非扩张映射及一种改进的邻近点算法的收敛性定理

翁生权，文相容，梁柳

（宜宾学院 理学部，四川宜宾 644000）

最优化问题是指在某些约束条件下，决定某些可选择的变量应该取何值，使所选定的目标函数达到最优的问题，这是定性的说法；其定量描述则为：最优化问题是指在空间X中找到一个点x∈X使得满足等式f(x)= minu∈X f(u)，其中f表示目标函数．1970 年Mantinet[1]为进一步研究最优化问题而提出了邻近点算法（Poximal point algorithm），即xn∈X,Txn=xn的解是

一个度量空间(X,d) 若满足是测地连接的，且在X上每一个测地三角形都和它在二维欧氏平面R2上的比较三角形具有相同的厚度，则称其为CAT(0)空间．一个度量空间(X,d)如果是测地相连的，则被称作是一个测地空间．连接点x与y的一条测地轨道是一个映射g，g:[ 0,l]⊆R→X使得对s,t∈[ 0,l]，有g( 0 )=x、g(l)=y、d(g(s),g(t) )=|s-t|．特别地，连接点x与y的测地轨道是一个等距的关系，即d(x,y)=l．连接点x与y的一条测地轨道的图像被称为是连接点x与y的一条测地线段，唯一地表示为[x,y]．用(1 -k)x⊕ky表示唯一点z∈[x,y]，使得d(x,z)=kd(x,y)，d(y,z)=(1 -k)d(x,y)，其中0 ≤k≤1．如果每一个X的测地三角形，至少和它在二维欧几里得空间R2中的比较三角形一样“瘦”或者“薄”，则称一个测地空间为CAT(0)空间．值得注意的是，这里定义的CAT(0)是在测地空间的基础上进行的．在一个测地空间X中，一个测地三角形Δ(x1,x2,x3)包含了X中的三个点（Δ的顶点），以及每一对点之间的测地线段（Δ的边）．

在CAT(0)空间中，三角形Δ()x1,x2,x3的比较三角形是在二维平面R2中的三角形且使得对一切i,j∈{1,2,3} ，满足

设Δ 是X中的测地三角形，且是它在R2中的比较三角形，如果对一切x,y∈Δ 以及比较点，不等式成立，那么称三角形Δ满足CAT(0)不等式．

2013 年Bačák[2]将邻近点算法引入到CAT(0)空间X中．具体描述如下：对初值点∀x1∈X，有xn+1=(D ⊆X, ∀n ≥1, λn ＞0)．事实上，如果函数f有极小元，且那么序列{xn}Δ 收敛于它的极小元[3]．对任意λ＞0，在CAT(0)空间X中函数f的Moreau-Yosida预解式[4]是：

其中f是一个真凸下半连续函数．简化Bačák 的邻近点算法可得xn+1=Jλnxn．

基于Bačák 所引入的算法，许多研究者结合已有的Halpern 型迭代算法[5]、Mann 型迭代算法[6]、Ishikawa 型迭代算法[7]、Noor 型迭代算法[8]、SP 型迭代算法[9]等算法，以及结合利普希茨伪压缩映射（Lipschitz Pseudo-contractive Maps）、严格伪压缩映射（Strictly Pseudo-contractive Maps）、边界算子（Bounded Operators）等算子，得到了许多研究成果[10]，使得非线性分析的理论得到了进一步的发展和完善．

2021 年Weng 等[11]在CAT(0)空间中提出了一种邻近点算法，其形式表达如下：

其中T表示一个单值非扩张映射，而S表示一个集值非扩张映射，f表示一个真凸下半连续函数；函数f预解式Jλ的不动点集F(Jλ) 与函数f的极小元集arg miny∈X f(y)等价[3]；对任意λ＞0，函数f的预解式Jλ是非扩张的[12]．

基于上述研究，本文提出一种改进的邻近点算法，引入两个单值非扩张映射和一个集值非扩张映射，然后探究其算法的收敛性问题，并得到了肯定性的结论．

1 预备知识

如果对任意x,y∈D，有[x,y]⊆D，其中[x,y]: ={λx⊕(1 -λ)y:0 ≤λ≤1} 是连接点x与y的唯一测地线，称CAT(0)空间X的子集D是凸的．设T:D→D是一个映射，用F(T)来表示映射T的不动点集，即F(T)={z∈D:Tz=z}．如果p,q,w是CAT(0)空间中的三个点，并且是测地线段[p,q]的中点，那么CAT(0)不等式蕴含了

当且仅当对一切p,q,w∈X，不等式

成立，那么一个测地空间(X,d)是一个CAT(0)空间．特别地，如果p,q是CAT(0)空间(X,d)中的两点，t∈[ 0,1 ]，那么存在唯一点tp⊕(1 -t)q∈[p,q]，使得

定义1设f:X→(-∞,∞]是一个函数，则称D(f): ={x∈X:f(x)＜+∞}为函数f的有效定义域．如果D(f)≠∅，则称函数f是真的．

定义2[13]设f:X→(-∞,∞]是一个函数，则称函数f在x0∈X为下半连续（l.s.c）的，如果{xn}⊆X使得xn→x0,f(xn)→y,y∈(-∞,∞]，则f(x0)≤y．

定义3设f:X→(-∞,∞]是一个真泛函，如果满足不等式

其中D⊆X是一个非空凸子集，则称函数f是凸的．

定义4[13]设{xn}是CAT(0)空间X中的一个有界序列,对任意x∈X，定义映射r(.,{xn}):X→[ 0,∞)且r(x,{xn})=supd(x,xn)，则有

（i） {xn}的渐进半径定义为r( {xn})=inf{r(x,{xn}):x∈X}；

（ii） {xn}的渐进中心定义为集合A( {xn})={x∈X:r(x,{xn})=r( {xn})}．

那么完备CAT(0)空间中的渐进中心A( {xn})恰好包含一个点[14]．

定义5[13]在CAT(0)空间X中，如果x是序列{xn}的每一个子序列的唯一渐进中心，称序列{xn}Δ-收敛于x∈X，记为Δ -xn=x，并称x为序列{xn}的Δ -极限．此外，在X中取定序列{xn}，使得{xn}Δ - 收敛于x∈X，且y∈X,x≠y,infd(xn,x)＜infd(xn,y)．因此，巴拿赫空间中的Opial 性质在每一个CAT(0)空间X也是成立的．

引理1[15]CAT(0)空间中的每一个有界序列有一个Δ收敛的子列．

引理2[16]设D是CAT(0)空间X中的非空闭凸子集，如果序列{xn}是D中的有界序列，那么序列{xn}的渐进中心在D中．

引理3[17]设序列{xn}是完备CAT(0)空间中的有界序列，且A( {xn})={x}，如果{un}是{xn}的子序列，且A( {un})={u}，序列{d(xn,u)}收敛，那么x=u．

引理4[12]设(X,d)是一个完备的CAT(0)空间，且f:X→(]-∞,∞是一个真凸下半连续函数，那么

成立，式中Jλ是f的Moreau-Yosida预解式．

引理5[18]设(X,d)是一个完备CAT(0)空间，且f:X→(-∞,∞]是一个真凸下半连续函数，那么对一切x,y∈X,λ＞0，不等式

成立，式中Jλ是f的Moreau-Yosida预解式．

引理5中所述成立的不等式是次微分不等式．

定义6[19]设(X,d)是一个完备的CAT(0)空间，映射T:X→X，如果d(xn,Txn)= 0，称序列{xn}⊆X为T的渐进不动点序列．

设D是测地空间(X,d)的非空子集，CB(D)、CC(D)以及KC(D)分别表示D上的非空有界闭子集族、闭凸子集族、非空紧凸子集族；在CB(D)的Pompeiu-Hausdorff 距 离[20]定 义 为H(A,B)=max{supx∈Adist(x,B),supy∈Bdist(y,A)}，对于A,B∈CB(D),dist(x,D)= inf{d(x,y):y∈D}表示点x到子集D的距离；设S:D→CB(D)是一个集值映射，如果x∈D,x∈Sx, 则称x是S的不动点．用F(S)表示集值映射S的所有的不动点的集合，即F(S)={x∈D:x∈Sx}．

定义7[21]如果对于一切x,y∈D满足d(Tx,Ty)≤d(x,y)，称一个单值映射T:D→D是非扩张的．

定义8[21]如果对于一切x,y∈D，满足H(Sx,Sy)≤d(x,y)，称一个集值映射S:D→CB(D)是非扩张的．

引理6[18]设D是完备CAT(0)空间(X,d)的非空闭凸子集，T:D→X是一个非扩张映射，{xn}是D中的有界序列,使得(xn,Txn)= 0,Δ -=x,x∈D，那么x=Tx．

引理7[21]设X是一个CAT(0)空间，D是X的一个非空闭凸子集；设是D的一个任意有限子集，αi∈( 0,1 ),i= 1,2,...,n使得αi= 1，则对∀z∈D，不等式成立．

2 主要结果

引理8假设下述条件是满足的：

（1） (X,d)是一个完备的CAT(0)空间，D是X的一个非空闭凸子集；

（2）f:D→(-∞,∞]是一个真凸下半连续函数；

（3）Ti:D→D,i= 1,2是两个单值非扩张映射；

（4）S:D→CB(D)是集值非扩张映射；

（5）αn,βn,γn是( 0,1 )中的序列，0

（6） {λn}是一个序列，使得对某些常数λ，以及一切n≥1，有λn≥λ> 1；

（7）Ω =F(T1)⋂F(T2)⋂F(S)⋂arg minx∈D f(x)是非空的，且Sq={q},q∈Ω；

对任意初值x1∈D，序列{xn}定义如下：

那么，下列陈述成立：

（a）对一切q∈Ω，极限d(xn,q)存在；

证明：设q∈Ω，则q=T1q=T2q∈Sq，对一切x∈D，f(q)≤f(x)．于是

因此，对一切n∈N,q∈Ω，有q=Jλnq．

第一步：即证明对一切q∈Ω，极限d(xn,q)存在．由yn=Jλnxn，以及Jλ的非扩张性，可得

对q∈Ω，由Sq={q}、引理8 条件（5）以及引理7，结合式（3）（4）（5）可得

这意味着序列{xn}是非增序列且有界．因此，对一切q∈Ω，极限d(xn,q)存在．由引理2 可知序列{xn}的渐进中心在D中．

对一切n≥1，有f(q)≤f(yn)．于是由式（7）可得

即可得

对式（9）取下极限可得

同理由式（5）可得

根据式（13）即有

由式（14）可得

由三角不等式、式（12）（15）以及Ti,i= 1,2 的非扩张性，可得

由式（12）（15）（16）可得

由式（16）（17）得到

定理1设D是完备CAT(0)空间(X,d)的一个非空闭凸子集，且非扩张映射T1,T2以及函数f、序列αn,βn,γn,λn、集合Ω 分别对应满足引理8 中条件（2）（3）（5）（6）（7），且S:D→KC(D)是集值非扩张映射，KC(D)表示非空紧凸子集族，则由表达式（3）所定义的迭代序列{xn}Δ-收敛于Ω中的一点．

证明：设ωΔ(xn)=∪A( {un})表示序列{xn}的所有子列{un}的渐近中心的并集；由引理8（a）可知序列{xn}是有界的．设p∈ωΔ(xn)，则存在序列{xn}的所有子序列{un}使得A( {un})={p}．由引理1 及引理2，存在序列{un}的子序列{νn}使得

由引理8中（c）-（e）可得

由Ti,S,Jλ的非扩张性以及引理6 可得ν=Jλν=T1ν=T2ν∈Sν．因此，可得

由于集值非扩张映射S是紧值的，对一切n∈N，存在rn∈Sνn,kn∈Sν，使得

由渐近中心的唯一性以及式（21）可得ν=k∈Sν．因此，设ϖ=F(T1)∩F(T2)∩F(S)，则由式（22）可得ν∈ϖ∩arg minx∈D f(x)= Ω．由引理8（a）以及引理3，则可得p=ν．因此，ωΔ(xn)⊆Ω．

最后，证明序列{xn}Δ -收敛于Ω 中的一个点．为此，只需要证明ωΔ(xn)恰好包含一个元素即可．

设{un}是{xn}的一个子列，A( {un})={u}，令A( {xn})={x}，由于u∈ωΔ(xn)⊆Ω 以及{d(xn,u)}收敛，由引理3，可得x=u，所以，ωΔ(xn)={x}，从而可知序列{xn}Δ -收敛于Ω中的一个点．定理证毕．

引理8 算法（3）中的两个单值非扩张映射一般是不相同的，当两个单值非扩张映射相同时，即T1=T2，引理8 和定理1 的结论依然成立，因此，可得推论1．

推论1假设下述条件是满足的：(X,d)是一个完备的CAT(0)空间，D是X的一个非空闭凸子集，f:D→(-∞,∞]是一个真凸下半连续函数，T:D→D是单值非扩张映射，S:D→KC(D)是集值非扩张映射，αn,βn,γn是( 0,1 )中的序列，0 ＜a≤αn,βn,γn＜1，αn+βn+γn= 1，∀n≥1，{λn}是一个序列使得对某些常数λ，以及一切n≥1，有λn≥λ＞1；Ω =F(T1)∩F(T2)∩F(S)∩arg minx∈D f(x)是非空的，且Sq={q},q∈Ω，对任意初值x1∈D，序列{xn}定义如下：

那么迭代序列{xn}Δ -收敛于Ω中的一点．