改进的降雨入渗模型及其在滑坡防治中的应用

雷光宇，潘璐

（长沙理工大学 土木工程学院，湖南 长沙 410114）

降雨是诱发滑坡地质灾害最常见的因素之一。张江伟等人［1］分析了滑坡灾害产生的原因及特征，研究表明：降雨是影响滑坡稳定性的主要外部因素。在长时间小雨或短时暴雨后，斜坡会有大量的雨水渗入，增加了岩石与土壤的重量，抗剪强度变弱［2］。由于地下水的溶解作用，岩石与土壤中的可溶物逐渐被溶解，坡体内岩石与土壤的组成及结构发生变化导致坡体滑坡。在滑坡防治工程中，由于非饱和土入渗过程的复杂性，在分析暴雨对滑坡稳定性的影响时，一般不考虑暴雨入渗的过程，即不论降雨强度大小、降雨持时长短和滑体厚度大小，均将滑体土视为全面饱和，再简化计算［3］。在《滑坡防治工程设计与施工技术规范》（DZ/T 0219-2006）［4］中，明确了暴雨工况为校核工况，但未明确暴雨作用的取值标准和暴雨作用效应的计算方法，所以只能保守地加以简化处理。其结果是对规模较大的厚层土质滑坡的计算过于保守，造成不必要的投资浪费。

基于非饱和土入渗理论的滑坡稳定性分析方法是研究降雨诱发滑坡机理的最有效方法［5］。传统的Green-Ampt入渗模型［6］和Philip入渗模型［7］概念清晰、形式简单，得到了国内外学者的广泛认同。Green-Ampt入渗模型虽然有入渗率、累计入渗量及湿润锋深度的解析表达式，但无法表达成时间的显函数，不便于在实际工程中应用。Philip入渗模型的入渗率和累计入渗量的解析表达式，虽然能够表达成时间的显函数，但模型本身却无法单独用来计算饱和湿润锋的深度，也就无法用于计算暴雨工况下的滑坡稳定性。朱昊宇等人［8］对Green-Ampt模型的国内外研究现状进行了总结。BOUWER等人［9-11］对Green-Ampt和Philip入渗模型的特征参数进行了对比分析和研究，构建了两个模型特征参数间的理论关系。作者拟运用两个模型的特征参数间的理论关系，改进这两个模型，并用改进的Philip入渗模型计算了重庆市某土质滑坡在50 a一遇且连续3 d最大降雨作用下的滑体土饱和湿润锋深度、滑坡稳定系数和滑坡推力，并与传统设计计算方法相比。

1 传统降雨入渗理论模型

1.1 Green-Ampt模型

1911年，Green和Ampt对入渗过程进行了归纳和假设，以研究薄层积水条件下最初干燥土壤的入渗情况。其基本假设为：在入渗过程中，被入渗的土壤剖面上有一条清晰的水平湿润锋面，将土壤剖面分成上下两个完全不同的区域，分别为湿润区和未湿润区。同时，土壤含水量在湿润区达到饱和含水率θs，而未湿润区则为初始含水率θ0。由此，可得到入渗率i、累积入渗量I和湿润锋面深度Zf与时间t的函数关系式为：

式中：Ks为饱和导水率，m/s；H0为地表的积水深度，m；Sf为湿润锋面处的土壤平均水吸力，m。

因为i与Zf均为时间t的函数，基于模型基本假设：通过水量均衡的原理可得到累计入渗量I与湿润锋面深度Zf间的函数关系式：

又由于I是在t时间内地表水以入渗速率i入渗到土壤内的总水量，则：

只要确定了土壤的水分特征参数和表面积水深度，根据式（2）、（4）和（6），即可求得任意时刻的湿润锋面深度Zf、累积入渗量I和入渗率i。因为式（6）的反函数无法求出，所以湿润锋深度不能表达成以时间t为自变量的显函数形式Zf=Zf(t)。因此，计算时只能根据湿润锋面向下浸润的深度，按一定的步长∆Zf列表计算其近似值。根据式（4）计算入渗率i时，需用设定的步距∆Zf与前后两步计算所得的时间差Δt的比值来近似代替导数值dZfdt。所以Green-Ampt模型形式虽然简单，物理概念也很清晰，但计算较烦琐，不适用于工程应用。

1.2 Philip模型

1957年，J.R.PHILIP基于一维垂直入渗的Richads方程，用幂级数求解偏微分方程的方法，推导出入渗率i和累计入渗量I以时间t为自变量的幂级数关系式，对其前两项的近似值进行选取，其表达式为：

式中：A为常数，m/s；S为土壤吸渗率，m/s0.5；t为入渗时间，s。

由式（7）、（8）可知，Philip模型形式更加简单，计算表达式也是时间t的显函数形式，但没有湿润锋深度Zf的计算表达式，无法单独用来计算湿润锋深度。计算湿润锋深度需借助Green-Ampt模型，同样不适用于工程应用。

1.3 两模型特征参数间的理论关系

在Green-Ampt模型的入渗公式（2）、（4）和（6）中，Ks和Sf是重要的两个特征参数，但测定难度较大。而在Philip模型的入渗公式（7）、（8）中有S、A两个特征参数。两个模型特征参数之间的关系，国内外研究者已做过大量探索。其中，BOUWER［9］早在1964年就提出了概化湿润锋面处的水吸力Sf与土壤饱和导水率Ks的函数关系式，表达式为：

式中：K()hc为土壤非饱和导水率，m/s；hc0为土壤初始含水率所对应的基质吸力，m；hcs为土壤饱和含水率所对应的基质吸力，m；hc为土体的基质吸力。

PHILIP［12］在1985年提出了大毛管特征长度的概念，为研究土壤非饱和导水率和扩散率提供了基础。其研究发现，大毛管特征长度L与土壤饱和导水率Ks也存在与式（9）相同的关系，即：

由式（9）、（10）可知，大毛管特征长度L就等于概化湿润峰面处的水吸力Sf。

WHITE［10］在1987年的时候提出的L与S间的关系式为：

2002年，王全九等［11］人通过对比研究认为，Green-Ampt入渗模型和Philip入渗模型描述的都是一维垂直入渗问题，在入渗过程的任一时刻，两个模型对应的入渗率i和累积入渗量I近似相等，这不仅可以推出与式（13）完全相同的两模型间特征参数存在的特定关系，而且还推出PHILIP入渗模型中的参数A与Green-Ampt入渗模型中的饱和导水率Ks相等，即：

式（9）～（14）建立了两个入渗模型中的4个特征参数S、A、Sf、Ks之间的关系式。

2 降雨入渗模型的改进研究

由于Green-Ampt入渗模型各计算式无法表达成以时间t为自变量的显函数，不适用于工程应用，而Philip模型本身没有湿润锋深度的计算式，要计算湿润锋深度，还得依赖Green-Ampt模型，因此，在工程中应用同样不便。基于这两个模型各有优势，两个模型的特征参数间又存在特定关系，若将两个模型加以融合，形成一个即能单独用来计算入渗问题的全部计算量（i、Zf、I），又能将这些计算量用时间t的显函数形式表达。因此，本研究提出了改进方法，得到了两种改进的降雨入渗模型。

2.1 Green-Ampt入渗模型的改进形式

将两个模型特征参数间的关系式（13）改写成：

将Green-Ampt模型入渗公式（2）改写成为式（16）：

将A=Ks代入Philip模型入渗公式（8），得到累计入渗量I后，再代入式（15）的分子，再将式（16）代入式（15）的分母，有：

式（19）是改进的Green-Ampt入渗模型湿润锋深度Zf的计算式，由式（19）可知，Zf是时间t的显函数形式。

将式（19）代入到Green-Ampt模型的入渗公式（1），得到改进后的入渗率i的计算式：

再将式（20）代入式（3）并对两边积分，可得改进的Green-Ampt入渗模型累计入渗量I的计算式：

式（19）～（21）为本研究提出的改进Green-Ampt入渗模型的3个计算表达式，与原模型相比，各计算表达式都已变成时间t的显函数形式。

2.2 Philip模型的改进形式

将改进的Green-Ampt入渗模型湿润锋深度计算式（19）中的特征参数Sf改用Philip模型中的特征参数S来表示，即将式（12）代入（19），得到：

式（22）～（24）为本研究提出的改进Philip入渗模型的计算表达式，与原模型相比，不仅可以计算任意时刻的入渗率i和累计入渗量I，而且还可计算出湿润锋深度Zf。

3 工程应用

定量分析暴雨工况下土质滑坡的稳定性，关键是定量计算出雨水入渗到滑体后在滑体内形成的饱和层厚度，即湿润锋深度，然后用计算出来的湿润锋深度进行滑坡稳定性分析。由于滑坡坡面存在一定坡度，与一维降雨入渗边界条件存在一定差异。因此，用改进的降雨入渗模型求得的湿润锋深度是近似值，误差与坡面的坡度相关，但计算结果偏安全。本研究以重庆市某土质滑坡为例，用改进的Green-Ampt模型和Philip模型计算分析在50a一遇且连续3 d最大降雨作用下滑坡稳定性。

根据滑坡勘察报告，该滑坡为一中型土质滑坡，防治工程级别为Ⅱ级，滑体土为粉质黏土，天然重度18.1 kN/m3，饱和重度18.6 kN/m3，Ks=8.2×10-6m/s，θs=0.398 7，θ0=0.353 1。滑带土为软塑状砂质黏土，黏聚力c=19.5 kPa，内摩擦角φ=16.5°。滑床为强风化至中风化状砂质泥岩，滑面位于岩土交界面，滑坡主剖面如图1所示。滑坡区50 a最大连续3 d降雨量249 mm。因勘查报告没有实测滑体土的水分特征曲线和渗透系数曲线，本研究采用文献［13］的三峡库区广泛分布的壤黏土的水分特性曲线和扩散率曲线，计算得到Sf=0.004 1 m，并根据式（13）计算得到S=5.537 3×10-5m/s0.5。

图1 滑坡主剖面Fig.1 The main section of the landslide

3.1 确定降雨模式

降雨这种自然现象具有极大的随机性，难以确切地把降雨及其入渗的过程进行描述，一般可按瞬时降雨模式和稳定降雨模式两种情况考虑。在滑坡稳定性分析中，可结合滑坡防治级别，根据规范规定的暴雨重现期，按稳定降雨模式分析暴雨对滑坡稳定性的影响，据此能有效地简化非常复杂的随机过程。假定降雨持续时间为tf（s），一次连续降雨量是Q（mm），则稳定降雨模式下的降雨强度可表示为R=Q tf（mm/s）。本例中滑坡防治工程级别为Ⅱ级，荷载组合为自重+暴雨+地下水，即工况Ⅲ（校核工况），按50 a一遇暴雨频率，用传递系数法进行滑坡稳定性分析和推力计算［14］。

3.2 用改进的Philip模型计算滑坡的湿润锋深度

由式（23）可知，Philip入渗模型假定降雨开始时土壤入渗率为无限大，随着时间推移，土壤入渗率开始下降，直至达到土壤饱和渗透率Ks。在实际降雨中，其强度都是有限的，因此，在降雨的开始阶段，地表的入渗率是由降雨强度控制的，随着降雨持续进展，地表开始出现积水之后，地表的入渗率才转由地表土壤的入渗能力控制。因此整个降雨入渗过程分可为土壤入渗能力控制和降雨强度控制两个阶段，两个阶段的分界点便是地面开始出现积水的时间tp，称为积水点。如图2所示，当降雨强度R大于入土壤饱和渗透率Ks，土体表面就一定存在积水点，又称理论积水点［15］。理论积水点时间tpl可由改进的Philip模型入渗率公式（23）求解得：

图2 实际降雨入渗模型Fig.2 Actual rainfall infiltration model

由图2可以看出，到达理论积水点时，对应的理论累积入渗量（即区域OADFCO的面积）比实际累计入渗量（区域OADCO面积）要大，即实际上地面并没有积水。只有理论累积入渗量等于实际入渗水量时，地面才会开始积水。故实际积水点时间tp可由式（26）确定。

只要将理论入渗曲线沿时间轴向右平移tc，即可得到如图2所示的实际入渗曲线。因此，当R>Ks时，改进的Philip入渗模型的表达式应改写为：

当R≤Ks时，积水点不存在，入渗率由降雨强度决定，改进的Philip入渗模型的表达式为：

本例中50 a一遇连续3 d降雨量249 mm，假定5种降雨持时，按式（27）～（34）分别计算相应的湿润锋深度见表1。

表1 连续3 d最大降雨量按不同持时计算的湿润锋深度Table 1 The calculated depth of the wet front at different durations of the maximum rainfall for three consecutive days

3.3 暴雨工况下滑坡的稳定性计算

暴雨工况下滑坡的稳定性计算方法在现行规范中没有做出具体规定，由设计人员依据经验处理。工程中普遍的做法是：不论暴雨强度大小和滑体土厚薄，将滑体土一律按饱和土状态处理。这样处理明显偏于保守，尤其是对一些厚度较大的滑体，会造成经济上不必要的浪费。用本研究提出的改进降雨入渗模型定量计算暴雨工况下滑坡的稳定性，可有效避免经验方法的不足。用改进的Philip入渗模型计算出滑坡的饱和湿润锋深度后，先在计算剖面上标出与坡面线平行且竖直高度等于湿润锋深度的湿润锋线，然后竖向划分条块后从上至下逐块编号。计算时，湿润锋线与坡面线之间的滑体取饱和重度，湿润锋线与地下水位线之间的滑体取天然重度，地下水位线以下的滑体在计算下滑力时取饱和重度，计算抗滑力时取浮重度。由于雨水入渗以竖直方向为主，因而可忽略渗透压力对滑坡稳定性的影响，但当湿润锋深度大于或等于地下水埋深时，入渗雨水按地下水对待。以滑坡主剖面为例如图1所示，分别用传统的经验方法和改进的降雨入渗模型方法计算该滑坡的稳定性，计算结果表明：用传统的经验方法考虑滑体土全面饱和时，其稳定系数为0.73，滑坡推力为582 kN/m，用改进的降雨入渗模型方法考虑5.461 m饱和入渗厚度时，其稳定系数为0.99，滑坡推力为189 kN/m。用本研究方法计算的稳定系数比用传统经验方法计算的稳定系数明显提高，同时滑坡推力显著减小，依体计算结果进行支挡结构设计，可避免不必要的材料浪费，节约工程造价。但本研究提出的改进的降雨入渗模型计算滑坡稳定性的方法，仍然是一个近似的方法，还有诸多问题有待今后进一步研究和改进，特别是计算结果的安全可靠性还需要经过更多实际工程的检验。

4 结论

1）基于Green-Ampt入渗模型和Philip入渗模型各参数间存在的特定联系，经过融合，提出了两种入渗模型的改进形式。与传统模型相比，改进的入渗模型不仅形式更加统一，内容更加全面，而且各计算表达式均可表达成以时间t为自变量的显函数形式，能快速有效地确定地表入渗过程中任意时刻的入渗速率、累积入渗量和湿润锋位置深度，更方便工程应用。

2）将改进的降雨入渗模型近似应用于暴雨工况下土质滑坡稳定性分析和推力计算，以重庆市某土质滑坡为例，计算了滑坡体在50 a一遇且连续3 d最大降雨作用下的饱和湿润锋深度、滑坡稳定系数及滑坡推力，计算表明，与按滑体土全面饱和的传统经验方法相比，滑坡稳定系数明显提高，同时滑坡推力显著减小，既保证了滑坡安全，又降低了工程造价。

3）用改进的降雨入渗模型定量计算滑坡的稳定性的方法，其出发点是要合理确定滑体土饱和入渗深度，在确保滑坡防治工程安全的前提下尽量降低工程造价，避免采用传统经验方法过于保守造成不必要浪费。但该方法仍是一个近似方法，还有诸多问题有待今后进一步研究和改进，特别是计算方法的安全可靠性问题，还需要经过更多实际工程的检验。