和A.Henrich等[7]提出了用高斯图来刻画伪纽结的方法，并将虚拟纽结理论推广到伪纽结理论，引入虚拟伪纽结的概念.同年V.G.Bardakov等[8]研究了伪纽结与辫群的关系，定义了伪辫子的群和半群，并证明这个半群同构于一个奇异辫子的半群，将经典纽结关于辫群表示等价的Markov 定理推广到伪纽结上.如果权重解集中含有某个纽结及其镜面像，如果将它们看作不同的纽结.就得到了伪纽结“带记号的加权解集”这一概念.2016年，A.Henrich等[9]证明了带记号的加权解集不是伪纽结的完全不变量，即不能区分所有的伪纽结.2017年，H.A.Dye[10]将经典纽结的Kauffman括号多项式推广到伪纽结上，添加了针对伪交叉点一个拆解关系式，称为规范伪括号多项式，并证明了它是伪纽结的不变量.

本文将计算经典纽结Kauffman多项式的方法[11]推广到伪纽结的规范伪括号多项式，提出了一种利用伪纽结的全部分裂状态计算规范伪括号多项式的方法.据此，本文计算了含有不同数目伪交叉点的三叶结投影图的规范伪括号多项式.

1 伪纽结不变量简介

经典纽结理论中，投影图包含经典纽结的全部信息，其对应的经典纽结是唯一的.若投影图缺失在某些交叉点处的信息，就会得到一个交叉形式不确定的投影图，称为伪投影图.伪投影图通常对应多个经典纽结.

图1 伪投影图Fig.1 A pseudo diagram

经典纽结的投影图的交叉点处，其上行线表示为一条连续的弧，下行线表示为两段分开的弧.在伪投影图中的缺失信息的交叉点上，哪条线是上行线，哪条线是下行线是不清楚的，这种交叉点称为伪交叉点，在图中通常用黑色的点表示.图1所示含一个伪交叉点的伪投影图，它对应的可能是平凡结或者三叶结.

图2所示的3种变换，称为经典纽结投影图的Reidemeister变换或初等变换.两个经典纽结投影图如果可以通过有限次的Reidemeister变换转化，则称这两个投影图是等价的.1927年，德国数学家K.Reidemeister证明了同一个经典纽结的任意两个投影图都是等价的.因此经典纽结也可以看作是投影图在Reidemeister变换下的等价类.

图3所示的3种变换，称为伪投影图的伪变换.两个伪投影图，如果能够通过有限次的Reidemeister变换和伪变换转化，则称这两个伪投影图是等价的，并称伪投影图在Reidemeister变换和伪变换下等价类为伪纽结.给定方向的伪纽结称为有向伪纽结.

图2 Reidemeister变换Fig.2 Reidemeister moves

图3 伪变换Fig.3 Pseudo moves

区分伪纽结的方法主要是寻找伪纽结不变量，即伪投影图在初等变换和伪变换下保持不变的量.这里介绍两种伪纽结不变量：赋权解集和规范伪括号多项式.

1.1 赋权解集

首先对于有向的伪投影图的交叉点，可定义正交叉点、负交叉点和伪交叉点，如图4所示.

图4 伪投影图的交叉点

假设D是一个有向伪投影图.对于D的每一个伪交叉点，将其确定为正交叉点或负交叉点，就得到一个经典纽结，称为伪投影图的一个解.由于在每个伪交叉点处都有两种确定方式，不同方式可能得到不同的经典纽结，因此伪投影图通常都有多个解，可以研究给定的伪投影图的解集中包含哪些经典纽结.更进一步的，可以讨论得到每个经典纽结解的概率.

图5 含2个伪交叉点的伪投影图Fig.5 A pseudo diagram with 2 precrossings

定义1.1伪投影图D的赋权解集是由形式如(K，pK)的二元组构成的集合，其中K是D的一个解，pK是在每个伪交叉点随机采用一种确定方式确定获得K的概率，这里假设将一个伪交叉点确定为正交叉点和负交叉点的概率是相等的.

A.Henrich等证明了初等变换和伪变换不改变伪投影图的赋权解集，因此赋权解集是伪纽结的不变量，可以用来区分伪纽结.例如，图1和图5中的伪投影图的解集都是平凡结01和三叶结31，如果仅考虑解集则无法将它们区分.图5中的伪投影图有2个伪交叉点，因此有4种确定伪交叉点的方法.4种确定方式中的3种会得到01，1种会得到31.因此图5中的伪纽结的赋权解集为{(31，0.25)；(01，0.75)}.而图1中的伪投影图确定为01和31是等可能的，因此赋权解集是{(31，0.5)；(01，0.5)}，从而它们是不等价的伪纽结.这一例子说明这表明将解赋概率权重可以更好的区分伪纽结，赋权解集是比解集更强大的不变量.

1.2 规范伪括号多项式

设c是有向的伪纽结D的一个经典交叉点.对于正交叉点规定sgn(c)=1，对于负交叉点规定sgn(c)=-1.记D的全部的经典交叉点集为C(D)，定义D的扭数w(D)为

D的伪括号多项式〈D〉由如下拆解关系和初始值确定，对于正交叉点处，规定

对负交叉点处，规定

对于伪交叉点处，规定

其中H=1-Vd，d=-A2-A-2.记U为平凡结，并规定初始值〈U〉=1，〈U∪K〉=d〈K〉.

定义1.2设D是有向的伪纽结，称二元多项式

PD(A，V)=(-A-3)w(D)〈D〉

为D的规范伪括号多项式.

H.A.Dye证明了规范伪括号多项式在初等变换和伪变换下保持不变，因此是伪纽结的不变量.两个伪纽结，若对应的规范伪括号多项式不相等，则它们必然不等价.规范伪括号多项式是经典纽结的Kauffman多项式在伪纽结理论中的推广，事实上，如果把经典纽结看作是伪交叉点数为0的特殊的伪纽结，那么经典纽结的规范伪括号多项式就是其Kauffman多项式.

2 利用伪投影图的分裂状态计算规范伪括号多项式

如果利用拆解关系式和初始值计算伪纽结的伪括号多项式，则需要依次拆解每一个交叉点，求和项会随着拆解的交叉点数指数级增长，当交叉点数比较多时，计算比较繁琐.注意到纽结的Kauffman多项式是由拆解关系式定义的，但是可以通过分别计算分裂状态图的多项式再求和得到.受到经典纽结的Kauffman多项式计算方法的启发，可以给出通过一种计算伪纽结的规范伪括号多项式的方法.

给定一个定向的伪纽结D，类似经典纽结Kauffman多项式的计算方法，在D的每个经典交叉点处，用A和B按图6标记(与伪纽结的方向无关)，并定义两种局部变形：A分裂和B分裂.

图6 A分裂和B分裂

在D的每个伪交叉点处用V和H按图7方式标记(与伪纽结的方向有关)，并定义两种局部变形：V分裂和H分裂.

图7 V分裂和H分裂

在每个经典交叉点处可以应用A分裂或B分裂，每个伪交叉点处可以应用V分裂或H分裂，而在交叉点之外的线保持不变.在每个经典交叉点和伪交叉点处选择其中一种分裂方式后，可以得到平面上一些不交的简单闭曲线的集合.称通过分裂得到闭曲线集合为一个状态，记为S.假设状态S是通过D经过a(S)个A分裂和b(S)个B分裂、v(S)个V分裂和h(S)个H分裂得到的，这里nc=a(S)+b(S)是D的经典交叉点数，np=v(S)+h(S)是D的伪交叉点数.n=nc+np为D的总交叉点数，D经过不同的分裂可以得到2n个状态，记|S|为状态S中的闭曲线数.则伪括号多项式〈D〉可以表示为

代入H=1-Vd及d=-A2-A-2，有

式中的求和是指对D的所有2n个状态下的多项式求和.伪纽结的规范伪括号多项式可表示为

3 计算实例

现在用第2节提出的计算方法计算图8所示的含有1个伪交叉点的伪纽结的规范伪括号多项式.用A、B、V、H标记交叉点.

图8 标记交叉点

图8中的伪纽结一共有3个交叉点，每个交叉点处都有2种分裂方式，因此一共有8种分裂状态，如图9所示.

图9 8种分裂状态

分别计算每种分裂状态下伪括号多项式，结果如表1所示.

表1 各分裂状态下的伪括号多项式

将每种分裂状态下的多项式求和，得

并代入H=1-vd及d=-A2-A-2，化简后得到伪括号多项式

〈D〉=A-8V+A-6-A4V.

D的2个经典交叉点的符号都为正，因此w(D)=2，从而D的规范伪括号多项式为

PD(A，V)=-A-6(A-8V+A-6-A4V)=-A-14V-A-12+A-2V.

利用类似的方法，可以计算含有2个伪交叉点的三叶结投影图(图5)的规范伪括号多项式为

-2A-10V-4A-6V-2A-2V-A-12V2-A-8-A-8V2-A-4-A-4V2，

含有3个伪交叉点的三叶结投影图的规范伪括号多项式为

A-10(3A2V2+3A18V2+V3+A20V3+2A8V(3+V+V2)+2A12V(3+V+V2)+
A4V(3+2V2)+A16V(3+2V2)+A6(1+6V2+V3)+A14(1+6V2+V3)+A10(2+V+8V2+2V3)).

4 结论

基于伪投影图的分裂状态计算伪纽结的伪括号多项式，是直接计算伪纽结在拆解全部交叉点后得到的完全分裂的平凡链环的多项式再求和，这样的计算方法避免多项式项数的指数级别增长，一定程度上简化了规范伪括号多项式的计算过程.

容易计算，含有2个伪交叉点和含有3个伪交叉点的三叶结伪投影图的赋权解集都是{(31，0.25)；(01，0.75)}，但它们的规范伪括号多项式不同，从而是不等价的伪纽结，因此这一例子同时表明赋权解集不是伪纽结的完全不变量.