考题突破探究，方法总结强化

［摘  要］ 圆锥曲线最值问题是高中数学的典型题，探索问题解法，结合实例进行拓展强化十分必要. 文章以2022年高考浙江卷的“圆锥曲线最值压轴题”为例，开展过程探究，总结破题方法，结合实例解析强化，并结合教学实践提出几点建议.

［关键词］ 圆锥曲线；最值；函数；不等式；几何

圆锥曲线最值问题在高考中十分常见，题设较为灵活，通常以曲线与直线相交为背景构建最值问题，如参数最值、线段长最值和面积最值等. 具体求解时需要结合题设条件探寻关系，合理构建思路，简捷运算推导最值.

考题再现，考点定位

1. 试题呈现

（2022年高考浙江卷第21题）如图1，已知椭圆+y2=1. 设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点，且点Q0

，在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y=-x+3于C，D两点.

（1）求点P到椭圆上点的距离的最大值；

（2）求

CD

的最小值.

2. 考点定位

本题为圆锥曲线综合题，以椭圆与直线相交为背景，题设两问分别求距离和线段最值，属于圆锥曲线最值问题. 问题突破需要厘清两点，一是椭圆与直线的位置关系，二是图像中的动静要素，包括点、直线和曲线.

点与线段的关系：点Q在y轴上，为线段OP的中点.

直线与直线的位置关系：①直线PA与PB有公共点P；②直线PA，PB分别交直线y=-x+3于C，D两点.

直线与椭圆的位置关系：①动直线AB与椭圆相交于点A和B（异于点P）；②直线PA和PB与椭圆分别相交于点P，A和点P，B；③定直线y=-x+3与椭圆没有交点，为相离关系.

思路突破，分步解析

题设两问均为最值问题，分别求P到椭圆上点的距离的最大值和

CD

的最小值，实则均求线段最值，求解时可采用数形结合法，结合题设条件构建求解思路. 整体分两步构建：第一步，探寻题设条件，将线段最值转化为关于参数的最值；第二步，结合参数取值确定线段最值. 下面采用分步探究的方式具体分析.

1. 突破第（1）问

第一步，设动点，构建距离.

已知椭圆+y2=1，可设M（2cosθ，sinθ）是椭圆上的任意一点，已知点P（0，1），由两点之间的距离公式可得

PM

2=12cos2θ+（1-sinθ）2=13-11sin2θ-2sinθ.

第二步，整合分析，确定最值.

对上述式子进行变形，可得

PM

2= -11sinθ

+2+≤，分析可知，当且仅当sinθ=-时取等号，所以

PM

的最大值为.

2. 突破第（2）问

第一步，设定直线，联立方程.

直线AB与椭圆的两个交点A（x，y）和B（x，y），直线AB的方程为y=kx+，与椭圆方程+y2=1联立并消除y，整理得k2

+x2+kx-=0，可得x+x= -，xx=-.

第二步，探究點坐标，求解线段长.

结合点P和A的坐标，可知直线PA的方程为y=x+1，因为直线PA与直线y=-x+3相交于点C，所以x==，同理可得x==，则

CD

=

x

-x=

-.

第三步，整合式子，探求最值.

整理上式，可得

CD

=2·

=·= ·≥，分析可知，当且仅当k=时等号成立，所以CD的最小值为.

方法总结，探究拓展

1. 方法总结

上述为典型的圆锥曲线最值问题的解答思路，主要探求线段最值，其中第（1）问利用椭圆的参数方程设定关键点并构建线段函数，再利用二次函数的性质求最值；第（2）问则采用圆锥曲线常见的破解思路，联立方程推导参数关系，将线段长表示为关于斜率参数的式子，后续使用柯西不等式求最值. 虽然两问求最值的方法有较大差异，但均为圆锥曲线求最值常用的代数法.

实际上，求解圆锥曲线最值问题，常用的方法有两种，一是几何法，二是代数法. 两种方法也是基于圆锥曲线“数”“形”属性所构建的. 几何法，即利用曲线的定义、几何性质，以及平面几何中的定理、性质进行思路构建的方法，侧重圆锥曲线的特性分析. 而代数法，则侧重将最值的几何量或代数表达式转化为某个（某些）变量的函数，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调性法以及基本不等式法等求解，代数法的“数”属性鲜明.

2. 拓展探究

圆锥曲线最值问题的破解方法主要有上述两种，但是求解时需要根据具体情形选用具体方法.

示例1 几何法求面积最值.

已知椭圆C：+=1（a>b>0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点N为椭圆上的任意一点，求△AMN面积的最大值.

分析：本题第（2）问探究三角形面积的最大值，需要先构建三角形面积模型再求最值. 对于△AMN，其中点A和M为定点，点N为椭圆上的动点，则可以AM为底、N为顶点构建三角形面积模型，后续只需求点N到直线AM的最大距离即可.

过程与解：（1）由题意可知直线AM的方程为y-3=（x-2），即x-2y=-4，当y=0时，x=-4，所以a=4. 点M为椭圆上的一点，代入椭圆方程解得b2=12. 所以椭圆C的方程为+=1.

（2）可视△AMN以AM为底，N为顶点，则其面积可表示为S=AM·d（d表示点N到直线AM的距离）. 设与直线AM平行的直线l的方程为x-2y=m，如图2所示，当直线l与椭圆相切，且与椭圆的切点为N时，直线l到直线AM的距离最远，此时△AMN的面积可取得最大值.

x-2y=m，整理得16y2+12my+3m2-48=0，所以Δ=144m2-4×16（3m2-48）=0，即m2=64，解得m=±8，即与直线AM最远的直线的方程为x-2y=8. 点N到直线AM的距离为两平行线之间的距离，即d==，由两点之间的距离公式可得AM=3，所以△AMN面积的最大值为S=AM·d=×3×=18.

评析：上述第（2）问求解△AMN面积最大值采用的是几何法. 首先构建三角形面积模型，将面积问题转化为距离问题，即求椭圆上动点N到定直线AM的最大距离；其次通过平行线间距离的分析，确定直线与椭圆相切的切点为所求的动点N，从而推导出△AMN面积的最大值.

示例2 函數法求面积最值.

（2021年高考全国乙卷理数第21题）已知抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.

（1）求p的值；

（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.

分析：本题第（2）问为三角形面积最值问题，同样需要构建三角形面积模型，但题目中三角形三个顶点的位置均不确定，因此需要设定坐标，将三角形面积转化为关于参数的函数，通过分析函数性质来确定最值.

过程与解：（1）由题意可知M（0，-4），F

0，

，☉M的半径r=1，所以MF-r=4，即+4-1=4，解得p=2.

（2）可视△PAB以AB为底，P为顶点，则其面积可表示为S=AB·d（d表示点P到直线AB的距离）.

由第（1）问可知抛物线的方程为x2=4y，由题意可知直线AB的斜率存在，设A（x，y）和B（x，y），直线AB的方程为y=kx+b，联立x2=4y，

y=kx+b，整理得x2-4kx-4b=0，则Δ=16k2+16b>0，由韦达定理可得x+x=4k，xx=-4b，则

AB

=

x

-x=·=4·.

因为x2=4y，即y=，所以y′=，所以抛物线在点A处的切线的斜率为，所以在点A处的切线方程为y=（x-x），即y=x-，同理可得抛物线在点B处的切线方程为y=x-.

联立

y=x-

，

y=x-

，则

x==2k，

y==-b，即点P（2k，-b）. 由于点P在☉M上，则4k2+（4-b）2=1①，且-1≤2k≤1，-1≤4-b≤1，所以-≤k≤，3≤b≤5，满足要求.

点P到直线AB的距离d=，故△PAB的面积S=AB·d=4. 由①式可得k2=，令t=k2+b，则t=，且3≤b≤5. 因为t=在［3，5］上单调递增，所以当b=5时，t取得最大值5，此时k=0. 所以△PAB面积的最大值为20.

评析：本题第（2）问探究三角形面积最大值，采用的是函数法，即将三角形面积转化为关于参数的函数，然后通过分析函数性质确定面积最大值. 在函数分析时结合了局部构造、导数分析等方法，充分简化了解析过程.

解后反思，教学建议

通过上述对圆锥曲线最值问题的探究，总结该类问题的破解策略，并结合实例进行拓展强化，其探究思路对于教学备考有着参考价值.

1. 考点定位分析，分步解析突破

圆锥曲线最值问题为高考典型题，上述按照“考点定位→分步解析”的策略进行了示例突破，“考点定位”中梳理条件，明晰结构；“分步解析”中系统呈现了问题的解析过程、破解思路. 这种探究方式可全方位地解析考题，明确类型问题的破解策略. 教学中建议结合实例进行过程探究，让学生关注考题结构、考查重点，通过过程分析掌握问题的破题思路. 教学时要注意设问引导，让学生充分思考，体验过程.

2. 关注破题思路，总结解题策略

“反思总结”是解题教学探究的关键一环，在该环节中可以帮助学生从“解题层面”上升到“思路方法应用层面”，从而形成类型问题的破解策略. 教学中教师可从以下三方面进行总结引导：一是引导学生关注考题的结构特征，深刻理解问题本质，包括考题的特殊条件、位置关系等；二是引导学生反思解题的思路构建，思考类型问题的其他破解方法；三是引导学生反思方法的本质内容，如上述代数法的代数视角和几何法的几何视角.

3. 拓展探究强化，提升综合能力

“拓展强化”有助于学生深刻理解问题及方法，从而完成解题探究的内化吸收，该环节中需要注意两点：一是注意方法的解题应用，让学生感受解题过程；二是注意全面探索方法，即使用具体实例来探索解法. 实际教学中可以采用“变式探究”和“拓展探究”两种方式，对类型问题进行合理变式，结合对应方法进行破解，同时开展方法拓展，深入解读方法，将解法拓展到其他问题的解答中. 教学时可合理渗透数学思想，提升学生的综合能力.

写在最后

在圆锥曲线最值问题的教学探究中，教师要充分调动学生的思维，让学生参与过程，充分思考，形成自我的解题认识. 教师要做好教学引导，引导学生从“解题过程”中提取“方法策略”，从“方法思路”中感悟“数学思想”，提升学生的综合素养.

作者简介：肖辉（1981—），本科学历，中小学一级教师，从事中学数学教育教学工作.