星座碰撞规避的迭代学习构型保持方法

陶昊宸，龙嘉腾，朱圣英，聂 涛

(1. 北京理工大学宇航学院，北京 100081；2. 深空自主导航与控制工信部重点实验室，北京 100081；3. 飞行器动力学与控制教育部重点实验室，北京 100081)

0 引言

巨型低轨卫星星座的开发，已成为当下的热点领域,但巨型星座快速发展的同时也存在一系列问题，其中最直接的后果是造成了500～2000km范围近地空间的异常拥挤[1-3]。随着低轨卫星数量的急剧增加，一方面使已有在轨卫星的生存空间受到挤压，碰撞风险增大；另一方面，发射和轨道机动等工作的负担和风险也与日俱增，严重时甚至会引发碎片级联碰撞效应等灾难性后果，对空间环境造成极大破坏[4-6]。

为了保证空间目标的安全运行，碰撞规避方法的研究受到了广泛关注[7-9]。通常碰撞规避问题可以描述为：卫星在得到预警信号与相对运动关系等信息后，如何机动降低碰撞概率。对于推力矢量控制的卫星，问题转化为约束条件下的最优脉冲输入的求解。R.P.Patera等[10]最早研究了相关问题，将推力方向与大小解耦，开发了一种基于碰撞概率梯度的规避策略，沿碰撞概率梯度方向进行轨道机动，使碰撞概率以最快速度下降。此后的研究基本沿着该思路展开,例如安喜彬等[11]考虑了卫星回归原轨道、燃料最省和距离下限的约束条件，使用高斯伪谱法求解最优控制规律。袁勇等[12]采用了时间规避策略，在碰撞前施加沿速度方向的脉冲，使两星通过轨道面交点的时刻错开，从而避免相撞。

随着电推进技术的飞速发展，越来越多的卫星使用连续低推力方法进行轨道控制。相比推力矢量控制，这种方法能大幅提高控制效率，从而延长卫星的使用寿命。然而，基于连续推力控制的规避方法却鲜有研究。G.Salemme等[13]提出了一种间接方法，以燃料最省为优化目标，但模型维度较高。J.Herna-ndo-Ayuso等[14]在此基础上，以推力最小为目标，基于Pontryagin极大化原理与间接法，分别对连续推力的幅值与方向求最优，研究了圆轨道两星碰撞规避问题，并推导了精度较高的切向机动解析解。J.A.Reiter等[15]基于最优推力径向假设，提出了一种半解析快速计算方法。目前，连续推力控制方式在大型低轨道互联网星座领域已取得广泛应用[16-17]，因此本文的研究也将基于连续推力控制展开。

在星座卫星的巨大规模下，碰撞规避将成为常规任务[7]。因此，为了避免过度机动造成的次生碰撞和燃料浪费，应在尽可能减小对任务造成影响的前提下，提出更便捷的规避策略，便于卫星在轨执行。目前星座卫星的研究中，更多的是将避碰作为一项约束，讨论构型保持的问题[18-19]。冯昊等[20]在设计遥感卫星空间碎片规避机动策略时，以星下点轨迹允许范围为约束，在环形区域内实行精确控制，以达到规避效果。受星座构型保持启发，考虑到决定两星碰撞风险的众多要素中，距离的影响最为重大[21-23]。本文提出了一种基于相对轨道保持的碰撞规避方法，将复杂的规避寻优问题转化为轨道控制问题，通过精确控制减少不必要的机动，这也有益于卫星的正常任务。

相对轨道保持的核心问题在于相对摄动建模，对于近地卫星，地球形状摄动是主要摄动源[24-25]。由于互联网星座卫星以近圆轨道为主，容易产生碰撞风险的卫星轨道高度相当，因此运行周期也十分接近，加之地球非球形引力摄动又呈现出明显的周期性，这就导致了相对运动模型中的复杂摄动项以周期重复为主。一般的反馈控制可以抑制非周期误差，但并不能有效地消除周期性摄动引起的周期误差，与理想的相对轨道始终存在偏差，控制效果不理想[26-27]。迭代学习控制(Iterative Learning Control， ILC)是一种通过重复控制轨迹修正控制律的方法，最早由S.Arimito[28]提出，用于提高机器人轨迹跟踪精度。由于其控制输入由先前试验得到，不依赖于精确模型，因此被广泛引入其他领域。

针对周期性为主的复杂相对摄动，本文提出了基于ILC的星座卫星碰撞规避与构型保持方法。首先,对地球形状J2摄动进行建模，使用轨道模型作差的方法得到相对运动模型；其次，以相对距离为控制目标引入反馈控制，跟踪相对轨道；在此基础上，基于相对摄动周期构建ILC控制器，提取轨道保持偏差与控制输入，生成下一周期的输入，从而抵消周期性扰动的影响，提高轨道保持精度，以不同轨道倾角的圆轨道近地卫星为例进行了数值仿真。

1 动力学建模

首先定义轨道坐标系，原点O位于目标航天器或卫星的质心，Ox轴(R轴)指向目标矢径方向，Oy轴(S轴)在轨道平面内与Ox轴垂直，指向目标速度方向，Oz(W轴)与轨道平面垂直，与Ox、Oy轴构成右手坐标系，称为RSW坐标系。其中，W轴方向与目标比角动量h方向一致，但S轴并不一定与速度矢量重合。

图1 地心惯性系(ECI)与轨道坐标系(RSW)关系图Fig.1 Relation between earth centered inertial frame and orbit frame

设威胁星在目标星RSW系中的相对位置为 (x,y,z)T，则有

(1)

式中，下标t与d分别表示目标星和威胁星；ρ为两星相对位置矢量；f为目标星真近点角。

由于近地卫星的主要摄动源是地球扁率，因此仅显化2阶带谐项摄动，其在地心惯性坐标系(Earth Centered Inertial，ECI)下可表示为

(2)

进行坐标转换并代入二体运动方程，可得目标星RSW系下的相对运动方程为

(3)

式中，ap=[apx,apy,apz]T表示轨道系下的相对摄动加速度；as=[asx,asy,asz]T表示其他未建模的非周期扰动以及近似误差；ac=[acx,acy,acz]T表示三轴的控制分量。

由于有碰撞风险的两近圆轨道卫星轨道高度近似相等，即rt≈rd，方程可简化为

(4)

式(4)即为卫星相对加速度描述，包含摄动的相对运动动力学模型的矩阵形式为

(5)

式中

(6)

2 星座碰撞规避的迭代学习构型保持方法

相对轨道保持首先需要选定理想的相对轨道，本文以不受摄的二体运动轨道为卫星的理想轨道，并得到理想相对轨道，以下标q表示。状态变量为xq=[rqvq]T。

相对轨道保持的过程，实际上是通过控制输入，消除或稳定相对距离跟踪偏差的过程。设T为ILC控制周期，控制输入包含两部分——反馈项afb与ILC项aILC，总控制输入为二者加和ac=afb+aILC。定义相对轨道保持偏差

(7)

因此，有偏差状态变量e=[erev]T。

令合扰动ah=ap+as，由于地球形状与太阳光压等摄动加速度均为卫星位置矢量的函数，可用r表示扰动上界

(8)

因此，根据三角不等式，相对摄动的上界也可用相对距离矢量表示

(9)

式中

(10)

根据式(9)，非周期摄动与偏差状态矢量的模也存在如下关系

(11)

式中

(12)

2.1 反馈保持控制器设计

针对相对摄动建模误差与未建模摄动的非周期影响，引入反馈保持控制器跟踪理想相对轨道，并稳定轨道保持偏差。下面给出反馈保持器的增益设计方法。

卫星相对动力学模型式(5)中，相对加速度的描述为

(13)

设计反馈控制输入afb为

(14)

(15)

容易验证在式(14)反馈控制输入下系统的稳定性和偏差的有界性。

2.2 ILC保持控制器设计

在2.1节中，通过引入反馈控制器，抑制了非周期摄动下相对轨道保持偏差的发散。针对主要摄动项ap，本节将设计ILC保持器，进一步抵消周期变化的保持偏差，实现稳定的相对轨道保持。

理想相对轨道加速度描述为

(16)

与式(13)相减得到偏差加速度描述

(17)

在式(17)中加入速度偏差描述式，写成偏差状态方程

(18)

设计ILC保持器时，控制输入ac=aILC，式(18)可写作

(19)

ILC保持器输入的确定依赖于前一周期的保持偏差和ILC输入信号，使用分段函数进行表示[29]

aILC(t)=

(20)

式中，L为ILC增益矩阵，且有

(21)

增益系数κr、κv由保持偏差决定，本文采用双曲正切函数定义

(22)

(23)

下面判断系统稳定性,并计算ILC保持偏差收敛半径。

设实对称矩阵P2正定，满足

ATP2+P2A=-p2I6×6

(24)

式中，p2>0。以关于e的二次型函数为Lyapunov函数

V2(t)=eT(t)·P2·e(t)

(25)

两边求导并代入式(19)，得到

(26)

代入扰动上限式(11)与ILC输入表达式(20)，得

(27)

根据当前与上一周期偏差e的关系

(28)

代入式(19)得

(29)

(30)

在一个周期内，定义最大控制输入大小

(31)

代入式(30)，并利用矩阵次可加性展开得

(32)

合并、化简得

(33)

在式(33)中，令

(34)

则

(35)

设P2的特征值中最大者为λ2M，最小者为λ2m，则V2满足

(36)

ζ1>0时，将式(36)代入式(35)，得

(37)

求解得

(38)

再次利用式(36)关系，式(38)可进一步化为

(39)

两边取平方根得

(40)

在式(40)中，令

(41)

则

(42)

再令时间t→∞，有

(43)

当υ1<1时，有

(44)

式(44)表明，在ILC控制输入式(20)的作用下，相对轨道保持偏差将收敛到0的邻域，收敛半径为R2c。

值得一提的是，在υ1以及R2c的表达式中并未涉及偏差初值，因此本章所设计的ILC保持器的收敛特性与初始偏差无关。这是由于式(20)在生成每个周期的控制输入时，偏差初值都被纳入考量。这种初值无关特性意味着在实际应用中，可以依约束启动ILC保持器，相对轨道保持偏差最终都能得到有效控制。

3 数值仿真与分析

卫星星座往往采用同轨道高度、多组轨道倾角卫星组网的部署模式，因此本章将模拟此类情况开展分析研究。设存在如图2所示的两颗近圆轨道卫星，初始时刻轨道根数如表1所示，轨道高度非常接近，周期仅相差1.2s。

图2 两星理想轨道示意图Fig.2 Ideal orbits of two satellites

表1 两星轨道根数

在理想情况下，目标星轨道坐标系中的相对轨道如图3所示，类似于一个弯曲的“8”字型。但在地球形状摄动的影响下，相对轨道会逐渐偏离理想值，如图4所示。这种偏差是发散的，在完全不进行绝对轨道保持的情况下，2.5h后距离发散至61.395km，可能引发两星最近距离的减小，这正是造成卫星碰撞的关键原因。

图3 三维理想相对轨道图Fig.3 Ideal relative orbit

(a) R向

两星在摄动影响下的相对距离变化如图5所示，偏差相较于相对轨道而言很小，但在8037s左右，两星达到第二周期内的最接近时刻，此时实际相对距离ρ已降至2.069km，产生了一定的碰撞风险[30]，图6直观地给出了两星实际位置关系与理想情况的对比。

图5 两星距离变化曲线(2.5h)Fig.5 Change of the distance between two satellites (2.5h)

图6 摄动影响下最接近距离变化示意图Fig.6 Distance of closest approach under perturbation

选择ILC控制周期为相对摄动周期5676s，分别对系统施加反馈控制与ILC+反馈控制方式，图7给出了两星相对位置、相对速度与理想值的偏差er、ev的三轴分量变化情况。

(a) R向位置

在仅有反馈控制的情况下，位置与速度偏差均会保持振荡，其中碰撞分析更关注的是位置偏差er、er三轴分量的振幅分别达到了80.2m、34.4m和79.2m。而在ILC+反馈控制下，这种振荡在第二周期就已经有了明显的削弱，并在两个周期后被基本消除。

图8给出了位置偏差的模er的变化情况，仅反馈控制作用下，距离偏差的振幅为109.7m，使用本文提出的ILC反馈控制，三个周期后最大偏差不超过5m。同时结合图7可知，ILC反馈控制偏差仅在新周期学习开始时快速波动，耗时约10min，而在剩下的约85min内，距离偏差er均保持在1m以内。表2给出了每个控制周期开始时的最大距离偏差。

图8 两种控制方式距离偏差er对比图(12h)Fig.8 Comparison of er by two control methods (12h)

表2 ILC周期起始段最大距离偏差

图9给出了反馈控制作用下，ILC控制器启动时间不同时，距离偏差er的收敛情况，验证了本章设计的ILC保持器偏差收敛性与初始条件无关的特性。因此,在实际应用中，可以根据碰撞预警信息和其他约束条件灵活选择ILC保持器启动时间。

(a) 不同周期

将控制输入ac与扰动ap作差，得到输入的跟踪误差

δa=ac-ap

(45)

图10给出了δa的三轴分量变化情况，反映了两种控制方式对扰动ap的跟踪效果。明显地，反馈控制无法消除周期性的跟踪误差，而ILC反馈控制输入在每个控制周期开始时浮动较大，但大部分时间跟踪能力远胜于反馈控制。控制输入量级与摄动项相当，因此不存在控制输入过大、超出机动能力范围或损坏星上设备的问题。

(a) R向

图11在图5的基础上，添加了本文ILC反馈控制方法作用下的距离曲线。加入控制后，最接近时刻附近的实际相对距离与理想轨道基本一致，实际最接近距离大于75km，碰撞概率低于10-10，可直接排除碰撞可能，因此达到了规避碰撞的目的。

图11 相对距离保持效果图Fig.11 Effect of distance keeping

需要指出的是，在本例中两星理想接近距离在75km以上，因此两种控制方法的偏差都可保证相对距离足够远，不会发生碰撞。但在理想最近距离仅有数千米或更短时，相较于反馈控制百米级的精度，ILC反馈控制米级的跟踪精度具有明显的优势。

4 结论

本文针对圆轨道卫星间的碰撞问题，提出了一种普遍可行的规避机动方法，选定理想相对轨道，通过高精度的构型保持降低碰撞风险。本文得到结论如下：

1)针对J2项影响为主的相对摄动变化情况，在传统反馈控制的基础上，通过ILC方法实现控制输入对周期性摄动的精确跟踪。

2)ILC控制器的收敛半径与初始条件无关，可以依据约束条件在任意相对运动状态下启控，具有启控时间灵活选择和快速收敛的优点。

星座间的碰撞问题均可通过构型保持的方法解决，本文提出的ILC仅是对无约束圆轨道卫星的初步应用。未来，应针对具体卫星，引入具体约束，研究变周期ILC问题，并将方法推广到椭圆轨道情形。