研究初中数学中的几何以及培养学生抽象能力的方法

摘要：几何在数学学科研究和学习当中是一个非常重要的模块，而学生真正地开始接触几何就是从初中开始。不同于小学所学的线条、端点等比较简单易懂的几何题型，初中所接触的几何是在一定的模型和空间条件下对图形的研究和分析，相对来说增加了难度。在初中几何的学习当中，学生会初次接触到平面直角坐标系模型，该模型在日后的数学学习中一直伴随着学生。在初中数学课程中还有一项主要的内容就是训练他们的抽象能力，而抽象能力在他们学习几何的活动中有着十分关键的地位。文章首先对初中数学学科教学过程中遇到的几何知识进行简单的总结和分析，再以此为基础讨论更好地培养学生抽象能力的方法。

关键词：几何；抽象能力；三角形；多边形

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1673-8918（2022）45-0075-05

一、 中考数学对几何内容的要求

初中数学的重难点就是几何和函数，知识点的配比基本是代数∶几何为6∶4，而其中难题通常是几何题目，分值高、难度大、考法全面，经常是以压轴题出现。以广东省中考试卷为例，对试卷中各知识点的分数占比以及总体考核内容进行对比，我们发现中考试卷对学生综合能力的培养和体现关注度越来越大，对知识点的考察比较有规律，中考的题型分值占比是相对固定的，在整体上常规题型的变化并不大，题型分为选择题、填空题、解答题。选择题部分一定包含几何变换的考点，而平均得分低的解答题也都是几何相关的题，基本上可以看到，把握了几何就是把握了中考。下面观察2017～2019年广东中考试卷各知识点的考核内容以及占比。

通过对表格的观察，我们发现在中考试卷中每年对试题都有一定的调整，但是从整体来看在中考试卷中几何的考核内容占比最高。所涉及题目从选择题到填空、解答题都有，所考核的内容包括从直线之间的关系到平面图形，直角坐标系中对线、角等图像构成因素的分析。中学的几何部分要做好如下六点：①打好基础知识，公式定理在上课的时候一定要仔细看，并将实际应用于几何问题上，然后举一反三，基础知识夯实了，对几何问题的运用学起来也就容易一些；②巧用补线，根据不同的形式有不同的补线方法，比如正三角形要三线合一，而平行四边形一般都是对角线，做多了就可以开窍了；③多写作题，写作题目的关键就是自己想出来为止，做好了就可以对比答案，检查出自己的错误，从而熟能生巧；④善于归纳，整理好做题的方法和考点，做到每一个题目都有一种题，放到好习题本里，一般是最常见的题目，便于复习；⑤错题收集，做好计算错题本，并做好总结，为了不浪费，可将该题直接打印出来，重复复习，找出错因也很重要；⑥提升几何思维，平时要锻炼几何思维，可以多训练，玩玩几何方面的游戏，提升空间抽象思维能力，做题就会得心应手。总的来说，几何题占了中考试卷的半壁江山，数学想要高分，处于瓶颈状态的初中考生，务必要掌握好几何知识，先去掌握基础的公式定理，然后再试着做题，做完之后把错题总结下来，久而久之，数学成绩自然就会提升上来。

二、 初中几何知识点分类

中学阶段的数学课程中，最常用的几何建模和构造方法无非如下几类：全等变换、对称性全等建模、角平分线模型、对称半角模型、共转动全等建模、旋转零点五角建模、自旋转模型、共转动建模、模型变换、中点转换、几何最值建模、对称性最值难题（点到直线垂线段最短）、共转动最值难题、共线所有最值、剪拼建模、共转动近似模型、相似模型。把它们搞清楚，加以练习，考试时使用起来得心应手，这类题目就再也不是学生考取高分的障碍。再从中总结，初中数学中的几何主要有以下几类：点、线、角；三角形；多边形；圆。

（一）点、线、角

初一上学期的最后一章，学生们初步学习了简单的几何入门知识，例如：点、线、面、体，以及它们的关系“点动成线、线动成面、面动成体”。到了初一下学期，随着学习的深入，学生学习到更多的几何知识，例如：点到线的距离、线与线垂直、线与线相交形成角、角与角的关系等。概括言之，可以總结为：点与线的关系、线与线的关系、线与角的关系。通过引导学生从这三个方面来深入探究点、线、角之间的关系，可以使学生系统性地掌握初一数学下册的第五章相交线与平行线。在中学数学学习当中，我们从简单的点出发，研究从点到线，再从线到角的几项重要学科知识。在研究点线角之前我们首先引入一个重要的数学模型，平面直角坐标系模型。

在同一平面上，彼此垂直并具有共同原点的两个几何轴组成了平面直角坐标系，称直角坐标系。一般来说，将两个几何轴线依次放在水准方位和下垂方位，而朝向右和上升的方位则依次为两个几何轴线的正确方位。水准的几何轴线叫作x轴或横轴，垂直于x轴的数轴叫作y轴或纵轴，x轴和y轴统称为坐标轴，它们的共同原点O就是直角坐标系的原点，以点O为原点的平面直角坐标系统记作平面直角坐标系统或xOy。在平面内画两根彼此相等的直线，以两根直线的垂直交点为中心O建立平面直角坐标系，标出x、y轴，再对其进行象限分布，如下图1。

图1平面直角坐标系

当成立了直角坐标系之后，关于水平内任何一个点，都存在一组有序实数群（x，y）和它对应。对平面中的点我们可以根据其坐标计算两点之间的距离。通过点我们引进线的定义和相关的知识点，内容包括直线的平行、垂直的判断、直线之间的距离等。

两条直线互相交叉后形成一个交点，以此为据我们引进角的定义。在初中数学中点、线、角是一个最基础的知识点，后期平面图形的研究都会在他们的基础上进行。

（二）三角形

如果说点、线、角是几何的基础，那么三角形是初中数学中几何的心。不同于小学中对三角形的学习，初中数学对三角形从边长、角、端点等方面进行综合性的研究。首先掌握的是三角形的相关理论与特性，比如三角形的角平分线、中点、高，以及三角形的三边关系、内角和定理、外角和等。关于三角形我们根据其各边之间的关系引进等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等特殊三角形类型，并研究其各边之间的关系，特殊三角形中的特殊角等。等边三角形三边长相等，三个角的值都是60°；等腰三角形两边相等，相等两边与第三边构成的夹角相等；直角三角形有两边垂直。根据各边之间的关系我们还引进勾股定理，在整个初中数学几何学习当中勾股定理的应用非常的普遍。

据此，可教学运用将三角形的内角平分线和平行线有机地结合求解的办法、充分运用三角形的中线性质解决面积的办法、充分运用三角形的高的性质求解的办法、充分运用三角形内角和定理思维来判断三角形状的办法、充分运用三角形三线性质与三角形内角和定理思维的综合应用方法、利用“等角对等边”求证线段等长的办法、等边三角形的性质在全等求证中的应用方法、利用勾股定理解决几何体表面最短长度的办法、“建立直角三角形”的办法、充分运用勾股定理和方程组思维解决与“翻折”有关的问题的办法、充分运用勾股定理思维的逆定理来判断三角形形状的办法等。

对三角形中各边和角的关系的研究我们还有一个非常重要的内容那就是三角函数。三角函数分为正弦函数、余弦函数和正切函数三类。三角函数不仅用在平面三角形的题型当中，在后期对多边形、圆的分析和应用中通过加辅助线构成三角形，再通过三角形对多边形的角和边研究这一类题中也会用到三角函数。

对三角函数在掌握基础的定义之后对其定义域、图形、值域等进行一系列的研究。在后期应用当中三角函数相关的特性可以直接用在题目计算当中。表2为几个基本三角函数的性质概括。分析性质后我们可以发现在三角函数中有一些特殊角比如说45°（π/4），60°（π/3），90°（π/2）等，它们的函数值是确定的，如果能够记住这些值，在后期考试当中可以节省很多时间和精力。同时，我们还可教学运用三角函数的概念求三角函数值、运用三角函数的概念求线段长度、用等角代替法求三角函数值、设参数法求三角函数值、通过构成直边三角形求三角函数值等。这里，使用特定位置的三角函数值作为计算的方式较为简便，表3是三角函数中特定位置的函式值。

（三）多边形

由若干线段首尾顺次相连而成的平面图形，称之为多边形。多边形的书写一般由各个顶端字母表示。一个多边形至少要有三条边，除三角形以外，在初高中数学课程中不仅是研究长方形、正方形这些最简单的多边形也要研究平行四边形、菱形、矩形等四边形。平行四边形、菱形、矩形、正方形都有自己的判断定理。可教学用多边形的内角和或外角和定理推导求边和的解法、正多角形的外角和的使用、利用逼近法确定多边形的边数的方法、求复杂几何图形的相关角的和的方法等。对多边形的判断有时候不能直接就看出来，这时候需要添加辅助线来帮助我们验证。添加辅助线后考的内容不仅会涉及多边形相关的定理还会涉及三角函数、线与线之间的关系等考点，所以在中考过程中往往会用这些多边形题来考核学生的综合能力。

（四）圆

在初中数学中学生初次接触圆。一条线段绕着它的固定端点旋转一周所成的图形，称为圆。圆也可认为是与定点的距离相等定长的点的集合。学习主要包括圆的相关理论、圆的基本属性、与圆有关的位置问题、正多边形中画圆的相关方法，对圆我们会引进弦、直径、弧等内容对圆进行进一步的分析和研究讨论，其中重要的一点是角和弧的对换等。可教学运用垂径定理进行有关弦的计算、利用圆周角定理求角度的方法、利用圆内接四边形的性质求角度的方法、利用“作垂直，证相等”判定直线为切线的方法、圆的有关知识在动态问题中的应用、利用弧长公式解决运动轨迹问题的方法等。

三、 关于几何题的几种解题思路

（一）见到图形，想到性质

见到图形想到性质就是当你见到一个图形，根据你学过的定义、定理和公式你就能对图形的性质进行推理和计算。例如三角形性质：①三角形的两边的和一定大于第三边，由此亦可证得三角形的两边的长度差也必然不大于或等于第三边；②三角形内角和等于180度；③等腰三角形的顶角平分线、底边的中线、底边的高重合，即“三线合一”。见到图形想到性质，一般用“从已知向后推”的思路。

例：如图所示，在等腰Rt△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交OC于点D，AD的延长线交BC于点E，过点D作⊙O的切线交BC于点F。下列四个结论中正确的结论序号为。

A. CD2=CE·CB；

B. 4EF2=DE·EA；

C. ∠OCB=∠EAB；

D. tan∠EAB=5-12。

从题干“在Rt三角形ABC中，AB=BC”我们就可得到三角形ABC是等腰直角三角形，那根据性质可以直接得出AB=BC，∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°等。

（二）以基本图为基础分析综合题

在这里讲的基本图是指三角形、四边形、圆以及三角形的高和圆的切线等。首先得掌握清楚这些基本图的性质和相关概念，在一些复杂的几何图形当中，在上述几个基本图的基础上，挑出一些常用的重要图形，再对问题进行解答。以基本图为基础用到综合题当中，用基本图的知识解决复杂的综合题。

除了成型的三角形、四边形、圆等图形之外，在几何题的研究中也有更多的基本图，比如：三线八角（两条平行直线被第三条直线所截而成的图形）、角平分线、三角图形的中线、三角图形的中位线、五中互余、勾股定理、锐角三角函数、直角三角形斜边中线、直角三角形斜边的高、正余弦定理、三角形不等、平行四边形和梯形、垂径分弦、圆的切线、和圆有关的角、两个圆的公共弦与公切线、平行线带来的比例线段、圆幂定理等。

对上题进一步分析：

连接BD由弦切角定理得：∠DBC=∠DAB

因为∠DAO=∠ADO=∠CDE

所以∠DBC=∠CDE，

因此△CDE∽△CBD（AA）

所以CDCB=CECD，所以有CD2=CE·CB

所以A正确

再进一步分析B

由切割线定理得EB2=DE·AE

由切线定理得DF=FB

又△DEB为等腰直角三角形，所以EF=BF=1/2BE

所以B正确

通过对例题第一、第二问的证明可以发现，在综合体中以基本图为基础进行分析解题不仅会节省时间还可以减少出错率。在综合题或者解答题中遇到复杂的图形先不要慌，首先观察图形，其次根据题目要求或者图形基本情况分基本图或者自己创造基本图（一般用辅助线进行解决），再以基本图为基础对整體图形进行研究和题目的解答。

四、 培养学生的抽象能力

抽象就是从复杂的事物中，单纯地抽取某种特性加以认识的思维方式。抽象性从许许多多的事物中选择其共性的、本质性的特点，并摒弃其非本质的特点的过程。具体地讲，抽象化就是人类在生活经验的基础上，对大量的感性物质经过去粗取精、去假存真、由此及彼、由表及里的加工制造，产生认识、判断、推论的思维方式，从而体现事情的实质与原理的过程。抽象是从感性认识上升为理性认知的最主要方法，并处于理性认识中。抽象思维通过运用科学知识的抽象概念，对现实世界的实质规律和客观世界发展演变的深刻历程加以揭示，从而使人类通过认知方式掌握的知识远高于通过人类感觉器官所进行了解的知识。

几何是很有难度的一个方面的知识点，因为它的概念是比较抽象的，需要的是学生们具备空间化思维，这是很重要的。因为在一般情况下一些复杂的图形或者立体空间，在纸面上是没有办法百分之百还原或者看清的，所以在大多数时候，在解几何有关的题目时，学生需要具备一定的空间想象力对题目进行观察分析。

初中几何一直是薄弱环节。文章主要通过介绍中学几何的基本知识点，说明初中学生在掌握几何中所出现的基本问题与困难。针对中考数学试题总结，针对其中的不同问题从知识点的考察、难点两个层面加以分析，同时对方法加以整理总结，提升学习者对相关知识点的熟悉程度，以此解决学生针对不同知识点进行复习时在知识点中出现的问题。

下面是笔者所提供的一些可以训练学生抽象能力的方式：①通过实际观察。实景观摩对训练学生抽象能力的效果较好，当讲一些基本的几何图形课题时，教师可带着几个现成的模型让学生观摩，又或是通过在课堂上进行纸叠的方式，由学生自行动手做相应的模拟，最后再由学生通过观察图像在折叠过程中的折痕等，提高对学生在相关图像中的线段的理解，通过这样“由表象到事实”的方式，可以训练学生勇于舍弃事件中的非本质的环节，提取事情的真相；②反复练习。培养抽象能力另一个非常好的方法是进行大量的反复练习，熟悉解题的常见路线，熟悉辅助线的画法，在大量的重复训练后学生对一些类似题型的解答会有一套自己的领悟，这样在考试中遇到相似的题型时学生可以第一时间想出解答方法，这种“由特殊到一般”的方法，能培养学生化问题的具体提法为一般情况，进而公式化的能力；③知识清晰。对几何基础知识点的把控一定要掌握清楚，在这个基础上学生才能学好新问题，才能更快提升运用字母、符号进行推广、推想的能力；④善于归纳总结，熟悉常见的经典图形代表。

参考文献：

［1］崔冠之，郑国安.中学数学概念，定理和公式大全［M］.北京：中国农业机械出版社，1988.

［2］赵慧民.平面几何解题思路——怎样运用基本图［M］.北京：海洋出版社，1986.

［3］陆斌.中学数学高阶思维训练实践研究［M］.上海：上海社会科学院出版社，2020.

作者简介：汪园芳（1989～），女，汉族，安徽东至人，厦门市杏南中学，研究方向：初中數学。