Medium-clean环和Medium-*-clean环

陶丹丹，殷晓斌

（安徽师范大学 数学与统计学院，安徽 芜湖 241003）

引言

本文中的环都是指含单位元的结合环。设R为环，Id(R)、N(R)、U(R)、C(R)和J(R)分别表示R的幂等元之集、幂零元之集、可逆元之集、中心元之集和R的Jacobson根。Mn(R)表示环R上的全体n阶方阵环，Tn(R)表示R上的n阶上三角矩阵环。记显 然J(R)⊆(R)。

1977年，Nicholson［1］首次提出clean的概念。称R为clean环，若对任意a∈R，存在e∈Id(R)，u∈U(R)，使得a=e+u。1999年，Nicholson［2］引入强clean环的概 念。称R为强clean环，若对任意a∈R，存在e∈Id(R)，u∈U(R)，使得a=e+u且eu=ue。2011年，Chen［3］提出了强J-clean环的概念。称R为强J-clean环，若R中任意元素都是幂等元和Jacobson根的和且二者可交换。2015年，董李青［4］引入了强-clean环的概念。称R为强-clean环，若R中任意元素都是幂等元和(R)中的元素的和且二者可交换。

称环R是*-环［5］，若存在映射*：R→R，是对任意的x,y∈R，均有

称*-环R中的元素p是投射元，若p2=p=p*，记P(R)为投射元之集。2010年，Vas引入（强）*-clean环［6］的概念。称*-环R中的元素是（强）*-clean的，如果它能表示成投射元和可逆元的和（且二者可交换）；称R是（强）*-clean环，若R中任意元素都是（强）*-clean的。显然，*-clean环是clean的，强*-clean环是强clean的。2019年，Chen［7］引入Medium*-clean环的概念。称R为Medium*-clean环，若*-环R中任意元素都可以写成投射元和Jacobson根的和或差且二者可交换。

受上述的启发，考虑到Jacobson根在环论研究中的重要性，本文引入Medium-clean环和Medium*-clean环的概念。第一部分，引入Medium-clean元和Medium-clean环的概念，并研究了Medium元和Medium环的相关性质及Medium环与clean环、Medium诣零-clean环、强环和quasipolar环之间的联系。第二部分，引入Medium-*-clean元和Medium*-clean环的概念，并探讨了Medium*-clean元和的Medium*-clean环的性质，证明了Medium-clean环的幂级数环和平凡扩张仍是Medium*-clean环。此外，还证明了Medium*-clean环的分解是唯一的。

1 Medium -clean环

定义1.1称a∈R是Medium-clean元，若存在e∈Id(R)，w∈(R)，使得a=e+w或-e+w，且ew=we。称R是Medium环，若R中任意元素都是Medium的。

显然，强环是Medium环。下面的例子说明反之不成立。

例1.2设R是整数环Z模3的剩余类环Z3，则R的幂等元只有0和1且(R)={0}。易证R是Medium环。由于2不是强元，因此Z3不是强环。

引理1.3设R为环，则(R)⋂C(R)=J(R)。

证明：取a∈(R)⋂C(R)，则a2∈J(R)。任意r∈R，则(ra)2∈J(R)。又因为1-(ra)2=(1+ra)(1-ra)，于是1-ra可逆，故a∈J(R)。

引理1.4若a,b∈(R)且a,b可交换，则(a-b)3∈J(R)。

证明：因为a,b∈(R)且a,b可交换，所以(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3∈J(R)。

命题1.5若环R是Medium-clean环，则6∈J(R)。

证明：设R是Medium-clean环，则2=e+w或-e+w，其中e∈Id(R)，w∈(R)且ew=we。若2=e+w且ew=we，则1-e=w-1既是幂等元又是可逆元，因此e=0，2=w∈(R)，由引理1.3知2∈J(R)，从而6∈J(R)。若2=-e+w且ew=we，则1+e=w-1。由(1+e)2=(w-1)2可知3e=w2-2w∈R)。故6=-3e+3w=2w-w2+3w=5w-w2∈(R)，由引理1.3知6∈J(R)。命题1.6若a∈R是MediumJ12-clean元，则

（1）a-a2∈(R)或a+a2∈(R)；

（2）a-a3∈>(R)；

（3）uau-1是Medium-clean元，其中u∈U(R)。

证明：因为a∈R是Medium-clean元，则存在e∈Id(R),w∈(R),使得a=e+w或-e+w，且ew=we。

（1）若a=e+w且ew=we，则a-a2=(e+w)-(e+w)2=e+w-e-2ew-w2=w-2ew-w2=(1-2e-w)w∈R)。若a=-e+w且ew=we，则a+a2=-e+w+(-e+w)2=-e+w+e-2ew+w2=(1-2e+w)w∈(R)。

（2）若a=e+w且ew=we，则a-a3=e+w-(e+w)3=e+w-e-3ew-3ew2-w3=(1-3e-3ew-

1w2)w∈J2(R)。若a=-e+w且ew=we，则a-a3=-e+w-(-e+w)3=-e+w+e-3ew+3ew2-w3=(1-3e+3ew-w2)w∈(R)。

（3）于是uau-1=ueu-1+uwu-1或uau-1=-ueu-1+uwu-1，且ew=we。易验证(ueu-1)2=ueu-1∈Id(R)，uwu-1∈(R)且ueu-1·uwu-1=uwu-1·ueu-1。故uau-1是Mediumlean元。

根据文献［7］，我们可类似的给出MediumJ-clean元的定义。称环R中的元素a是MediumJ-clean的，若存在e∈Id(R)和w∈J(R)，使得a=e+w或-e+w，且ew=we。

定理1.7设R为环，a,b∈R，若ab是MediumJ-clean元，则ab与ba均是Medium元。

证明：设ab是MediumJ-clean元，有ab=e+w或ab=-e+w，其中e∈Id(R)，w∈(R)且ew=we。显然ab是Medium-clean元。若ab=e+w且ew=we。设ba=f+w'，令f=be(1+w)-1a，则w'=ba-f=b[1-e(1+w-1)]a。注意f2=[be(1+w)-1a]2=be(1+w)-1abe(1+w)-1a=be(1+w)-1a=f，故f∈Id(R)。又因为

故w'∈(R)。易证fw'=w'f。若ab=-e+w且ew=we。设ba=-f'+w″，令f'=be(-1+w)-1a，w″=ba+f'，同理可证f'∈Id(R)，w″∈(R)且f'w″=w″f'。综上，ba是Medium元。

命题1.8若R是Medium环，则N(R)⊆(R)。

证明：任意x∈N(R)，则存在正整数n，使得xn=0。又x=e+w或-e+w，其中e∈Id(R)，w∈(R)且ew=we。若x=e+w，则从而e=0，x=w∈J12(R)。若x=-e+w，则e=en+1=(w-x)n+1∈J(R)。从而e=0，x=w∈(R)。

引理1.9设R为环，则(R)±1⊆U(R)。

证明：设w∈(R)，由(w-1)(w+1)=w2-1∈U(R)可知w-1，w+1∈U(R)。

定理1.10 Medium环是强clean环，从而是clean环。

证明：设环R是Medium环，则对于任意a∈R，存在e∈Id(R)，w∈(R)，使得a=e+w或-e+w，且ew=we。若a=e+w，则a=(1-e)+(2e-1+w)。显然1-e是幂等元，又因为(2e-1)2=1，所以2e-1+w∈U(R)且(1-e)(2e-1+w)=(2e-1+w)(1-e)。若a=-e+w，则a=(1-e)+(w-1)。由引理1.9可知w-1∈U(R)，易知(1-e)(w-1)=(w-1)(1-e)。故R是强clean环。

下面的例子说明定理1.10的逆不成立。

例1.11设R是整数环Z模5的剩余类环Z5，显然R是一个clean环。易知R的幂等元只有0和1，)={0}。易证2，3不是Medium元，因此Z5不是Medium环。

2017年，Danchev在文［8］中引入了一种特殊环，为叙述方便，我们称之为Mediumclean环。称R为Mediumclean环［8］，若对任意a∈R，都存在u∈U(R)，e∈Id(R)，使得a=e+u或-e+u，且eu=ue。

定理1.12设R为环，则R是Medium环当且仅当R是Mediumclean环且U(R)=((R)+1)⋃((R)-1)。

定理1.13设R为环，则下列条件等价：

（1）R是Medium环；1

（2）R是Mediumclean环且对于任意a∈R，有a-a2∈(R)或a+a2∈J2(R)。

由定义直接得到

引理1.14 Medium环的同态像仍是Medium环。

命题1.15设I是R的一个理想且I⊆J(R)，则R是Medium环当且仅当是Medium环且幂等元模I可提升。

2017年，Chen在文［10］中引入了一种特殊环，为叙述方便，我们称之为Medium诣零-clean环。称R为Medium诣零-clean环［10］，是指对于任意a∈R，都存在e∈Id(R)，n∈N(R)，使得a=e+n或-e+n，且en=ne。

定义1.16称R是Medium环，若对任意a∈R，都存在e∈Id(R)，x∈(R)，使得a=e+x或-e+x，且ex=xe。

引理1.17设R是环，则是Medium环当且仅当是Medium环。

根据命题1.15及引理1.17，可得

定理1.18设R是环，则下列条件等价：

（1）R是Medium环；

（2）R J(R)是Medium环且幂等元模J(R)可提升；

证明：（1）⇔（2）由命题1.15可得。

若对于任意a∈R，a或-a是幂等元，则环R被称为弱布尔环［10］。

命题1.20设R为一个环，则下列条件等价：

（1）R是弱布尔环；

（2）R是Medium J12-clean环且J12(R)=0；

（3）R是Medium J12-clean环且N(R)=J(R)=0。

证明：（1）⇔（2）显然成立。

设a∈R，记a的交换子和双重交换子［11］分别为：

如果没有歧义，我们可直接用comm(a)和comm2(a)来表示交换子和双重交换子。称元素a∈R是拟幂零元［12］，如果对任意x∈comm(a)均有1+ax∈U(R)。R的所有拟幂零元之集记为Rqnil，即Rqnil={a|1+ax∈U(R),任意x∈commR(a)}。显然，⊆Rqnil。称环R是quasipolar环［11］，若对任意a∈R，均存在一个幂等元p∈comm2(a)，使得a+p∈U(R)且ap∈Rqnil。

命题1.21若R是quasipolar环且U(R)⊆(1+(R))⋂(-1+(R))，则R是Mediumlean环。

证明：因为R是quasipolar环，则对任意a=p+u∈R，其中p2=p∈comm2(a)，u∈U(R)且a+p∈U(R)，ap∈Rqnil。显然，2p+u∈U(R)，所以2p+u-1∈(R)，因此a=(1-p)+(2p+u-1)和a=-(1-p)+(u+1)是Mediumclean元。故R是Mediumclean环。

引理1.23（［4］）设R是一个局部环，则J(Tn(R))=(Tn(R))。

定理1.24设R是一个局部环，则Tn(R)是Medium环当且仅当Tn(R)是MediumJ-clean环。

定理1.25设R是一个局部环，则A∈T2(R)是Medium元当且仅当A∈(T2(R))或I2+A∈2(R))或I2-A∈(T2(R))或A相似于矩阵其中w1，w2∈J(R)。

或

或

即A相似于矩阵其中w1,w2∈J(R)。

2 Medium -*-clean环

定义2.1设R是*-环，a∈R。称a是Medium*-clean元，若存在p∈P(R)，w∈(R)，使得a=p+w或-p+w，且pw=wp。元素a的和式分解称为Medium*-clean分解。称*-环R是Medium*-clean环，若R中每个元素都是Medium-clean元。

注：Medium*-clean环中每一个元素的分解都是唯一的，命题2.19即证。

显然，具有Medium*-clean分解的元素一定有Medium-*-clean分解。但反之未必成立。

例2.2考虑*-环R=M2(Z2)中的元素为矩阵的一个Medium*-clean分解，但它没有Medium*-clean分解，说明具有Medium-*-clean分解的元素未必有Medium*-clean分解。

命题2.3若R是Medium*-clean环当且仅当R是Medium*-clean环且(R)=J(R)。

称R为Abel环，若Id(R)⊆C(R)。

引理2.4设R是Medium*-clean环，则Id(R)=P(R)，从而R是Abel环。

证明：设R是Medium-*-clean环，取e∈Id(R)，则有e=p+w或-p+w，其中p∈P(R)，w∈(R)且pw=wp。若e=p+w，则w=e-p∈(R)。因为(e-p)3=e-p，所以(e-p)[(e-p)2-1]=0，由引理1.9可知(e-p)2-1∈U(R)，则e=p。若e=-p+w，则w=e+p∈(R)。因为(e-p)(e+p)=e2-p2=e-p，所以(ep)(e+p-1)=0，由引理1.9可知e+p-1∈U(R)，则e=p。故R的每个幂等元都是投射元。再根据［14，引理2.1］可知R是Abel环。

类似于定理1.10的证明，可得

推论2.5每个Medium*-clean环都是强*-clean环。

命题2.6每个Medium*-clean环都是quasipolar环。

证明：设R是Medium*-clean环，任意a∈R，则存在p∈P(R)，w∈(R)，使得a=p+w或-p+w，且pw=wp。令f=1-p，由引理2.4知f∈comm2(a)。若a=p+w且pw=wp，则a=f+(2p-1+w)，a+f=1+w∈U(R)且af=(p+w)f=(1-p)w∈(R)⊆Rqnil。若a=-p+w且pw=wp。则a=f+(w-p)，a+f=1-2p+w∈U(R)且af=(-p+w)f=(1-p)w∈(R)⊆Rqnil。因此R是quasipolar环。

称（*-）环R是弱-*）-clean的，若R中每个元素都可表示为幂等元（投射元）和(R)中的元素的和或差。显然，Medium-*）-clean环是弱（-*）-clean环。

定理2.7设R是一个*-环，则下列条件等价：

（1）R是Medium*-clean环；

命题2.8设R是*-环，则平凡扩张T(R,R)是Medium*-clean环当且仅当R是Medium*-clean环。

其中

由定义直接得到

定理2.10设Ri是*-环，任意i∈I，I是指标集，且|I|≥2。则下列条件等价：

（1）Πi∈IRi是Medium*-clean环；

（2）每个Ri都是Medium*-clean环且至多只有一个不是强*-clean环。

推论2.11设L=Πi∈IRi是*-环Ri≅R的直积且|I|≥2，则下列条件等价：

（1）L是Medium*-clean环；

（2）L是强*-clean环；

（3）R是强*-clean环。

引 理2.12设R是*-环，a∈R，p∈P(R)。若a+p∈(R)或a-p∈(R)，且ap=pa，则annl(a)⊆annl(p)且annr(a)⊆annr(p)。

证明：设a-p∈(R)，则存在w∈)，使得a=p+w且ap=pa。任意r∈annl(a)，则rp=-rw，rp=-rwp=-rpw，从而rp(1+w)=0。注意1+w∈U(R)，故rp=0，则r∈annl(p)，所以annl(a)⊆annl(p)。对于a+p∈(R)，类似可证annl(a)⊆annl(p)。同理可证annr(a)⊆annr(p)。

定理2.13设*-环R是Abel的，e∈Id(R)，a∈eRe，则a是R中的Medium*-clean元当且仅当a是eRe中的Medium*-clean元。

可知pe=p=ep，则a=epe+ewe或a=-epe+ewe。因为*-环R是Abel环，由［14，定理2.2］知Id(R)=P(R)。于是有(epe)2=epe=e*p*e*=(epe)*，ewe∈R)⊆eRe)且(epe)(ewe)=(ewe)(epe)。故a是eRe中的Medium*-clean元。

定理2.14设R是Medium*-clean环，e∈Id(R)，则角环eRe也是Medium*-clean环。

证明：因为R是Medium*-clean环，根据引理2.4可知R中每个幂等元都是投射元。设a∈R，有a=p+w或a=-p+w-epe+ewe，其中p∈P(R)，w∈(eRe)且pw=wp。又eae∈eRe，则eae=epe+ewe或-epe+ewe，其中(epe)2=epe=e*p*e*=(epe)*，ewe∈R)⊂(eRe)且(epe)(ewe)=(ewe)(epe)。因此，eRe是Medium*-clean环。

命题2.15设*-环R是局部的，则下列条件等价：

（1）R是一个Medium*-clean环；

证明：若R是局部环，则J(R)=(R)。显然，R是Medium*-clean环。根据［9，推论3.10］可知结论成立。

定理2.16设R是*-环。则下列条件等价：

（1）R是Medium*-clean环；

（2）形式幂级数环R[[x]]是Medium*-clean的。

推论2.17设R是一个*-环，则下列条件等价：

（1）R是Medium*-clean环；

（2）R[[x1,x2,…,xn]]是Medium*-clean环。

称R为唯一*-clean环［7］，若*-环R中每个元素都有投射元和可逆元之和的唯一表示。

命题2.18唯一*-clean环是Medium*-clean环。

证明：设R是唯一*-clean环。根据［15，定理20］的证明类似可得*-环R中的投射元都是中心的且对任意a∈R，存在一个p∈P(R)，使得p-a∈J(R)。显然，R是强J-*-clean环。故R是Medium*-clean环。

命题2.18的逆不成立。显然，Z3就不是唯一*-clean环。

称*-环R是唯一Medium*-clean的，若R中每一个元素的Medium*-clean分解都是唯一的。

命题2.19R是MediumJ12-*-clean环当且仅当R是唯一Medium*-clean环。

称R是唯一Medium诣零-clean环，若R中每一个元素的Medium诣零-clean分解都是唯一的。

定理2.20设R是一个*-环，则R是唯一Medium诣零-clean环的充要条件是R是Medium*-clean环且)⊆N(R)。