数学深度学习发生在知识交汇处——以“导数与三角函数综合问题”的解题教学为例

江苏省连云港市城头高级中学 (222131) 孟庆丰

所谓深度学习，就是指在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程.深度学习不能凭空发生，一般需要三个的条件作为支持.第一，深度学习要求学生在学习过程中全身心的真实地投入和主动参与；第二，深度学习要求学习内容呈现结构化的特征，尽可能规避零散的、繁杂的、无序的知识点；第三，深度学习的内容要具有一定的挑战性，能够反映学科本质特征，指向核心素养的培育.简而言之，就是激发学生兴趣、选好教学主题、设计好教学问题.

作为高中数学的核心知识，导数不仅使研究函数单调性和最值的方法变得更加丰富，而且还可以于其它知识交汇融合，产生更加广泛的应用.比如，可以借助导数来研究三角函数问题.对于三角函数的单调性、奇偶性、对称性、最值问题或者相关综合性问题，导数的应用不仅能充分地考查数学思想方法，彰显解题方法的灵活性，多样性与独创性，而且还能够使之成为促使深度学习发生的有效载体.

1 呈现不一样的方法，激发学习的动机

深度学习首先强调的是学生“乐学”“愿学”，即学生的学习的兴趣.因此，激发学生的学习动机并予以维持是深度学习的第一步.当然“兴趣”不同于“乐趣”，“兴趣”是学生发自内在的意愿，而并非教师的强制学习或强行灌输.在数学解题教学中，相同的解题方法，重复的演练会将学生的兴趣抹杀殆尽.对于三角函数单元内容，整体换元、数形结合、恒等变换是惯用的解题方法，学生对于这些方法与套路已经是很熟悉了，教师若再讲这些方法已经很难激发学生的兴趣，导数的运用为此内容的学习引入了新鲜的血液，可以让学生感受到不一样的三角函数.

问题1 若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]上是递减函数，则a的最大值是.

点评：对于三角函数问题，利用三角恒等变换把多个三角函数转化为一个三角函数，再结合三角函数的图像与性质进行解答.其中，化简是关键，在此过程中学生很容易出错.导数的运用，可以规避对三角函数的化简而直接进行求导，然后利用导数求单调区间、求极值的一般方法进行解决.对比两种方法，导数不一定更加简单，但具有一般性.长期以来，学生习惯于在三角的视角考虑三角函数问题，而很少尝试用导数的视角进行思考.

2 开启新的探索，建立结构化的联系

深度学习的本质就是在整体性的背景之下，在各种知识和现象之间建立联通关系，从而帮助学生结构化的知识体系.因此，教师要尽量避免孤立化、松散化的教学呈现方式，而是要以结构化的、适合学生展开主体活动的方式来呈现有内在关联的内容.这样做的优点既能体现学科逻辑，又适合学生的认知逻辑，可以让学生所学到的知识比以往更加全面与深入.不仅如此，在解题教学中，非结构的、不断细分的、孤立的解题方法是使学生的思维由“ 活” 变“ 死” 的主要原因，深度学习的要做的就是让“死”方法变“活”，通过合理规划，使得解题方法呈现出一般性、系统性的特征.

当三角函数中引入导数时，学生一开始可能不适应，经过问题1与问题2的解答，已经开始体会到导数作为解题工具的可行性，但还没有感受到导数思想的一般性与优越性，接下去就要引领学生进行新的探索.

问题4 已知f(x)=2sinx+sin2x，求f(x)的最小值.

点评：问题3与问题4不能转化为一个角的三角函数，因此，无法用解决三角函数的常规方法进行解答，只能把它们看着一般的函数，然后利用导数的一般套路进行求解.学生带着疑惑经历思维的转化过程，而“惑”是新事物、新概念、新命题等新异的学习对象，是与学生已有认知结构发生不协调而产生的正常心理活动现象，学生“解惑”的过程就是深度学习的过程.通过“解惑”，学生获得了“求导——单调性——极值——最值”结构化的解题思路.

3 直面挑战性问题，发展高阶思维

有难度、有挑战的学习内容不仅能极大地提升学生的发展空间， 而且也是实现深度学习的前提.所谓的挑战性，并非只在于纯粹的知识难度，而是指得是挑战学生已有认识成果，也就是说要根据学生认知水平来确定挑战的水平，而不是一味的拔高难度.当然不可否认，挑战性的问题对于学生来说确实是难，固然有其本身的原因，但更为重要原因是学生感受不到它与自己已有知识的关联.因此，为了保证学生能够挑战成功，在解题教学中，教师需要对学习内容进行深度加工，将学生难以理解和操作的内容，转化为一系列的、以学生现有水平能够独立实现的操作步骤.

解析：(1)f′(x)=-xsinx，所以f(x)的单调递减区间为(2kπ,2kπ+π)，单调递增区间为(2kπ+π,2kπ+2π)，其中k∈N*.

点评：问题5与问题6从其函数的构成上看，不仅包含了三角函数，还包含了其它函数，因此更具一般性.问题6还把加入了数列加了进来，更多的知识交汇在一起，解题过程不仅需要用到解决导数问题的一般步骤，比如，分类讨论、参数分离，而且还用到了放缩的技巧.这两个问题综合性的特点使得解题过程极具挑战性，需要学生调用高阶思维，联系、加工、处理、转换与任务密切相关的信息和知识，将外部的任务信息变成自己熟悉的信息.

当然，知识交汇之处也是方法的交汇之处，更是思维火花的碰撞之处，因此深度学习在知识交汇之处更容易发生.为了能够顺利构建知识交汇的事实，教师也需要进行深度学习，实现对学科知识的再理解，从而促使自我教学理念与行为的转变.