几何直观素养表现与表现性任务设计

浙江宁波市奉化区教师进修学校（315000）宋煜阳

一、几何直观的内涵变化

几何直观，既是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下称“2011年版课程标准”）的核心词之一，又是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下称“2022年版课程标准“）提出的核心素养之一。虽然名称没有发生变化，但在概念表述上发生了变化，具体内容对照如表1所示。

表1 “几何直观”概念表述的对比

什么是几何直观？2011年版课程标准中定义为“利用图形描述和分析问题”，2022年版课程标准中定义为“运用图表描述和分析问题的意识与习惯”。在概念内涵上，原先的“利用图形”调整为了“运用图表”，这意味着什么？说明直观的手段丰富了，除了图形，还可以是表格。而列表解决问题，就充分发挥了表格在一一列举、有序思考中的直观作用。

人教版教材中还有许多帮助学生体会列表的直观性的素材。如，一年级连加问题“3个同学一起折小星星，每人折了6个。他们一共折了多少个小星星？”（如图1），本质是解决“几个6相加”。教学中，教师在组织学生自主画图、列式表征的同时，引入表格并给出部分信息，就能让学生解读表格信息后继续填写，体会表格的直观性。此外，三年级的“正好问题”“长方形和正方形拼组后的周长最短问题”等，也都突出列表法在一一列举时不重复、不遗漏的特点，使学生感受到列表法的有序性。

图1

几何直观概念内涵发生变化的是，要求更高了，更强调意识与习惯的养成。这一要求凸显了几何直观作为培养学生核心素养的整体性、一致性和阶段性。为此，几何直观培养的目标，不仅仅是形成描述和分析问题的手段技能，更重要的是形成意识、养成习惯。

二、几何直观的素养表现

几何直观的素养表现主要包括图形的特征与分类、图形的描述与性质、建立数与形的联系、利用图表探索思路四个部分。

1.图形的特征与分类

图形的特征与分类，要求“能够感知各种几何图形及其组成要素，依据图形的特征进行分类”，要点是图形与要素感知、根据图形特征分类。

史宁中教授指出，几何直观表现形式包括实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观四种形式。这里强调的是图形直观这种表现形式，重点感知图形要素和特征分类。如图2所示的选择题就是考查学生对图形特征的理解，以及梳理图形概念之间的关系的能力。

图2

2.图形的描述与性质

图形的描述与性质，要求“根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质”。2022年版课程标准新增了“尺规作图”，要求学生运用语言描述图形，并利用尺规工具画出相应图形，促使学生体会或探索图形的性质。

比如，借助用直尺和圆规作图的方法，引导学生自主探索三角形的周长，感知线段长度的可加性，以及线段的长度就是三角形的周长。在这个过程中，实践操作、直观演示都能帮助学生进一步理解三角形的周长就是三条线段首尾相连的总长度，对图形周长的本质属性有更为清晰的认识。

又如，在三角形三边关系的探索中，关于“两边之和等于第三边”“两边之和小于第三边”时能否围成三角形的情形历来是教学的难点。以往教学中，教师一般是借助小棒等实物操作（也就是实物直观的手段）来验证，而小棒由粗细造成的误差，以及小棒固定的长度限制了学生自主探索的空间，会造成学生感悟不深。现在借助尺规工具，在三角形三边关系探索中能够体现几何直观的优势，学生可以自主探索，任意调整圆规，画出不同长短的线段，不拘泥于教师给定的长度；可以通过用圆规画弧线，体会线段围不成三角形的原因——两条短的弧线没有交点，也就不能围成三角形。

3.建立数与形的联系

建立数与形的联系，要求“建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型”。这部分主要表现为数的概念和数的运算的表征与理解、数量关系的表征。

比如，十进制是数的认识核心要素。不仅是整数的认识，小数的认识也强调“相邻计数单位是10”。因此，可以利用直观图帮助学生体会相邻计数单位之间的十进制关系。在“千以内数的认识”教学中，教师可以依次出示如图3所示的直观图，让学生体会相邻计数单位之间的十进制关系：10个一是1个十，10个十是1个百，10个百是1个千。当然，在认识小数时，可以借助图形之间的联系进一步理解计数单位之间的十进制关系，例如逆向推算：把立方体看成1，那么一个面、一条、一个小方块分别是它的

图3

几何直观在数的运算中的运用，主要体现在对算理的表征与理解。对于抽象思维水平不够的学生，通过几何直观来理解相对抽象的算理是非常有必要的。比如，在“异分母分数加减法”教学中，为了解释说明“对于为什么要先通分再计算”，教师可利用分数墙，让学生直观看到的分数单位不同，不能直接相加；用作为分数单位，既可以表示的大小，也可以表示的大小；也就是3个与2个相加，得出5个，结果为在这个过程中，学生直观理解了“计数单位转化、计数单位个数合并”，从而理解异分母分数加减法的算理。

在解决问题的过程中，几何直观主要体现在题意的理解与数量关系的分析上。比如，人教版教材中的“例8妈妈买3个碗用了18元。如果买8个同样的碗，需要多少钱？”，强调画图是解决问题的有效策略，培养学生借助直观图理解问题、解释算法的能力。因此，在组织学生读题、明确信息和问题后，可以提出以下要求：如果你解决这个问题有困难，可以尝试画图来分析；如果你能够直接列式，请画图解释算式的含义或道理。通过比较实物图、示意图和线段图，学生不仅分析了两步计算的数量关系，感知了“单一量不变”的问题特征，还体会到线段图在几何直观层面更为抽象、更为便捷。

4.利用图表探索思路

利用图表探索思路，要求“利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路”。比如，能在熟悉的情境中描述简单的路线图：描述从学校回家的路线示意图，注明方向和途中的主要参照物。可以让学生先用日常语言描述回家的路线，然后在图上标出方位，画出路线图，标明主要参照物，从而建立几何直观。

三、几何直观的表现性任务设计

因为几何直观是指运用图表描述和分析问题的意识和习惯，所以就意识和习惯而言，几何直观评价的关键在于学生应用几何直观的自主性、自觉性和自省性，这种以自我调控为特征的意识形态，很难用操作层面的学习任务来衡量。但是，围绕识图、画图两个维度设计表现性任务，就能考查学生对“图表描述和分析问题”的表现水平。

1.识图表现性任务设计

所谓识图，就是借助提供的图示或部分图示，通过直观辨认、动态想象、变式比较、推理分析等活动，理解概念的本质属性和算理算法，简化思路，发现和解释数学规律。

（1）从各类图示中识别概念

①从关系图中识别图形的分类

例1下面集合图中表示的关系正确的有（）。

主要通过识别关系图，梳理图形之间的关系，进一步明确复合概念的特征。

例1就是通过集合图来考查学生对图形之间的关系是否了解。题中涉及图形之间一般与特殊的关系，如长方形和平行四边形、等边三角形与等腰三角形；还涉及图形定义与特征之间的关系，如梯形与四边形、等腰直角三角形与直角三角形的关系都可以从定义、特征等方面进行梳理。

②从复杂图形中识别图形的概念

例2在平面图形中，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形。那么，图中共有（）个梯形。

在复杂的图形中识别图形，侧重考查学生有序观察的能力。通过变式活动，剔除概念的非本质属性，凸显概念的本质属性。

对于例2，既需要从不同方位来辨认哪个四边形只有一组对边平行，又需要对非常规的梯形CDEF进行识别，进一步强化了梯形对边平行的本质属性。

③从图形的操作中想象结果

例3一块长方形的硬纸板被折叠起来，如图所示，其中涂色部分形状为正方形。图中a，b分别表示多少厘米？（）

例4聪聪先将一个正方形彩纸按下图所示的方式对折后沿虚线裁剪，最后将彩纸展开铺平，得到的图形是（）。

在折叠、旋转、轴对称等图形运动中展开动态想象，辨认展开图或立体图，重在通过直观想象活动进一步巩固图形的特征与性质。

例3是折叠一块长方形的硬纸板，观察和分析折叠前后的两个图形，本质上就是对正方形特征、长方形的长宽关系的辨析。例4是两次翻折正方形，想象轴对称变换后的整个图形，重在考查学生的空间想象能力。

（2）从图示表征中理解概念

例5下面4幅图中，有（）幅可以解释乘法分配律。

在概念教学中，可采用数形结合的方式来表征概念，从而帮助学生理解定义、定律、性质等。

例5是在选择图示中帮助学生理解乘法分配律的内涵，使学生对乘法分配律的外部表现和内部要义有了更清晰的理解。

（3）利用动态想象简化思路

几何直观要善于从问题的本质出发，巧妙利用平移、旋转等能够简化解决问题的思路，获得更为便捷的方法。

例6梯形上底AB长为3 cm，下底DC长为7 cm，高为4 cm，P为DC边上任意一点，求阴影部分的面积。

常规解题思路有两种：第一种思路是“梯形面积-空白三角形面积”；第二种思路是直接求两个阴影部分的三角形面积，利用创新的思路是使P点运动到C点位置，与C点重合，就可以直接求得阴影部分三角形的面积。

（4）利用图形直观解释数学事实

利用图形直观解释数学事实，主要包括探索、解释规律，验证或证明定律、性质或定理。

例7观察下列等式：1+3=4，4+5=9，9+7=16，

16+9=25……

①用4个图形分别表示上面的等式，你能写出第6个算式并画出对应的图，再在图中表达出这种对应关系吗？

②你能用含有n（n≥1）的等式表示这个规律吗？

③你还能找到其他规律并用含n的等式表示出来吗？

对于问题①②，可引导学生借助图形进行圈圈画画，以感知规律。

从阴影部分来看，即1+3=2²，1+3+5=3²，1+3+5+7=4²。一般规律为1+3+5+7+…+（2n-1）=n²。

再来看问题③，需要换个角度来画一画、看一看、想一想。可以从斜的方位进行思考。

经过不同角度的圈画、观察，就能有新的发现：1+2+3+…+n+…+3+2+1=n²。

当然，几何直观除了可以解决代数的规律问题，还可以直观解释图形的相关定理。

2.画图表现性任务设计

（1）用图来表征题意和数量关系

通过图来表征运算的意义和数量关系，是评价画图表现性的常见任务。重在考查算理理解、数量关系分析表征和简化思路等水平。

例8画一画，涂一涂，算一算。

画出乘法意义，本质上是对分数意义“分了又分，取了又取”的过程理解，也是对分数乘分数算理的理解。

例9聪聪家离图书馆1600米，他从家步行到图书馆，每分钟走50米，走了8分钟。

①聪聪现在大约在什么位置？请用▲在线段图上标出来。

②聪聪还要走多少米才能到图书馆？

例9结合具体情境，在考查常见数量关系“速度×时间=路程”的同时，还要求学生对已走的路程与全程关系进行直观判断，帮助学生进一步理解行程问题中的元素以及数量关系。

例10方老师要买一台打印机，李老师要买一件毛衣。打印机是800元/台毛衣是200元/件。商场有促销活动，如果购买500元以上的商品就把超出500元的部分打八折。两位老师合起来买比分开买能省多少钱？

方法1：分开买，（800-500）×80%+500+200=940（元）。合起来买，（800+200-500）×80%+500=900（元）。省的钱数为940-900=40（元）。

方法2：200×（1-80%）=40（元）。

方法2为什么如此简单呢？教师组织学生画图后分析，得出利用几何直观简化了解决问题的思路。

（2）用图来表达问题过程和结果

画图是解决问题的重要策略。其中，用图来表达解决问题的过程和结果是画图策略的主要手段。

例11聪聪在排队，他的前面有8个人，后面有5个人。这个队伍里一共有多少人？

先请学生猜测结果，然后组织学生尝试画图表征；再提出问题：题目中没有1，怎么会加1呢？最后小结：在解题遇到困难时，采用画图的方法可以把复杂的问题变得直观，便于解决。

类似地，有余数除法解决问题、找次品等都可以通过画图寻找答案，同时也展现了解决问题的过程。

（3）用图表解决开放性问题

面对开放性问题，教师要鼓励学生通过列表、画图进行有序思考。

例12“五一”期间，聪聪、明明等小朋友随家长到某景区游玩。下面是购买门票时，聪聪和明明的对话。请根据图中信息算一算、比一比，说一说采用哪种方案更划算。

通过“大人和儿童共10人”这条信息进行列表，就能不遗漏、不重复地得出结果，且学生容易理解。

例13聪聪家距离学校500米，明明家距离学校900米，聪聪家距离明明家有多少米？请画图计算并说明。

通过画图进行分类讨论，得到“900”“1400”“介于900至1400之间”三种情形，考查了学生全面思考问题的意识与能力。

几何直观，重在意识与习惯的养成。教师要紧扣几何直观素养的内涵与主要表现，将识图、画图的表现性任务一以贯之；要紧扣第一、二学段“初步形成几何直观”、第三学段“形成几何直观”的学段目标，培养和发展学生的几何直观核心素养。