基于创新型人才培养的“随机过程”课程教学改革与实践

孔慧华，史 娜，宋 妮，王 鹏

（中北大学数学学院 山西 太原 030051）

数学学科知识是各领域创新人才知识结构的重要组成部分。“随机过程”作为一门研究随时间变化的随机现象统计规律性的数学学科，目前已在通信、控制、经济和管理等领域得到广泛应用[1]。“随机过程”课程的开设，有助于提高研究生的思维创造力、理论推导力以及研究和解决实际问题的能力。由于该课程的内容知识抽象、理论性强，因此对数理基础知识稍微薄弱的工科学生而言，将会出现无法把握该课程的基本理论知识与技能的问题，从而导致学生失去学习热情。为了满足我国创新型人才培养的需求，需要改变传统的教师单向传授、学生被动掌握的教学方法，建立促进学生全面发展、加强学生创新意识、增强学生创新实践能力的新的教学方法。

如何通过“随机过程”课程的教学激发研究生的创新意识、加强学生的创新应用能力，同时提高学生的学习效率，是“随机过程”课程改革应该进行深思和研究的问题。下面将从三方面进行探讨和分析。

1 激发学生的学习兴趣、培养学生的创新意识

1.1 改革理论教学内容

为了弱化“随机过程”课程基础理论性强和抽象难懂的特点，教师可在教学过程中介绍随机过程的发展演变历史、里程碑式的重大发现和与其相关的著名科学家的事迹。授课过程中可以引入随机过程的奠基人柯尔莫哥洛夫的“随机”人生，讲解爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作等。对于随机过程中的重要概念——平稳随机过程、各态历经性、功率谱密度等，介绍它们的发展历程、学术意义和应用价值。同时，可以根据不同背景学生的专业和培养要求，将随机过程的课程内容与各专业知识（经管、信息、控制）相结合。

1.2 问题导向式教学模式

为了充分调动学生对课程学习的兴趣，培养发展他们的实践创新能力，可在课堂教学活动中，针对一些重要概念与理论，由教师提出问题并引导学生进行思考，最后让学生探索这些概念与方法。例如讲授平稳过程各态历经性概念时，由教师提出问题“如何通过试验近似求得平稳过程的数学期望值呢？”引导学生思考“一种自然的方法是通过多次试验得到多个样本函数，用某个确定时间的试验平均值去近似数学期望值。这需要多个样本函数，然而，在工程技术中测量得到多个样本函数往往很难。”继续引导学生思考其他解决方案“充分考虑到平稳过程的统计特性不随时间推移而改变，那么能否通过一个样本函数近似计算平稳过程的数学期望和相关函数呢？”从而引出各态历经性概念。

问题导向式教学方式改变了“以讲为主”的课堂形式，将学生的被动认知转变为自主学习，调动了学生的积极性和主动性，使他们在思考中独立找到解决问题的研究方法。因此，在“随机过程”课程中，教师根据讲授内容的特点，精心设计问题，可以激发学生对课程的学习兴趣，有利于创新意识的培养。

2 理论与实际相结合，提高学生的创新实践能力

2.1 课堂案例教学：理论联系实际的桥梁

研究生学习数学的最终目的是使用数学，为了能够使学生体会到运用所学理论知识解决具体问题的乐趣，提高其对理论的认识，教师在讲述完随机过程的重要概念和定理之后，通过案例教学将理论与实际联系起来。如，在讲解完马尔科夫链的遍历性定理和平稳分布之后，为了提升学生对抽象理论的理解能力，提出下面的商品占有率问题。

案例：市场上甲、乙、丙三种型号的某品牌电风扇在四月份销量相同。五月份甲型号保持原有客户的60%，分别获得乙、丙型号客户的15%和30%；乙型号保持原有客户的70%，各自获得甲、丙型号客户的10%和20%；丙型号保持原有客户的50%，分别获得甲、乙型号客户的30%和15%。求五月份各型号电风扇的市场占有率及稳定状态时的市场占有率。

分析探讨：由于占有率具有无后效性，故这三种型号的电风扇在各个月份的占有率构成了一个马尔科夫链。由题目可知四月份各型号电风扇的占有率为1/3，同时获取该马氏链的一步转移概率矩阵，从而得到五月份各型号电风扇的占有率。又由于这个有限状态的马尔科夫链满足遍历性定理，因此它的极限分布，即稳定状态时的占有率是存在的。

所以五月份各型号电风扇的占有率为

因为在一步转移概率矩阵中，所有 =甲、乙、丙，故此马氏链具有遍历性。由遍历性定理可知马氏链的极限分布满足

所以这三种型号电风扇的稳定状态占有率为（0.359，0.327，0.314）。

通过对该问题的分析探讨和求解，学生对马尔科夫链的一步转移概率矩阵、遍历性、平稳分布等概念和定理有了更深刻的认识。诸如此类的案例还有很多，如在讲授布朗运动过程时，可以介绍2021年诺贝尔物理学奖获得者德国科学家哈塞尔曼的研究工作，他基于布朗运动理论，建立了随机气候学模型，并给出了寻求影响气候主因的最优指纹方法，从而能够分辨出人类活动和自然界局部改变对气候这一复杂系统的影响，真正实现学以致用。

“随机过程”的案例教学作为理论与实践的桥梁，可以让学生感受到应用随机过程理论知识处理现实问题的乐趣，深化对概念的认识，更好地服务于应用创新。

2.2 Matlab仿真教学：提高科学计算能力的重要手段

由于“随机过程”课程的基本概念比较抽象，使用Matlab软件模拟泊松过程、布朗运动和随机游动等，可以使学生更易于掌握随机过程的样本函数、状态这一类抽象性的基本概念，也能够更有效地帮助他们对随机过程教学中涉及的基本概念与理论建立起感性的理解，进而提高教学效果。下面以泊松过程为例给出其模拟过程。

设Xn服从参数为的指数分布，表示第n次和第n+1次事件发生的时间间隔，记

绘制（Sn，n）曲线即可获得泊松过程的一次实现，如图1所示。

图1 泊松分布样本曲线

借助Matlab软件编写简单的程序，抽象难懂的知识也可以转换成简单直观的图像，更生动易懂[2]。同时，利用Matlab软件还可以解决随机过程中很多问题复杂计算的求解，减少手工计算，增强学生基本的算法编写能力，使其感受课程的趣味与应用价值。

2.3 教学与科研相结合，开展实践性教学

教学和科研的完美结合是人才培养的重要手段和发展趋势。因此，在介绍每类随机过程的形成背景、定义原理和研究方法之后，根据教学内容科学合理选取相关课题，为学生进行科学研究提供思路，引导其逐步走上科研道路。如，在学习完平稳时间序列线性模型及预测后，可以让学生对股票的价格、城市的电力、房价或者GDP进行预测。要解决这些问题，学生首先需要获取相关数据，建立模型，利用Matlab软件对模型进行求解，最终获取相关模型并得到预测数据。通过对相关科研课题的研究不仅能够帮助学生加深对基础知识的认识与理解，而且学生还能学会如何应用相关随机过程知识分析实际问题并提供解决方案，同时也让学生体会到Matlab软件强大的计算能力。教学和科研相结合，可以从整体上全方位提升教学效果，最终达到培养学生科研能力和创新能力的目的。

3 提高学生的学习效率

3.1 促进教学科研型师资队伍的培养

要想达到高水平的研究生教育，就需要有一支高水平的师资队伍。授课教师在研究生的创新能力培养方面发挥着极其关键的作用。就“随机过程”这门课程来说，要求任课教师具有较高的学科素养和科研水平，能够形象地、浅显易懂地将抽象的数学课程讲解清楚，这势必会引起学生对该课程的浓厚兴趣[3]。因此，任课教师要不断了解学科发展前沿，将最新科学研究成果转化成课堂案例，为课堂教学不断引入新理论、新方法。

3.2 利用网络平台，实现分层次教学

计算机信息技术与互联网的广泛应用，给课程教学带来了前所未有的变化，利用网络平台学习通、云班课等介绍课程及相关领域的基本情况、教学信息等，并且为不同层次的学生准备了不同的辅助教学内容。

A层次：着重提高课堂质量，牢固掌握所学知识。针对这部分同学，将授课的视频、PPT课件和实际案例放在平台上，供学生课后复习。同时在网上设立测试系统，并提供课程的相关试题。

B层次：具有良好的数学基础，并且有志于从事科学研究和技术开发。针对这部分学生，在完成基本教学的基础上，进一步拓宽、加深某些数学内容，使学生能深入地掌握理论知识和数学思维。同时将与课程密切相关的论文与科研课题放在平台上，供学生阅读及深层次思考。

线上平台是传统线下教学的有效补充方式，通过线上线下的有机结合，可以引导学生由表面学习到深度学习。最终目的是增强学生主动学习的意识，养成自主学习的习惯，加强学生学习的深度和有效性。

4 结论

论文提出的以培养学生创新能力为目的的“随机过程”课程的教学模式改革与实践，能够充分调动学生的学习兴趣，深化学生对抽象理论的认识，提高学生理论联系实际的综合能力，有助于改变传统教学中“重基础理论、轻实际应用”的教学现状，以适应教育部对学生进行创新型、应用型人才培养的需要。