飞轮电池转子系统建模及稳定性分析

2023-02-27 12:39刘晋霞臧丽伟刘宗锋
机械设计与制造 2023年2期
关键词:涡动电磁力磁力

刘晋霞,臧丽伟,刘宗锋

(山东科技大学交通学院,山东 青岛 266590)

1 引言

虽然目前化学电池的储能技术已经较为成熟,但存在的环境污染严重、充放电次数受限、受温度影响大、能量转换率低等问题不可忽视,航空航天、电动汽车、电力电网等许多领域迫切需要一种新型储能技术来满足更可靠的能源需求。飞轮电池逐渐走入了人们的视野,作为是一种新兴的储能设备,它突破了化学电池的局限,具有巨大的市场潜力。磁悬浮飞轮电池以其放能深度深、转换效率高、充电时间短、使用寿命长、无污染、无噪声等优点[1]成为了当前前景最广阔的动力电池之一。

高速旋转的转子是飞轮电池中储存能量的核心部件,由于各种因素影响导致转子的质心偏离,在高速旋转下会产生陀螺效应[2],进而激发转子的进动,加上高速旋转时产生的章动就形成了涡动。强烈的转子涡动会降低飞轮电池的控制精度和稳定性,严重时会导致飞轮电池直接损坏[3]。因此飞轮电池在加工制造过程中需要进行严格的计算和建模,通过精准地控制转子振动,以保证转子在理想的范围内运转,对飞轮电池动力学研究具有重要的意义。

转子系统动力学模型是系统振动分析、稳定性研究的基础,精确地建模直接关系到研究结果的准确性。目前关于飞轮电池转子动力学模型的研究较多,但建立出接近实际情况的数学模型少之又少,要么忽略了陀螺效应,要么忽略了弹性轴承的影响。例如,文献[4]建立的车载飞轮电池刚性磁悬浮转子的五自由度数学模型,研究了转子随汽车运动的振动情况,但忽略了陀螺效应的影响,导致结果与实际工作状态相差甚大。文献[5]介绍了受外界激励下的飞轮转子模型的建立过程,仿真出对模型施加PID控制后的径向振动图,但是转子的陀螺效应力矩和电磁力的公式出现了错误,出现了本质上的错误。文献[6]指出高速转子系统的轴承具有一定的弹性,支承高速飞轮转子的轴承需计及其弹性。文献[7]在磁悬浮转子系统中考虑了陀螺效应、非线性电磁力以及转轴弹性的影响,根据仿真结果得出磁悬浮转子系统的非线性与轴承的弹性都不可忽略。文献[8]建立了五自由度磁悬浮轴承-转子系统的耦合动力学模型,着重介绍了系统运动学方程以及控制系统模型建立的过程,有很好的借鉴作用。文献[9]基于机电动力学原理,计算出各部件的动能、势能、耗散能公式,然后利用拉格朗日法推导二阶微分方程,建立了飞轮储能系统的非线性动力学模型。文献[10]建立了五自由度飞轮储能系统转子动力学微分方程后,并仿真了系统的振动特性,仿真和实验结果表明径向磁力轴承产生的力矩具有抑制系统振动响应的作用。

基于以上分析,综合考虑了飞轮转子的陀螺效应、弹性轴承、内部阻尼和刚度以及分散PID控制下的电磁力的影响,运用拉格朗日法推导转子-轴承系统的涡动微分方程。为了研究系统的稳定性,根据微分方程计算出特征方程的特征值,采用最大特征值原理判断转子系统随角速度变化的稳定性,并通过仿真进一步验证最大特征值原理的正确性。

2 飞轮电池的结构及模型假设

2.1 飞轮电池的结构

磁力轴承采用主动式磁悬浮轴承,发动机/电动机为复合电机。采用立式飞轮储能系统装置,飞轮电池结构,如图1所示。

图1 飞轮电池结构Fig.1 Structure of Flywheel Battery

2.2 飞轮电池的模型假设

采用集中质量法,转轴简化为无质量的弹性轴,以及飞轮转子简化为有质量的刚性圆盘,建立模型之前首先对模型作出以下假设:

(1)飞轮转子视为刚性圆盘,忽略其重力的影响;(2)转轴为等直圆轴,不计其质量,具有一定的弯曲刚度和扭转刚度;(3)磁力轴承视为弹性支承轴承;(4)只研究转子系统径向位移和偏转运动,忽略轴向位移及轴向磁力轴承的作用;(5)系统真空度满足设计要求,不计风损的影响。飞轮转子偏置安装在转轴上,转轴两端由轴承A、B支承,磁力轴承简化为弹性支承,电磁力以刚度和阻尼的形式加载到转子系统上,kx—电磁力等效刚度;cx—电磁力等效阻尼。mf—飞轮转子的质量;mA、mB—磁力轴承质量。飞轮转子与磁力轴承A的距离为a,与磁力轴承B的距离为b,其半径为r,极转动惯量与赤道转动惯量分别为Jp,Jd。转轴的直径为D,长度为L,弹性模量为E,横截面惯性矩为I。在转子运动的任意瞬时,两端磁力轴承的坐标分别为A(xA,yA),B(xB,yB);转子的形心坐标为o1(x,y),o为固定坐标系原点,转子偏转角为θx,θy,c为转子质心。设转子偏心距为e,转子自转角速度为Ω。转子系统的动力学模型,如图2所示。具体参数[11],如表1所示。

表1 飞轮电池模型参数Tab.1 Parameters for the Flywheel Battery Model

图2 飞轮电池动力学模型示意图Fig.2 Schematic of Dynamic Model of Flywheel Battery

当系统产生涡动时,各轴承均有两个横向位移自由度,飞轮转子除了两个横向位移外,还包括两个方向上的空间转动。因此,选取车载飞轮电池共计8个自由度,即q={x,θy,xA,xB,y,θx,yA,yB}T。

3 PID控制下的电磁力分析

3.1 飞轮转子电磁力计算

飞轮电池利用两端磁力轴承产生的电磁力将飞轮转子悬浮在真空中,在每个自由度上轴承磁铁采用差动激励的方式将偏移的转子恢复至中心位置。磁力轴承通过控制系统控制电流大小以产生可控的电磁力,在飞轮转子系统中提供刚度和阻尼,具有无磨损、无需润滑、高转速、动态特性可调等突出优点[12]。

转子受扰动时的非线性电磁力为:

式中:μ0—真空磁导率;A0—轴承定子电磁铁单磁极面积;N—线圈匝数;I0—磁力轴承的偏磁电流;i—动态电流;c0—磁力轴承定子与转子间的空气间隙;ξ—转子受到扰动产生的偏移量。

由式(1)可知电磁力是关于电流和位移的二元非线性关系,为便于计算,将电磁力应用Taylor级数展开,对电磁力在平衡点附近的近似计算,保留电磁力的二次非线性项[13]得线性电磁力为:

3.2 PID控制下的电磁力

为了减少转子产生的运动偏差,提高转子的控制效率,采用分散PID 控制策略对系统进行控制。整个控制系统由PID 控制器、功率放大器、电磁铁、转子以及位移传感器组成,分散PID控制系统结构框图,如图3所示。

图3 PID控制系统结构图Fig.3 Structure Diagram of PID Control System

经控制后的电流为:

式中:kp—控制系统的比例系数;kd—控制系统的微分系数;ixA和ixB—x方向的控制电流;iyA和iyB—y方向的控制电流。

将式(3)代入到式(2)中,即可得飞轮电池在分散PID控制下的电磁力:

为了便于计算,记kx=ks-kikp,cx=-kikd。

4 飞轮电池动力学模型的建立

4.1 转子-轴承系统的动能

o1xz与o1yz平面内转子-轴承系统的动能为:

由陀螺效应引起的转动动能为:

则转子-轴承系统总动能为:

4.2 转子-轴承系统的势能

令x,y和θy,θx分别为转子形心o1在o1xz面与o1yz面内的绝对位移和偏转角,xA,yA和xB,yB分别为两端轴承A和B在o1xz面与o1yz面内的绝对位移,转子在o1xz平面和o1yz平面投影简图,如图4所示。

图4 转子在二维平面上的投影Fig.4 Projection of the Rotor on Two-Dimensional Plane

设x1,y1和θy1,θx1表示不计转轴弯曲变形时,由于轴承弹性变形引起的转子形心位移和偏转角,称之为弹性位移;x2,y2和θy2,θx2表示转轴弯曲时转子的形心位移和偏转角,称之为刚性位移。在任意瞬时,转子形心坐标及偏转角与弯曲变形、弹性变形引起的位移和偏转角的关系为:

假设转子系统与轴承等材料参数关于o1z轴对称,o1xz面的弹性势能与o1yz面内的弹性势能互不耦合,因此两平面内的转子系统的刚度矩阵完全相同。以o1xz平面的势能表达式为例,进而可求出整个转子系统的弹性势能。选o1xz平面内非刚体自由度(转子的位移和偏转角)的广义坐标:qx={x θy}T,刚体自由度(两端弹性磁力轴承的位移)的广义坐标:qb={xA xB}T。刚体自由度qb在非刚体自由度上引起变形的坐标:qx1={x1θy1}T,排除刚体自由度在非刚体自由度引起变形后的系统称为全约束系统,全约束系统的坐标:qx2={x2θy2}T。这里选qx和qb为广义坐标,而qx1和qx2是不独立的。

在任意瞬时,两端弹性磁力轴承位移引起的转子形心位移和偏转角与两端轴承位移的几何关系:

式中:Φ—偏置矩阵,Φ=反映弹性磁力轴承对转子位移的影响。

则全约束系统变形等于转子系统总变形减去弹性磁力轴承引起的变形为:

则在o1xz平面内转子形心处转轴的弹性势能表达为:

式中:K—计及弹性磁力轴承影响的转子系统在o1xz平面内的刚度矩阵,K=Kc—不计弹性轴承时仅考虑转轴弯曲变形的刚度矩阵,可通过柔度矩阵求出。基于影响系数法,受单位力作用后,转子位移为α11,偏转角为α12。

式中:横截面惯性矩I=

受单位力矩作用后,转子的位移为α21和偏转角为α22。

因此,柔度矩阵为:

根据互逆关系可得刚度矩阵Kc为:

则K11=Kc,K12=-KcΦ,K21=-ΦTKc,K22=ΦTKcΦ。即可求得K,进而求出Vx。由于o1xz平面内的弹性势能与o1yz平面内的弹性势能相同,即Vx=Vy。

两端磁力轴承的势能为:

将转子与轴承的弹性势能相叠加,即可得出整个转子-轴承系统得弹性势能

4.3 转子系统阻尼耗散函数

转子涡动时的耗散函数由两部分组成:

式中:ζ1—由转子轴向阻尼c1引起的耗散。

ζ2—由转子偏摆方向阻尼c2引起的耗散,

4.4 广义力

转子系统在旋转过程中受到离心力以及电磁力的影响,则系统各自由度的广义力为:

4.5 转子-轴承系统的涡动微分方程

将式(4)、式(7)、式(17)、式(18)及式(19)代入第二类拉格朗日方程,即可得飞轮电池转子-轴承系统的稳态涡动微分方程:

其中,

5 飞轮电池的稳定性分析

转子失稳增强,涡动幅值就会增大,严重时会造成不稳定的非线性运动。为了抑制涡动的深度影响,应首先分析转子系统的动力稳定性。将电磁力左移,则稳态涡动微分方程线性化为:

转子系统的特征方程为:

令:

求解系统稳定性等价于求特征方程的特征值问题。在陀螺矩阵G中可以看出,当系统的角速度发生变化时,转子系统的性质会随之变化,进而系统的特征值也会发生变化。计算不同角速度下系统的特征值,该系统共有16个特征值,即8对共轭特征值。由李雅普诺夫判定定理可知,特征值实部决定模态的稳定性,实部全为负值时代表系统稳定,实部至少有一个正值时代表系统失稳;特征值虚部的绝对值表示模态相应的振动频率[14]。为了减少数据而又不失准确性,将李雅普诺夫判定定理改进为最大特征值法判断系统的稳定性,即最大特征值实部若为负值则系统收敛,最大特征值实部若为正值则系统发散。系统最大特征值随转速变化曲线,如图5所示。第一阶段(0~1180)rad/s,系统最大特征值为负值,振动频率在600Hz附近,此时系统处于稳定运转状态;当达到第二阶段(1180~1370)rad/s时,系统的最大特征值位于复平面的右侧,即为正值,此时振动频率达到2300Hz以上,即说明转子系统在此区域内系统出现颤振失稳,发生剧烈不稳定运动。当系统到达第三阶段(1370~4500)rad/s后,系统最大特征值再次变为负值,振动频率也随之降低,系统恢复稳定运动。当角速度增大到一定程度后(低于最大角速度),增大角速度不会明显改变系统的运行状态,系统保持在一定的频率下进行稳定地运转。

图5 最大特征值随角速度变化曲线Fig.5 Variation Curve of Maximum Eigenvalue with Angular Velocity

为验证该稳定性判定方法切实可行,通过仿真绘制系统的涡动响应。任意取500rad/s、1200rad/s以及3000rad/s表征系统在三个阶段振动特性,如图6~图8所示。

图6 Ω=500rad/s时的涡动响应Fig.6 Whirling Response at Ω=500rad/s

根据图6可观察出,系统在500rad/s时稳定地涡动,振动位移很小,相图和Poincare图呈封闭环形,振动频率为621.1Hz。图7中,系统在1200rad/s时振动位移增大,相图展示出强烈的涡动现象,Poin‐care图呈现不规律的散点,振动频率为2326Hz。由图8可知,系统在3000rad/s时振动位移减小,相图和Poincare图再次呈现出封闭圆环,振动频率为761.7Hz。以上仿真结果与最大特征值法的数据结果一致,因此,最大特征值法可以准确地判断系统的稳定性。

图7 Ω=1200rad/s时的涡动响应Fig.7 Whirling Response at Ω=1200rad/s

图8 Ω=3000rad/s时的涡动响应Fig.8 Whirling Response at Ω=3000rad/s

6 结论

以立式飞轮电池转子-轴承系统为研究对象,研究了在PID控制下八自由度飞轮转子的建模过程,分析了转子随角速度变化的系统稳定性。为把飞轮电池涡动问题简单化而又不失真,在建模的过程中采用集中质量法将其简化为弹性轴承偏置转子模型,再应用拉格朗日法建立系统涡动微分方程,推导出符合实际结构的飞轮电池动力学模型。为了研究系统的稳定性,将李雅普诺夫判定定理改进为求系统最大特征值,通过最大特征值判断系统随角速度变化的稳定性,并结合仿真进一步验证了最大特征值原理的正确性。

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