变荷载下考虑起始水力坡降与连续排水边界的固结解

李全军,陈余,金丹丹,李传勋

（1.江苏省地矿局第三地质大队，江苏 镇江 212001；2.江苏大学土木工程与力学学院，江苏 镇江 212013）

自太沙基创立一维固结理论以来，固结理论得到了快速发展[1-2]。在多数研究中，一般将地基排水边界处理为完全透水边界。但实际，当边界材料透水性不良时，土层的边界条件并不是完全透水的。同时，Terzaghi一维固结理论中确实存在着初始条件与边界条件不连续的事实，为此，梅国雄等[3]提出了边界排水情况随时间变化的连续排水边界条件，进而修正了太沙基一维固结理论。连续排水边界条件解决了Terzaghi一维固结理论中初始条件与边界条件间不连续的现象，其满足固结模型的初始条件和边界条件，且通过对界面材料透水性的控制，相关模型能适用于不同排水条件的软土地基，对连续排水边界下土体固结理论的研究具有一定的工程实际意义[3]。

目前，已经开展对连续排水边界下土体一维固结理论的相关研究[3-12]，但绝大多数研究基于连续排水边界的固结理论，均假定土中渗流遵从达西定律。而实际上软黏土中水的渗流规律可能存在偏离达西定律的现象[13-20]。例如，在水力坡降较低的情况下，土中水的实测流速很小。Miller等[21]认为此时可以完全忽略低水力坡降下软黏土中水的流速，即认为当且仅当水力坡降i大于起始水力坡降i0时，土中水才会渗流。基于以上认识，众多学者对考虑起始水力坡降的固结理论展开了研究[21-28]。但以上考虑起始水力坡降的固结理论均认为土层边界为完全透水或完全不透水边界，同时考虑连续排水边界和起始水力坡降影响的固结理论还很少见到。

考虑实际工程中施工荷载均随时间逐渐增加的事实，对变荷载下同时考虑连续排水边界和起始水力坡降的软土地基一维固结理论展开研究，建立其固结模型并获得近似解答，基于该解答着重分析边界系数b和起始水力坡降i0对固结性状的影响及不同工况下固结性状的异同。

1 固结模型的建立

如图1所示，无限均布的变荷载P(t)施加于厚度为H的均质地基上，土层性质为饱和黏性土，其中：渗透系数为kv；压缩模量为Es。除边界条件、外荷载及土中渗流规律外，作与Terzaghi一维固结理论相同的基本假定。

图1 软土地基一维固结模型Fig.1 One-dimensional consolidation model of soft ground

梅国雄等[3]在研究瞬时加载的连续排水边界（u（0,t）=qe-bt）的基础上，根据孔压叠加原理进一步得到了随时间变化的外荷载下的边界条件，文献[22]中对变荷载下的连续排水边界已有一定研究，其连续排水边界处的边界条件为

式中：b为界面系数，与界面材料性质有关，可通过实测孔压反演得到；u为超静孔隙水压力；t为时间；e为 常 数；τ为 积 分 变 量；P”(τ)为 变 荷 载 的 一 阶 导数；P(0)为变荷载的初始值。超静孔压的初始值为u(z,0)=P(0)。

由于起始水力坡降的存在，渗流过程中存在着移动边界问题，在渗流移动边界处及以下的超静孔压没有变化，故移动边界处的超静孔压应满足[15]

式中：z为深度；h（t）为t时刻移动边界距离透水面的距离；P(t)为变荷载；i0为起始水力坡降；γw为水的重度。土中水的渗流遵循起始水力坡降的渗流模型，其表达为[14]

式中：v为黏土层中水的流速；kv为黏土层的渗透系数；i为水力坡降。以式（4）所表达的渗流模型为基础，根据土中单元体流入与流出的流量差等于单元体的体积改变量，得到变荷载下考虑起始水力坡降的一维固结控制方程

式中：cv为固结系数，cv=kvEs/γw。

2 单面排水下模型的解析求解

前面已建立了变荷载下考虑起始水力坡降的单面排水固结控制方程及其初始条件与边界条件。为得到解析解答做如下变量代换，令

式中：w（z,t）为关于深度z与时间t的待定函数。

控制方程（5）变为

式中：f(t)为定解方程中关于外部荷载的待定函数，其表达式为

其定解条件变为

将定解函数w(z,t)和f(t)进行傅里叶展开

将式（12）和式（13）代入式（7）得

求解式（14）得到其通解

代入式（12）得

将w(z,t)代入定解条件w(z,0)=P(0)-i0γwz中，根据正弦函数的正交关系

故渗流前锋未到达土层底面的超静孔隙水压力的表达式为

式中：

根据式（2），移动边界的位置随时间的变化规律为

渗流前锋到达土层底部时孔压表达式为

式中：

2.1 单级加载下加荷阶段的解析解

单级加载为变荷载达到稳定值qc前荷载大小与时间成正比例函数关系，荷载达到最大值后保持恒定不变。单级加载随时间变化的函数关系为

式中：tc为外荷载达到最大值的时间。

当0＜t＜tc时，外荷载处于加荷载阶段，将式（21）代入式（14）得单级加载下超静孔压内关于时间t的定解函数wn（t）所满足的微分方程关系式

在处理移动边界问题时，需要将t时刻下移动边界距离排水面的位置假定为常数h，对式（22）进行Laplace变换，令Y（s）=L[wn（t）]，得到时间函数Tn（t）的像函数为

再利用Laplace逆变换对式（23）进行求解，得

式中:

将式（24）代入式（6）和式（12），得到处于加荷阶段的超静孔压表达式

式中：

若该时段内移动边界未到达土层底面，则移动边界位置变化规律应满足式（2）和式（25），其表达式为

将式（26）中各参数无量纲化后，得到移动边界X随时间因子Tv变化的关系式

若该时段内渗流前锋能到达土层底面，设移动边界到达土层底部的时间为tH，则当tH＜t＜tc时，移动边界处于土层底部且不再变化，即h(t)=H，此时超静孔压表达式为

式中：

2.2 单级加载下恒载阶段的解析解

当tc＜t时，外荷载已处于恒定不变的值qc，该时段内的关于t的定解微分方程为

同样，对式(29)进行Laplace变换，得到该式解的像函数为

通过对式（30）进行Laplace逆变换，得到恒载阶段的w（z,t），进而得到超静孔压的表达式

式中:

当固结时间t→∞时，此时渗流移动边界仍然未到达土层底部，残留孔压沿土层深度分布为

若渗流移动边界已经到达土层底部，则残留孔压沿土层深度分布为

移动边界X随时间Tv的变化规律为

若移动边界到达土层底部，此时超静孔压表达式为

式中：

3 模型的固结度解答

3.1 单级加载下加荷阶段的固结度

若在该阶段渗流前锋始终不能到达土层底面，按孔压定义的平均固结度计算式

将式（25）代入式（36），得到该模型下加荷阶段的平均固结度为

根据有效应力原理

结合应力—应变关系，得到沉降量

同样地，根据有效应力原理，将式（32）代入式（38），同时结合应力—应变关系，可以得到地基最终沉降量的计算公式

进而得到按变形定义的平均固结度

若在该阶段渗流前锋已经到达土层底面，即h（t）=H（X=1），按孔压定义的平均固结度表达式为

式中：

若移动边界最终能到达土层底面，其按变形定义的平均固结度为

3.2 单级加载下恒载阶段的固结度

若在该时段内移动边界始终未到达土层底部，则按孔压定义的平均固结度为

该时段内沉降量随时间变化的表达式为

根据式（39）及式（42），可以得到按变形定义的平均固结度

若渗流移动边界到达土层底部，则按孔压定义的平均固结度表达式为

式中：

若渗流移动边界最终能到达土层底部，按变形定义的平均固结度表达式为

4 解析解的退化

4.1 退化为达西定律连续排水边界下的固结解

水力坡降i0的存在导致土中渗流不满足达西定律，故令i0(R)=0，则模型可以退化为仅考虑连续排水边界的渗流模型。

1）当0≤t＜tc时，超静孔压的表达式退化为

式中：

沉降量为

2）当tc≤t时，该时段下外荷载达到峰值且不再变化（P(t)=qc），此时孔压表达式退化为

式中：

沉降量的表达式退化为

4.2 退化为完全透水边界下的固结解答

b越大，边界透水性越好，因此，若b趋近于∞，则连续排水边界可以退化为完全透水边界。

1）当0≤t＜tc时，超静孔压的表达式退化为

式中：

移动边界X关于时间因子Tv的变化规律退化为

沉降量的表达式退化为

2）当tc≤t时，超静孔压表达式退化为

式中：

则移动边界X随时间因子Tv的变化规律为

沉降量的表达式为

以上解答退化为文献[27]中变荷载下考虑起始水力坡降的一维固结解析解。

这些退化解均是解析解的特例，进一步验证了解析解的可靠性。

5 固结性状分析

影响固结模型性状的主要因素是变荷载的加载速度、起始水力坡降及边界透水性能3个方面，具体体现为无量纲时间因子Tvc、无量纲变量R及无量纲变量B对固结性状的影响，相关计算参数见表1。

表1 固结性状计算参数Table 1 Calculation parameters of consolidation characters

5.1 起始水力坡降对固结性状的影响

由于起始水力坡降i0的存在，导致土层在固结过程中存在移动边界现象，并且土中的超静孔压在固结完成后并不能完全消散。若移动边界能到达土层底面，则整个土层均会发生渗流固结；若渗流锋面最终不能到达土层底面，则仅移动边界之上的土层才发生固结，移动边界之下的土层中超静孔压则保持与外荷载大小一致。

图2（a）、（b）分别给出当R(i0γwH/q0)＞1和R≤1情况下的移动边界随时间的发展过程。可以发现，当R≤1时，移动边界能到达土层底面；当R＞1时，移动边界不能到达土层底面，且其最终到达的位置刚好是1/R。且移动边界的位置在施加荷载后瞬间发生变化，由排水面向不排水面方向移动。R值的大小对移动边界移动速率的大小影响较大，表现为R值与移动边界的速率成反比。R值越大，移动边界下移速率越小；R值越小，渗流移动边界下移速率越大。

图2 R对X-Tv曲线的影响Fig.2 Influences of R on the X-Tv curves

图3为Tv=0.35时刻的超静孔压分布图。

由图3可知，R值越大，该时刻下超静孔压越大，当R=0时，同一深度处土中超静孔压最小。这说明超静孔压消散速率随R值的增大而逐渐减小。

图3 R对u/qc-z/H曲线的影响(Tv=0.35)Fig.3 Influences of R on the u/qc-z/H curves(Tv=0.35)

图4为z/H=0.7处不同R值下超静孔压随时间消散过程，可发现R=0时超静孔压消散速度最快，且R越大，超静孔压消散速率越小。当渗流规律满足达西定律时，超静孔压能够最终消散至0，反之，超静孔压不能最终消散至0。

图4 R对u/qc-Tv曲线的影响(z/H=0.7)Fig.4 Influences of R on the u/qc-Tv curves(z/H=0.7)

图5为不同R值下土层固结度随时间变化的曲线，同样反映了土层中超静孔压的消散规律。可发现，当固结最终完成时，其最终平均固结度的大小随着R值的增大而减小。当R等于0时，土层的最终平均固结度能达到100%。

图6为不同R值下沉降量S随时间变化曲线，同样反映了图5中描述的固结性状。可发现，当固结最终完成时，其最终沉降量的大小随着R值的增大而减小。

图5 R对Up-Tv曲线的影响Fig.5 Influences of R on the Up-Tv curves

图6 R对S-Tv曲线的影响Fig.6 Influences of R on the S-Tv curves

5.2 不同边界条件对固结性状的影响

由式（1）可知，在土层厚度不变的情况下，通过改变无量纲变量B（bH2/cv），可得到具有不同排水能力的边界条件。边界透水性能的好坏与B值成正比，B值越小，排水面的透水能力越差；B值越大，排水面的透水能力越好，且当B值足够大时，其边界条件则退化为完全透水边界。

由于超静孔隙水压力的消散，渗流前锋会随着固结时间的推移而逐渐下移。如图7所示，B值越小，边界透水情况越差，移动边界到达底部的时间越长；B值越大，边界透水情况越好，移动边界到达土层底部的时间越少。当边界条件为完全透水边界时，移动边界下移速度最快。

图7 B对渗流移动边界的影响Fig.7 Influences of B on the moving boundary of seepage flow

图8为Tv=0.35时超静孔压随深度分布曲线图。从图中可以看出超静孔压随深度的分布规律，即同一深度处超静孔压值随B值的增大而逐渐减小，且当B取无穷大时，残留的超静孔压值最小。说明在该时刻超静孔压在完全透水边界下消散速度最快。

图8 B对u/qc-z/H曲线的影响(Tv=0.35)Fig.8 Influences of B on the u/qc-z/H curves(Tv=0.35)

图9为z/H=0.5处超静孔压随时间变化的曲线，该曲线进一步描述了图7所展示的消散规律及边界透水情况对超静孔压消散的影响。B值越大，边界透水性越好，相同深度处的超静孔压消散速率越大，同时也越接近于完全透水边界条件下的超静孔压随时间分布的曲线。

图9 B对u/qc-Tv曲线的影响Fig.9 Influences of B on the u/qc-Tv curves

图10为固结度随时间发展曲线图，上述固结性状在图10中得到进一步展示。从图10可以发现，B值越大，相同时间下地基固结度越高，且完全透水边界下土层的平均固结度最大。

图10 B对固结度Up的影响Fig.10 Influences of B on the consolidation degree Up

图11为沉降量随时间发展曲线图，从图11可以发现，B值越大，固结完成之前同时刻下沉降量越大，且边界透水情况对最终沉降量无影响。

图11 B对沉降量S的影响Fig.11 Influences of B on the steelement amount S

5.3 施加荷载速率大小(Tvc)对固结性状的影响

针对外荷载加载速率对固结性状的影响，选取不同Tvc值对超静孔压及按空压定义的平均固结度进行固结性状分析。

如图12所示，土层中同一位置处的超静孔压与荷载施加完成的时间因子Tvc(Tvc=0.1、0.2、0.5、0.8、1.2、1.5)息息相关，Tvc越小，移动边界到达土层底部的时间越短，超静孔压达到最大时的值越大，且超静孔压达到最大值的时间越短。

图12 Tvc对u/qc-Tv曲线的影响Fig.12 Influences of Tvc on the u/qc-Tv curves

图13所示为按孔压定义的平均固结度随时间变化的曲线，可以发现，相同时间下加载时间Tvc越小，土层固结度越大。随着加载速率的减小，土层固结速率逐渐缓慢，到固结后期，这种现象逐渐消失。由图可知，Tvc的变化不影响平均固结度的最终大小，且该固结性状可以由图11中超静孔压随时间变化曲线得到进一步证明。

图13 Tvc对Up-Tv曲线的影响Fig.13 Influences of Tvc on the Up-Tv curves

图14表示沉降量随时间变化的曲线，加载时间Tvc越小，加载速率越大，固结完成前同时刻下地基沉降量越大。其加载速率大小对最终沉降量没有影响。

图14 Tvc对S-Tv曲线的影响Fig.14 Influences of Tvc on the S-Tv curves

6 结论

考虑实际中的变荷载、土中存在的起始水力坡降及不同透水性能的排水边界条件，以传统Terzaghi一维固结理论为基础，重新建立并推导单级荷载下考虑起始水力坡降和连续排水边界的一维固结控制方程及其解析解，结论如下：

1）给出了基于变荷载下连续排水边界和起始水力坡降的软土一维固结的解析解答，并给出了特殊的单级加载下该模型的固结解析解。目前考虑起始水力坡降在完全透水边界下的固结解和达西定律下考虑连续排水边界的固结解均是本文解析解的特例。

2）本文解为变荷载下同时考虑连续排水边界和起始水力坡降的固结问题提供了固结计算的理论支撑。

3）与在完全透水边界下相比，连续排水边界下起始水力坡降和加载速率对软黏土固结性状的影响并未发生明显改变。在考虑连续排水边界的情况下，与完全透水边界下相比，加载速率的大小对软土固结性状的影响并未发生明显改变。连续排水边界对起始水力坡降所引起的移动边界下移速度影响较大，其透水性越好，移动边界下移速度越快。