伪酉矩阵的分类

李诗雨, 陈惠香

(扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州 225002)

1 引 言

2 预备知识

对于正整数n，n×n复数矩阵全体表示为Mn().对于矩阵A=(αjk)∈Mn()，令阶单位矩阵记作In，或简记I.对于正整数1≤j

设A,B∈Mn().如果存在可逆矩阵Λ∈Mn()使得或等价地，则称A与B有关系～，记作A～B.显然，～是一个等价关系.

引理1[7]设A,B∈Mn().若A是伪酉矩阵，A～B，则B也是伪酉矩阵.

引理2[8]设A∈M2()是伪酉矩阵，则A～I.

3 伪酉矩阵的分类

引理3设n>2，A=(αjk)∈Mn()是伪酉矩阵.若α1n≠0，则

其中A1，A3是(n-2)×1矩阵，A2∈Mn-2().

且

推论1设n>2，A=(αjk)∈Mn()是伪酉矩阵.若α1n=0但αn1≠0，则

其中A1，A3是(n-2)×1矩阵，A2∈Mn-2().

(1)

(2)

引理5设A=(αjk)∈Mn()是伪酉矩阵且n>2，则其中A1∈Mn-2()，A2∈M2()或A1∈M1()，A2∈Mn-1().

证若α1n≠0，则由引理3和引理4知，

其中B1∈Mn-2().取则所以

其中B2∈Mn-2().再由上面的证明知结论成立.若α12=…=α1n=αn1=0，但存在2≤j≤n-1使得αj1≠0，取Λ1=Pn(j,n)，则且的(n,1)-元素为αj1≠0，再由上面的证明知结论成立.若α1j=αj1=0，2≤j≤n，则

结论仍然成立.

定理1设A∈Mn()是伪酉矩阵，则A～I.

令

则Λ可逆，且

4 结 论

本文给出了伪酉矩阵的关于～的划分，在证明过程中利用了伪酉矩阵的基本性质.主要旨在一定程度上简化伪酉矩阵相关问题，以便在实际研究中选取合适的等价形式.

致谢作者十分感谢提供启发的相关文献以及提出宝贵意见的审稿专家.