考虑竞争失效的视情维修和备件订购联合策略优化

赵 斐, 李 鑫, 张 建

(1. 东北大学秦皇岛分校管理学院, 河北 秦皇岛 066004; 2. 东北大学工商管理学院, 辽宁 沈阳 110819;3. 中车唐山机车车辆有限公司, 河北 唐山 063000)

0 引 言

在现代工业产品的可靠性研究中,系统失效通常是由产品的内在原因(如使用退化、磨损、疲劳等)和外部因素(如随机冲击、应力过载等)综合作用而造成的。为此,系统从使用到失效的寿命过程是内因退化失效模式与外部冲击失效模式相互竞争的结果[1-4]。例如,雷达转向系统在实施作战任务时完成监控侦查,失效原因一方面是由使用造成的磨损退化积累,另一方面是遭敌打击后瞬时损伤,从而将此过程视为单部件系统竞争失效过程[5]。现有研究主要从两个角度定义随机冲击与退化之间的关系:一是随着系统运行,退化量不断增加,系统抗冲击能力逐渐减弱,使其更易受到随机冲击的影响;二是随机冲击会加速退化过程,导致出现突变性的加速退化情形,或增加退化速率。针对前者,有研究分析了随机冲击对系统退化量的影响,每次随机冲击时退化量瞬时增加[6-8]。然而,Lyu等[9]构建了考虑可变退化率的可靠性模型,假定当冲击数达到特定值时,退化速率发生变化;Nezakati等[10]针对负载共享的k-out-of-n: F系统,在考虑相依竞争失效基础上进行可靠性分析;Sun等[11]基于非线性维纳过程研究了退化过程对随机冲击的影响以及随机冲击对退化率的影响。Bian等[12]分别构建了基于累积冲击模型和极端冲击模型的可靠度函数。

不完美维修(imperfect maintenance, IPM)活动常应用于实践中以延长系统役龄,文献[13]用改善因子随维修频率递减的函数表示IPM对系统役龄的影响;Guo等[14]引入残余退化量模型,表征IPM活动改善系统健康状态能力逐渐减弱的趋势;也有研究基于剩余寿命预测提出了考虑IPM的视情维修优化模型[15-16];Pei等[17]采用维纳过程建立系统多阶段退化过程模型,表征IPM活动对退化过程的影响。因此，在实际生产过程中，IPM活动更为适用,而且考虑其对系统退化量和退化率的双重影响尤为重要。

冲击阈值常用于判断系统在极端冲击下是否发生冲击失效,一旦超过冲击阈值,则导致系统失效[18-21]。在现有考虑竞争失效的视情维修研究中,根据极端冲击与系统总退化量的相关性,将极端冲击阈值分为单一固定阈值和多阶段固定阈值[22-23]。文献[7]定义了单一硬失效阈值,用于判断当部件受到外界冲击时冲击是否有效,即是否造成系统退化量叠加;Che等[24]考虑了基于单一冲击的阈值情形。也有研究提出不同类型的冲击并进行建模,An等[25]同时考虑失效冲击阈值和一般冲击阈值,判断系统是否失效;Hao等[26]以海上桥梁的钢筋混凝土墩柱为例,同时考虑不断的腐蚀过程和由船舶碰撞引起的随机冲击损伤,根据冲击振幅区分无害冲击和有害冲击,分析有害冲击对故障率和故障阈值的影响,分别通过极端冲击模型和δ-冲击模型构建冲击阈值与冲击幅值的关系。以上针对冲击阈值的研究中,多假定阈值是固定不变的,未考虑阈值的随机性和不确定性特征,导致了一定的局限性。

系统维修活动离不开备品备件的保障,而维修决策活动又会产生对备件的需求,显然维修方案的制定与备件管理紧密相关,为此,联合优化维修策略和备件订购策略尤为重要。现有预防性维修(preventive maintenance, PM)与备件订购联合优化的研究仅考虑了累积退化,忽略了随机冲击对系统失效的影响,限制了联合决策模型应用[27-30]。然而,考虑到随机冲击对系统退化和失效的直接影响,即每次冲击后势必增加失效率,导致对备件的需求程度变高。因而,针对竞争失效系统有必要研究随机冲击对备件订购的影响,鉴于冲击振幅越接近冲击阈值时,系统越有可能失效进而产生对备件的需求,根据随机冲击设置备件采购需求条件进而实现与维修决策活动的整合至关重要。

本文针对单部件系统竞争失效过程，基于维纳过程构建考虑IPM与随机冲击的多阶段退化模型,并通过漂移系数和随机冲击量表征IPM活动和随机冲击对系统退化量和退化率的影响。基于控制限维修原则提出视情维修策略,综合考虑IPM、经有限次IPM后的预防性更换(preventive replacement, PR)和随机故障更换(corrective replacement, CR)维护方式;同时,采用动态随机冲击阈值机制判断由外部冲击引起的系统失效。备件订购取决于随机冲击的影响,通过比较随机冲击振幅和冲击阈值之间的差值,引入备件订购阈值作为决策正常订购备件的条件。根据PR和CR两种相互独立的更新情形,分析正常订购备件的状态，以及所有可能的更新事件并推导发生概率,综合考虑检修成本和备件相关成本,构建最小化平均费用的联合策略优化模型。对此,设计离散事件仿真算法求解模型,利用实例验证了模型的有效性,分别对最大IPM次数和备件订购阈值进行了灵敏度分析,并通过模型对比证明了所提出的联合优化策略能够有效降低成本。

1 视情维修和备件订购联合策略

1.1 问题描述

根据控制限视情维修策略,如图1中时刻t2所示,当系统总退化量XS(t)超过PM阈值ωp时，执行IPM;但一旦执行IPM的次数超过最大次数N时，则进行PR,如时刻t5所示;XS(t)一旦超过CR阈值ωl,则立即执行CR,如t7时刻所示。如图1所示,由于系统退化量一旦超过阈值ωp，则需执行IPM,为此以IPM活动点基于维纳过程构建多阶段的退化模型,表征IPM前后系统不同的退化趋势。同时,考虑到随机冲击对系统退化量和退化率的影响,如时刻t1,t4,t6所示,系统在每次经过随机冲击后退化斜率变大,进而将随机冲击的影响融入退化模型中。

图1 视情维修和备件订购联合策略Fig.1 Joint policy of condition-based maintenance and spare ordering

当系统遭受随机冲击的幅值Wj超过随机冲击阈值Dk(t)时,视系统发生冲击失效。如前所述,基于Wj与Dk(t)之间的差值决策是否订购备件,在此引入备件订购阈值δ。当Dk(t)-Wj>δ时，不采购备件,若有备件需求则仅能通过紧急订单满足且经紧急订单期Leo后到货,如图1中时刻t6所示。若Dk(t)-Wj≤δ成立,则在此订购备件to=t且经正常订购提前期Lo到货。若在备件需求时刻,其状态处于未订购正常备件情形或已订购正常备件但未到货情形,则等待备件直至到货并进行更换,等待期间以单位时间缺货成本CPenalty产生缺货成本;相反,若备件已经到货但处于存储状态,则立即更换系统,并以单位时间库存持有成本Ch产生备件存储成本。

1.2 系统退化过程建模和剩余寿命预测

根据IPM对系统退化过程的影响,基于维纳过程构建分阶段退化模型,定义第k(0≤k≤N)次IPM后系统的总退化量为

XS(t)=

X(t)+S(t)=

(1)

(2)

(3)

式中:ck=1/(1-exp(-abk-1)),a,b为超参数。

基于首达时间概念定义系统退化量首次达到PM阈值或故障阈值ωi(i=p,l)的时间Lk,ωi，有

Lk,ωi=inf{lk,ωi:XS(jkΔt+lk,ωi)≥ωi|lk,ωi≥0,zk}

(4)

为推导Lk,ωi，将概率密度函数进行如下变换:

U(lk,ωi)=XS(lk,ωi+jkΔt)-XS(jkΔt)=

(5)

根据式(4)和式(5)得到:

Lk,ωi=inf{lk,ωi:U(lk,ωi)≥ωi-XS(jkΔt)|lk,ωi≥0,zk}

(6)

将式(5)代入式(6)，推导得到:

(7)

(8)

fL(lk,ωi|zk)=

(9)

(10)

由此推导式(9)得到:

fL(lk,ωi|zk)=

(11)

(12)

Dk(t)=ηXS(t)+ε

(13)

2 联合策略优化建模

根据考虑竞争失效的系统退化过程和基于控制限的视情维修策略,可知当退化量XS(t)≥ωl或Wj≥Dk(t)时,以成本CCR执行CR;若ωl>XS(t)≥ωp,则以成本CIPM执行IPM或者以成本CPR执行PR。接下来,首先推导各种更新事件的发生概率,而后利用更新报酬理论构建最小化平均费用的联合策略优化模型。

2.1 更新事件发生概率

在时刻jkΔt系统退化量XS(jkΔt)∈(ωp,ωl),则执行IPM的概率PIPM(jkΔt)为

PIPM(jkΔt)=P(XS((jk-1)Δt)<ωp∩ωp

(14)

当IPM次数达到阈值N时,对系统进行PR的概率PPR为

PPR=PPR(W,D)·

P(XS((j1-1)Δt)<ωp,ωp

(15)

(16)

系统执行N次IPM且未发生冲击失效,由于在时刻(q+1)Δt退化量超过阈值ωl而进行CR的概率PCR1为

PCR1=PCR1(W,D)·P(XS((j1-1)Δt)<ωp,ωp

(17)

(18)

系统执行N次IPM后发生冲击失效的CR概率PSCR1为

PSCR1=PSCR1(W,D)·P(XS((j1-1)Δt)<ωp,ωp

XS(qΔt)<ωp,XS((q+1)Δt)>ωl)

(19)

(20)

系统执行n(n

PCR2=PCR2(W,D)·P(XS((j1-1)Δt)<ωp,ωp

XS(qΔt)<ωp,XS((q+1)Δt)>ωl)

(21)

(22)

系统执行n(n

PSCR2=PSCR2(W,D)·P(XS((j1-1)Δt)<ωp,ωp

XS(qΔt)<ωp,XS((q+1)Δt)>ωl)

(23)

(24)

式(17)、式(19)、式(21)和式(23)中,fk,ωi-x(t|zk)和fk,x(t)可以表示为

fk,ωi-x(t|zk)=

(25)

fk,x(t)=

(26)

2.2 最小化平均费用的联合决策优化模型

根据系统不同退化状态推导出的PR和CR概率,结合更换时刻备件可能的状态(未订购、订购未到货、已到货),分析并推导所有更新事件发生的概率,计算相应的期望成本EC和期望时长ET,利用更新报酬理论建立最小化平均费用的目标函数。

首先,若备件需求时刻处于未订购状态,则进行紧急订货并于提前期Leo时长后更新系统,此时产生的总成本为C1=mCi+kCIPM+Ceo+CCR+LeoCPenalty。其次,当备件已经订购但是未到货时,则等待备件直至到货并进行更换,综合考虑检修成本和备件相关成本,总成本为C2=mCi+kCIPM+Co+CCR+CPenalty(to+Lo-mΔt)。最后,如果备件处于存储状态,则产生的总成本为C3=mCi+kCIPM+Co+CCR+Ch(mΔt-to-Lo)。下面分别计算各更新事件的期望成本和时长。

事件 1系统执行PR而备件未订购情形

(27)

(28)

事件 2系统执行PR而备件已订购但仍未到货的情形

(29)

(30)

事件 3系统执行PR且备件已到货情形

(31)

(32)

事件 4系统执行N次IPM而未发生冲击失效的CR,且备件未订购情形

(33)

(34)

事件 5系统执行N次IPM而未发生冲击失效的CR,且备件已订购但未到货情形

(35)

(36)

事件 6系统执行N次IPM而未发生冲击失效的CR,且备件已到货情形

(37)

(38)

事件 7系统执行N次IPM而发生冲击失效的CR,且备件未订购情形

(39)

(40)

事件 8系统执行N次IPM而发生冲击失效的CR,且备件已订购未到货情形

(41)

(42)

事件 9系统执行N次IPM而发生冲击失效的CR,且备件已到货情形

(43)

(44)

事件 10系统执行n(n

(45)

(46)

事件 11系统执行n(n

(47)

(48)

事件 12系统执行n(n

(49)

(50)

事件 13系统执行n(n

(51)

(52)

事件 14系统执行n(n

(53)

(54)

事件 15系统执行n(n

(55)

(56)

由各更新事件期望费用和期望时长,根据更新报酬理论建立最小化平均费用的目标函数

(57)

3 离散事件仿真算法设计

为了简化计算,在此设计离散事件仿真算法求解最优的决策变量(ωp,Δt),即检测间隔和PM阈值。图2给出了离散事件仿真算法流程图,步骤如下。

图2 离散事件仿真算法Fig.2 Discrete-event simulation algorithm

步骤 1设置初始漂移系数λ0,扩散系数σB,初始残余退化量z0,系统CR阈值ωl=0.15,PM阈值ωp=0.01,最大迭代次数imax,最大IPM次数N,正常订单提前期Lo,紧急订单提前期Leo,备件订购阈值δ。

步骤 2设置参数ωp=ωp+0.01,Δt=100。

步骤 3设置总期望成本TC=0,总期望时间TL=0,迭代次数i=0,Δt=Δt+100。

步骤 4设置当前时刻t=0,总退化量XS(t)=0,备件订购时间to=0,IPM次数k=0,Δt和ωp不变,i=i+1。

步骤 6若s>0,且单次冲击幅值W大于冲击阈值D,则转到步骤7;否则,转到步骤8。

步骤 7若IPM次数k≥N，则系统执行N次IPM而发生冲击失效的CR。如图3所示,此时若to=0,则备件未订购,事件7发生;若to+Lo>t,则备件已订购但未到货,事件8发生，直到备件到货时再进行CR;若to+Lot,则备件已订购但未到货,事件14发生,直到备件到货时再进行CR;若to+Lo

图3 Box CFig.3 Box C

图4 Box EFig.4 Box E

步骤 8若W

步骤 9将XS(t)分别与ωp和ωl进行对比。若XS(t)≥ωl,则转到步骤10;若XS(t)<ωl,则返回步骤5,TC=TC+Ci。若ωl>XS(t)≥ωp且k≥N,则转到步骤11;否则,转到步骤12。若XS(t)<ωp,则返回步骤5。

步骤 10若k≥N,则系统执行N次IPM而未发生冲击失效的CR。如图5所示,此时若订购时间to=0,则备件未订购,事件4发生;若to+Lo>t,则备件已订购但未到货,事件5发生,直到备件到货时再进行CR;若to+Lot,则备件已订购但未到货,事件11发生,直到备件到货时再进行CR;若to+Lo

图5 Box BFig.5 Box B

图6 Box DFig.6 Box D

步骤 11如图7所示,此时若to=0,则备件未订购,事件1发生;若to+Lo>t,则备件已订购但未到货,事件2发生,直到备件到货再进行CR;若to+Lo

图7 Box AFig.7 Box A

步骤 12如果ωl>XS(t)≥ωp且k

步骤 13判断运行次数,若满足i=imax,则计算EC(ωp,Δt),否则返回步骤4。

步骤 14若EC(ωp,Δt)

4 实例分析

根据文献[5]雷达转向系统的电动机运行实际数据验证模型有效性,对联合策略模型进行仿真优化,分析不同参数对目标函数和决策变量的影响。

4.1 参数设置

根据文献[5]中的参数设置相关退化参数,如表1所示,成本参数如表2所示。

表1 退化参数

表2 成本参数

4.2 最优解分析

当Δt固定时,平均成本呈现出先减小后增大的趋势,这是因为ωp过小会使PR次数增多而总期望时长减少,导致较高的目标函数;ωp较大容易在故障发生时,系统不能及时进行IPM或PR,导致以高昂的CR成本进行更换。同样,若Δt过小,则频繁的检测活动势必增加系统检测成本,则期望时间长度相同时,平均成本增加;若Δt过大,未能及时检测系统健康状态,会增加系统故障风险,此时将导致维修不足以致CR费用增加,进而导致平均费用增加。

图8 目标函数与决策变量之间的关系Fig.8 Relationship between the objective function and decision variables

4.3 灵敏度分析

在假定成本参数和系统退化参数不变的情况下,分别探讨订购阈值δ、最大IPM次数N变化时,检测间隔Δt与目标函数之间的关系。

(1)δ变化时Δt与目标函数之间的关系

在其他参数不变的前提下,备件订购阈值δ的大小直接决定备件是否可以及时满足系统维修的需要。如图9所示,由于δ过大,备件经提前期到货后,每分钟以成本Ch的库存成本逐渐增加,单位时间内期望成本增加。反之,当动态随机冲击阈值和单次冲击幅值的差值较小时,说明系统执行PR和CR的概率变大,备件此时可能处于未订购状态或已订购但未到货状态,则需要紧急订单或者继续等待备件,总期望成本增加，并使得目标函数增加。

图9 订购阈值对目标函数的影响Fig.9 Effect of the order threshold on the objective function

(2)N变化时Δt与目标函数之间的关系

设置最大IPM次数N的目的是以低成本对系统进行维护,同时为了避免高故障率带来的故障损失,经过有限次IPM后采取PR活动。图10给出了最大IPM次数N不同时检测间隔与目标函数之间的关系。

图10 最大IPM对目标函数的影响Fig.10 Effect of the maximal number of IPM on the objective function

由图10中的结果不难看出,当N小于3时,易导致系统可用度降低,造成更换成本攀升,增加平均费用支出。相反,当N非常大时,则多次IPM后的系统退化率较高,易发生故障并因较高的故障成本支出导致相对较高的平均成本。

4.4 模型对比与分析

图11 模型2中目标函数与决策变量之间关系Fig.11 Relationship between the objective function and decision variables in model 2

通过对比结果发现,模型1的最小平均费用要小于模型2的最小平均费用(0.105 8<0.203),一方面,这是由于模型1在策略中考虑了IPM,延长了系统役龄,使系统成本率达到了最低;另一方面,模型1的策略根据动态随机冲击阈值和单次冲击幅值之间的关系,设置了订购阈值,确保备件能及时供应,满足了系统维修需求,降低了系统总成本。

5 结 论

本文对单部件系统提出考虑竞争失效的视情维修与备件订购联合策略,其中维修策略采用控制限策略,考虑了IPM和随机冲击对系统退化量和退化率的影响,进而使用维纳过程构建了分阶段的退化模型。引入备件订购阈值,比较该阈值和随机冲击幅值与动态随机冲击阈值之间差值的大小,判断是否正常采购备件。针对退化量超过PM阈值时可能发生的IPM或PR活动,结合由于退化量达到故障阈值、随机冲击超过阈值水平而发生的CR活动,分别推导了发生概率。综合分析系统更换情形和备件状态,确定是否能够立即更换备件,是否需要进行紧急订购备件,从而计算各更新事件的期望成本和期望时长,并得到总期望成本和总期望时长,利用更新报酬理论得到最小化平均费用的目标函数,优化检测间隔和PM阈值。

通过设计离散事件仿真算法对模型进行求解,通过实例验证了模型的有效性和算法的可行性,针对最大PR次数和备件订购阈值进行了灵敏度分析,并进行了模型对比,仿真结果表明所提出的联合优化策略能够有效降低系统的维修成本和备件成本。