一类线性函数方程Af(x)+Bf(φ(x))=g(x)的求解补注*

石勇国 宋西泠 罗小宇

(内江师范学院数学与信息科学学院 641100) (四川省资中县球溪高级中学 641208) (内江师范学院数学与信息科学学院 641100)

在各类高中数学竞赛中，常见的一类线性函数方程形如：

Af(x)+Bf(φ(x))=g(x)，

(1)

其中A,B为给定实数，f是未知函数，g为已知函数，φ是迭代周期为n的函数，这里的迭代周期是指存在最小的正整数n，使得φ自身复合n次等于本身，即对于在定义域内任意的x，有

φm(x)≠x(m=1,2,…,n-1)，φn(x)=x.

本文重点探讨线性函数方程(1)在奇异情形A2-B2=0下的求解方法，并且给出实例，完整讨论了迭代周期为2的线性函数方程(1)的所有解.

1 非奇异情形下的解

那么，对于更一般的函数方程(1)，是否存在f(x)的求解公式？下面，就求解线性函数方程的方法展开说明.

定理1假设A2-B2≠0，φ是迭代周期为2的函数，则方程(1)的解为

(2)

证由φ2(x)=φ(φ(x))=x，以φ(x)代换x，代入Af(x)+Bf(φ(x))=g(x)，即

Af(φ(x))+Bf(x)=g(φ(x)).

与方程(1)联立并化简得

A2f(x)-B2f(x)=Ag(x)-Bg(φ(x)).

由于A2-B2≠0，因此

在定理1中，若φ(x)是一个迭代周期为2的分式线性函数，则φ必定具有如下形式

证明从略，详见文[5]和文[7].于是，方程(2)可以改写为

一般地，当φ(x)为一个迭代周期为n的函数，且An+(-1)n-1Bn≠0时，归纳可得

求解方法详见文[4].

以上所有求解方法都基于非奇异的必要条件A2-B2≠0.然而，在奇异情形A2-B2=0下，以上定理都不再适用.那么，又如何求奇异情形下方程(1)的解呢？

2 奇异情形下的解

在方程(1)中，当A2-B2=0时，不妨假设A=B=1，或A=1且B=-1，并考虑最简单情形g(x)=0时方程(1)的解.

引理1设φ(x)是迭代周期为2的函数，A=B=1，则线性函数方程f(x)+f(φ(x))=0的解形如f(x)=h(x)-h(φ(x))，其中h为任意函数.

f(x)=h(x)-h(φ(x)).

引理2设φ(x)是迭代周期为2的函数，A=1且B=-1，则线性函数方程f(x)-f(φ(x))=0的解形如f(x)=h(x)+h(φ(x))，h为任意函数.

f(x)=h(x)+h(φ(x)).

进一步地，讨论g(x)≠0时，方程(1)有解的必要条件，以及求解方法.

证明用φ(x)代换x，得到新方程f(φ(x))+f(x)=g(φ(x))，而由原式f(x)+f(φ(x))=g(x)，故g(x)=g(φ(x)).

证明用φ(x)代换x，得到新方程f(φ(x))-f(x)=g(φ(x))，又由原式f(x)-f(φ(x))=g(φ(x))，则g(x)=-g(x).

证明因为f(x)=g(x)-f(φ(x))，则有2f(x)=f(x)+f(x)=f(x)+g(x)-f(φ(x))，即

类似地，可以证明：

证明因为f(x)=g(x)+f(φ(x))，则有2f(x)=f(x)+f(x)=f(x)+g(x)+f(φ(x))，即

再由定理2，方程的一般解形如：

3 总结

本文针对一类线性函数方程Af(x)+Bf(φ(x))=g(x)，其中φ(x)是迭代周期为2的函数，提供了通用的求解方法，补充探讨了这类线性函数方程在奇异情形A2-B2=0时解的性质以及求解的方法，并设计了实际例子以作参考.类似本文方法，可以继续研究φ(x)的迭代周期为3，4，5，…，n时该线性函数方程的解.