线性映射视角下矩阵的秩

安玉莲， 罗雪梅

(上海外国语大学 国际金融贸易学院，上海201620)

1 引 言

映射是数学研究的主要对象之一.线性代数主要研究向量空间之间的线性映射(或线性变换).从映射或变换的视角考察线性代数，可以更清晰地认识重要知识点的本质，更深刻地理解矩阵与线性映射之间的关系，为更好地应用线性代数知识提供思想基础与方法[1-4].

矩阵的秩是线性代数教学的难点之一.目前大部分线性代数教材和相关文献中，关于矩阵秩的性质，都是从矩阵本身出发，采用分块的方法，并结合矩阵运算性质和线性方程组解的理论给与证明[5-8].文章利用线性映射的知识，对线性代数教材中关于矩阵秩的几个重要命题给出了另一种比较简洁的证明，为该知识点的教学提供一种新的思路和处理方式.

2 线性变换与矩阵

为了方便叙述，文章在实数域内进行研究，但是处理问题的方法对复数域也适用.为方便读者，先给出关于有限维向量空间之间的线性变换与矩阵关系的几个基本概念和相关性质.

定义1[1]设n，m分别是n维和m维向量空间，T是从n到m的映射，如果T满足:

(i)任意的α1，α2∈n，有T(α1+α2)=Tα1+Tα2;

(ii)任意的α∈n，λ∈，有T(λα)=λTα，

则称T为从n到m的线性变换.特别地，如果n=m，称T为向量空间n上的线性变换.

性质1[1]线性变换T∶n→m具有下列基本性质:

(i)T(0)=0;

(ii)若向量组α1，α2，…，αs线性相关，则向量组Tα1，Tα2，…，Tαs也线性相关.

一个线性变换T∶n→m，会产生两个重要的子空间: 像空间与核空间.线性变换T的像集T(n)是m的一个子空间，称为线性变换T的像空间.满足T(α)=0的全体向量α的集合构成n的一个子空间，称为T的核空间，记为N(T).

矩阵与线性变换关系密切.一般地，给定一个矩阵可以定义一个线性变换.任意给定一个矩阵

其中α1，α2，…，αn是矩阵A的列向量组.定义线性变换T∶n→m，Tx=Ax，则对任意的x=(x1，x2，…，xn)′∈n，有

Tx=Ax=x1α1+x2α2+…+xnαn，

其中(x1，x2，…，xn)′表示行向量的转置.

性质2[1]由矩阵A确定的线性变换T具有下列基本性质:

(i)T的像空间是矩阵A的列向量组α1，α2，…，αn张成的空间，即

T(n)=span(α1，α2，…，αn);

(ii)T的核空间是齐次线性方程组Ax=0的解空间;

(iii)T的核空间维数与像空间维数之和等于n，即dim(N(T))+dim(T(n))=n.

记T(α1，α2，…，αn)=(Tα1，Tα2，…，Tαn)，则T(α1，α2，…，αn)=(β1，β2，…，βm)Amn，其中

任意的x=x1α1+x2α2+…+xnαn∈n，有

Tx=x1Tα1+x2Tα2+…+xnTαn

=(Tα1，Tα2，…，Tαn)(x1，x2，…，xn)′

=(β1，β2，…，βm)Amn(x1，x2，…，xn)′.

即Tx在基β1，β2，…，βm下的坐标为Amn(x1，x2，…，xn)′.这表明，任意的x∈n，其像Tx可以由矩阵Amn唯一确定，即矩阵Amn表达了该线性变换.

类似地，方阵的逆矩阵是向量空间之间逆变换的对应法则.向量的复杂变化可以通过矩阵乘法、矩阵求逆等运算实现，这正是计算机绘图的基础之一.因此，可以利用线性变换来研究矩阵的相关问题.下面，运用矩阵与线性变换的关系，证明关于矩阵秩的几个经典结论.

3 几个矩阵秩的性质的证明

从线性变换的视角研究矩阵，可以提供关于矩阵秩的几个重要性质的另一种证明方法.为了简明起见，下述定理的证明仍然沿用前文记号.

定理 1矩阵Csn=AsmBmn，则rank(C)≤min{rank(A)，rank(B)}.

证设矩阵Asm，Bmn分别对应着线性变换T1∶m→s，T2∶n→m，则矩阵Csn对应着复合变换T1T2∶n→s.

(i)先证rank(C)≤rank(A).

矩阵C的秩等于复合变换T1T2像空间的维数，矩阵A的秩等于线性变换T1像空间的维数.显然，T1T2的像空间是T1像空间的子集，所以rank(C)≤rank(A).

(ii)再证rank(C)≤rank(B).

设矩阵B的列向量组为ξ1，ξ2，…，ξn，则

C=A(ξ1，ξ2，…，ξn)=(Aξ1，Aξ2，…，Aξn)=(T1ξ1，T1ξ2，…，T1ξn).

根据性质1(ii)知，向量组T1ξ1，T1ξ2，…，T1ξn的秩不大于向量组ξ1，ξ2，…，ξn的秩，即rank(C)≤rank(B).

综合(i)，(ii)的证明，可得定理结论.

定理 2若矩阵AsmBmn=O，则rank(A)+rank(B)≤m.

证设矩阵Asm，Bmn分别对应着线性变换T1∶m→s，T2∶n→m.如果rank(B)=r，下证rank(A)≤m-r.

由AsmBmn=O知，任意的x∈n，有T1T2x=T1(T2x)=0. 因为rank(B)=r，所以线性变换T2的像空间维数为r.不妨设η1，η2，…，ηr是T2的像空间的一组基.进一步，有

T1(η1，η2，…，ηr)=(Aη1，Aη2，…，Aηr)=(0，0，…，0).

上式表明，线性变换T1把m中的r个线性无关的向量都映射为零向量，即dim(N(T1))≥r.根据性质2(iii)得，T1的像空间维数至多为m-r，即rank(A)≤m-r.

定理 3若矩阵AsmBmn=Csn，且rank(A)=m，则rank(B)=rank(C).

证设矩阵Asm，Bmn分别对应着线性变换T1∶m→s，T2∶n→m.如果rank(B)=r，下证rank(C)=r.

由rank(A)=m知，线性变换T1相空间维数等于m.根据性质2(iii)得，dim(N(T1))=0，即T1的核空间中只有零向量.利用反证法容易得出，线性变换T1必将m中线性无关的向量组映射成s中线性无关的向量组.

又因为rank(B)=r，所以线性变换T2的像空间维数为r.不妨设η1，η2，…，ηr是T2像空间的一组基，则向量组T1η1，T1η2，…，T1ηr依然线性无关.故T1η1，T1η2，…，T1ηr是复合变换T1T2像空间的一组基，故rank(C)=r.

定理4若矩阵Asm，Bsm为同型矩阵，则

(i)rank(A+B)≤rank(A)+rank(B);

(ii)max{rank(A)，rank(B)}≤rank(A，B)≤rank(A)+rank(B).

证(i)设矩阵Asm，Bsm分别对应着线性变换T1∶m→s，T2∶m→s.则矩阵A+B对应的线性变换为T1+T2∶m→s.

任意的x∈m，有(T1+T2)x=T1x+T2x.因此，T1+T2的像空间是T1的像空间与T2的像空间并集的子集，故rank(A+B)≤rank(A)+rank(B).

(ii)同理可证，略.

3 结 论

从线性映射的视角研究矩阵的秩，给出了关于矩阵秩的几个重要性质的另一种证明.线性代数课程概念和性质繁多，以线性映射为主线进行梳理，不仅知识脉络清晰，而且能够反映概念、性质、定理等的本质.例如，矩阵的乘法运算不满足乘法交换律，根本原因是线性映射的复合映射一般不具有可交换性质.方阵的特征值与特征向量本质上是对应的线性映射的特征值与特征向量，属于该线性映射的不变量.方阵的行列式反应了线性映射对空间向量的变换过程中坐标系整体的伸缩程度等.在线性代数教学中自始至终贯彻线性映射的思想，不失是一种事半功倍的选择.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.