基于模态柔度的软基水闸底板脱空范围识别

李火坤，涂 源，龙思琪，方 静，刘双平，邬鹏贞

(南昌大学 建筑工程学院，江西 南昌 330031)

我国的水闸多建于软土、粉砂、砂砾石等软基上[1-2]。水闸闸室底板直接与软基接触，在水流作用下极易发生不均匀沉降、渗透变形等现象[3-4]，导致水闸底板被水流淘空破坏[5-6]。目前，水闸底板的检测技术主要有抽干水后的钻孔取芯、超声波法、探地雷达技术和动态检测法。钻孔取芯为有损检测；超声波法和探地雷达为无损检测，有较好的应用前景，但存在一些局限性，如需在无水或水位极低的情况下进行检测，与水闸实际运行情况不符合。陈鹦[7]率先应用动态检测方法，以动柔度及黏性阻力系数作为识别水闸地基脱空与否的参数，试验结果表明该方法可行，但要求水闸满足一定的条件；黄锦林等[8]基于响应面数值代理模型提出了一种软基水闸脱空范围反演识别方法，将水闸固有频率和振型变化率组合作为动力学敏感特征量，并建立水闸底板脱空反演的目标函数，反演识别出软基水闸底板的脱空区域；李火坤等[9]基于多参数变量的脱空响应面数学模型，改进了软基水闸底板脱空参数与水闸动力学参数之间的非线性数学代理模型和脱空参数反演的目标函数，并建立了实体物理水闸模型进行脱空反演识别与模型验证。但构建目标函数时，各阶固有频率与各测点模态振型之间的权重取值不一，尚无统一标准，一定程度上影响了反演结果的稳定性。因此，需要进行敏感性分析进一步确定底板脱空诊断的动力学敏感特征量。

目前，大量研究者采用动力学诊断方法进行结构安全监测，通过振动响应的模态参数信息变化确定结构损伤位置，使用较广泛的模态参数及其衍生量有固有频率、模态振型、模态曲率、模态应变能、模态保证准则（MAC）和模态柔度等，但不同参数对结构损伤敏感度差别较大。早期多以固有频率和振型作为结构损伤识别的模态信息，但频率与振型对结构损伤的灵敏度并不高，尤其是针对细微损伤时，采用频率与振型识别结构损伤的效果不佳[10]。Pandey 等[11-12]提出了一种基于结构柔度矩阵变化的结构损伤识别方法，仅采用低阶固有频率和质量归一化的振型就可以准确计算出结构的柔度矩阵，并借助梁模型进行柔度方法验证，试验结果表明该方法可对结构损伤进行识别及定位，这为结构损伤识别提供了新思路。Zhao 等[13]对固有频率、模态振型和模态柔度的灵敏度分析比较，认为模态柔度对结构的损伤更为敏感。杨秋伟等[14]总结了近20年基于柔度变化的结构损伤识别方法、各种基于柔度或其衍生量方法的基本原理和主要计算式，并进行了分类和归纳，比较了各类柔度方法的优点和不足。

本文引入对结构损伤更加敏感的模态柔度作为水闸底板脱空动力学敏感特征量，进一步改进水闸底板脱空参数反演的目标函数，并基于遗传算法对该目标函数寻优求解，反演识别出水闸底板脱空区域。

1 模态柔度法的基本原理与计算

柔度的物理意义是单位力作用下作用点处的位移，根据结构动力学理论，结构的模态柔度矩阵F为：

式中：K为结构刚度矩阵； ϕi为第i阶质量归一化的模态振型； ωi为第i阶模态角频率；n为结构自由度。

由式（1）可知，模态柔度与固有频率成反比，且模态柔度对结构低频动力参数的改变比较敏感，而结构固有频率随着模态阶数的提高而增大，因此，模态柔度矩阵的主要成分是低阶模态参数信息。在实际工程中，高阶模态难以获取，可通过低阶模态信息计算获得[15]。

在软基水闸底板脱空损伤识别研究中，李火坤等[9]建立了软基水闸室内物理模型，通过布置多个测点获得不同脱空工况下相应节点的多阶频率和模态振型，在此基础上引入对结构损伤（水闸底板脱空）更加敏感的模态柔度，将测得的各节点低阶固有频率和模态振型代入式（1），计算各节点相应模态柔度值。

2 软基水闸底板脱空反演识别方法

2.1 软基水闸底板脱空区域的描述

根据文献[8-9]，对软基水闸底板脱空区域进行数学描述，借助脱空控制参数di（i=1，2，…，n）将水闸底板下的地基区域某一侧平均分成n−1 段，控制参数大小即可控制水闸底板的脱空距离[8]，水闸底板地基脱空参数描述见图1、图2。

图1 水闸底板地基脱空参数数学模型Fig.1 Mathematical model diagram of void parameters of sluice floor

图2 水闸底板地基脱空参数示意Fig.2 Schematic diagram of void parameters of sluice floor

式中：x为坐标值；dx为脱空参数；di为x取i时的脱空参数；L为x坐标轴方向水闸底板长度，即垂直水流方向底板长度；n为脱空参数个数。

本文以单侧脱空与相对侧脱空为例，分别用5 个和10 个脱空控制参数di对其脱空范围进行数学描述，并确定各工况下的底板脱空范围的数学模型。

2.2 响应面数学代理模型

响应面法是一种解决非线性问题的优化方法，本文构造显式多项式来表达软基水闸模态参数（各节点模态柔度值）与水闸底板脱空参数的响应面数学模型。在考虑计算效率和兼顾响应面模型计算精度的情况下，采用三阶多项式响应面数学方程建立脱空参数di与模态参数模态柔度F之间的关系，具体表达式如下：

式中：Fpq为软基水闸不同脱空工况下的p阶q节点的模态柔度值；为待反演识别的脱空参数，dil、diu分别为脱空范围取值的上限和下限； α为响应面数学方程待定系数。

本文采用拉丁超立方抽样法在脱空参数取值范围（0～0.65 m）内抽取2 000 组参数样本，并代入有限元模型中进行模态分析，计算出不同脱空情况下的模态信息（水闸结构固有频率和相应节点的模态振型），并计算不同脱空情况下各节点的模态柔度值，根据式（3）采用多元回归分析的方法拟合模态参数（即各节点模态柔度值）与水闸底板脱空参数之间的响应面数学代理模型，并以此代替有限元模型进行后续反演计算。

响应面精度是评价响应面模型合理性的重要指标。本文根据有限元模型和响应面模型计算的各节点模态柔度值之间的相对误差，来确定响应面精度是否满足要求。响应面数学代理模型的精度计算式如下：

式中：e为响应面精度，响应面精度控制在5‰以内；yRS为响应面模型计算值；yFEM为有限元模型计算值。

2.3 目标函数及脱空参数反演流程

将有限元模型和响应面模型计算的模态参数的相对偏差作为目标函数J*，比较各测点响应面数学模型计算值与有限元模型各节点的识别值，将软基水闸底板脱空参数的反演表示为目标函数的最优化求解，构造目标函数如下：

式中：F∗pq和Fpq分别为水闸测点q的第p阶模态柔度识别值和响应面代理模型计算值；N为水闸振动响应的测点个数；M为所识别的模态阶数。

本文采用遗传算法对式（5）寻优求解反演出水闸底板脱空参数。

3 基于有限元模型的模态柔度脱空反演

3.1 软基水闸结构模型

软基水闸单孔实体水闸模型及测点位置见图3。结构模型基本尺寸为：长1.44 m，宽1.36 m，底板前后设有齿槽，底板中部厚0.16 m，闸墩高1.60 m、厚0.16 m，水闸前、后部工作桥宽分别为0.32 和0.40 m，厚0.04 m。在有限元模型中以附加质量形式考虑工作桥等附属结构，采用温克尔地基模型模拟软基，定义Surface154 单元附着于水闸底板（即底板与地基接触面）并通过设置弹性地基刚度（Elastic foundation stiffiess，EFS）值来模拟温克尔地基。针对水闸数值模型的脱空部分，将EFS 值置为0 来实现底板脱空的模拟，有限元模型参数[9]见表1。

表1 有限元模型材料参数Tab.1 Material parameters of finite element model

图3 单孔实体水闸模型及测点布置Fig.3 Model of single hole solid sluice and measuring points

3.2 脱空工况设置

本文以单侧脱空和相对侧脱空两种脱空类型为例设置3 种脱空工况，其中工况1 和工况2 为水闸底板靠近上游单侧脱空，工况3 为水闸底板相对侧脱空。水闸底板脱空范围用脱空参数di（i=1, 2,…,n）描述（表2）。以工况1 为例，通过5 个控制参数点及对应的脱空控制参数确定出实际的脱空范围（图4）。图4 是水闸底板数学描述模型，顺水流方向底板长度为1.44 m，垂直水流方向底板长度为1.36 m，灰色部分表示脱空范围，d1～d5表示脱空控制参数即向底板中间延伸的距离。

表2 各工况脱空控制参数Tab.2 Void parameters under different conditions单位：m

图4 工况1 实际脱空范围Fig.4 Actual void range on conditions 1

3.3 基于模态柔度的响应面代理模型建立

本文通过修正的有限元模型建立水闸模态参数（模态柔度）与脱空参数之间的响应面代理模型。水闸底板的单侧脱空（工况1 和2）和相对侧脱空（工况3）分别采用5 个和10 个脱空参数对水闸底板脱空区域进行数学描述，并采用拉丁超立方抽样法随机抽取2 000 组脱空控制参数di（i=1, 2,…,n）。实际工程中，当底板脱空范围过大时，水闸结构可能会出现整体倾覆倒塌，故而将脱空参数范围设置为小于水闸底板尺寸的一半。因此，脱空控制参数di的取值范围为0～0.65 m。

由式（1）可知，模态柔度与结构固有频率的平方成反比，模态柔度对结构低频模态的变化较敏感，因此，均采用前两阶模态信息进行脱空范围反演识别。将随机生成的2 000 组脱空参数导入程序，在有限元模型中进行模态分析计算，提取水闸的前两阶固有频率与模态振型值，代入式（1）中计算各节点的前两阶模态柔度值，再根据式（3）拟合响应面模型代替有限元模型，并通过式（4）计算响应面精度。各工况下典型测点响应面精度见图5，3 个工况的响应面精度均满足精度要求（5‰之内）。

图5 各工况典型测点柔度响应面精度Fig.5 Response surface accuracy of modal flexibility of typical measuring points under different condition

3.4 脱空区域识别结果

计算各工况下水闸底板脱空参数的反演值，并与设置的实际脱空参数相比较（见表3），再将反演识别的脱空范围与实际脱空范围作对比（见图6）。反演识别得出工况1～3 的脱空区域面积分别为0.518 976、0.439 178 和0.917 400 m2，实际脱空面积分别为0.518 5、0.435 2 和0.970 9 m2，相对误差分别为0.11%、0.87%和5.49%。

表3 各工况下脱空参数反演结果Tab.3 Inversion results of void parameters on different conditions单位：m

图6 各工况下脱空识别区域与实际区域对比Fig.6 Comparison of the void area between the identified and actual results under different conditions

4 基于频率与振型变化率的脱空反演

为了验证模态柔度法的识别效果优于频率振型法，以工况1 为例，按照文献[8]的理论以水闸固有频率和模态振型变化率组合为动力学敏感特征量，并结合文献[9]改进后的响应面模型和水闸底板脱空反演的目标函数，进行水闸底板脱空范围反演识别，结果见表4。实际脱空面积为0.518 5 m2时，基于频率和振型变化率识别和基于模态柔度识别的脱空面积分别为0.510 578 和0.518 976 m2，相对误差分别为1.53%和0.11%。

表4 工况1 脱空参数反演结果Tab.4 Inversion results of void parameters under condition 1单位：m

为了更直观地比较两者的效果，识别的脱空范围的比较见图7。由图7 可知，本文方法反演的脱空范围更加精准，相对误差也更小。构建目标函数时，基于频率和振型变化率的方法需要更多的模态信息，且需要进一步对频率与振型变化率进行灵敏度分析从而确定两者在目标函数中的权重系数，而本文方法则仅需前两阶模态柔度，无需考虑权重的问题。反演过程中，频率振型法反演结果不稳定，在目标函数寻优求解过程中易出现局部最优解，从而无法准确识别出脱空范围，而本文方法显著提高了目标函数寻优求解的稳定性，因此识别的脱空范围与实际脱空范围更吻合。

图7 基于模态柔度与基于频率振型脱空识别对比Fig.7 Comparison diagram of void identification based on modal flexibility and frequency mode

5 结 语

本文在已有的软基水闸底板脱空动力学检测方法的基础上，提出了一种以模态柔度为动力学敏感特征量的水闸底板脱空反演识别方法，构建了水闸底板脱空参数与模态参数即模态柔度之间的响应面代理模型，以模态柔度作为动力学敏感特征量，建立了水闸底板脱空反演的目标函数并进行脱空反演，该方法可以更准确地识别出水闸底板脱空区域。

以水闸各阶多节点模态柔度和各阶多节点频率与振型变化率组合为动力学敏感特征量分别进行水闸底板脱空范围的反演，结果表明：模态柔度法反演识别的脱空范围更加精准，较频率振型法反演识别结果的相对误差更小，该方法同时还提高了目标函数寻优求解的稳定性。