人船模型及拓展

韩元华

(山东省济南市章丘区第四中学)

人船模型,不仅是动量守恒问题中典型的物理模型,也是最重要的力学综合模型之一.利用人船模型及其典型变形,通过类比和等效方法,可以使许多动量守恒问题解答变得简单便捷.

模型构建在平静的湖面上停泊着一条长为L,质量为M的船,如果有一质量为m的人从船的一端走到另一端,求船和人相对水面的位移各为多少?

模型剖析设人从船的一端走到另一端所用时间为t,人、船的速度分别为v人、v船,由人、船整个系统在水平方向上满足动量守恒定律,有mv人－Mv船＝0,即

图1

模型拓展1由船上一个人的运动拓展为多个人的同时运动,同时停止:由模型特征可知,船后退的距离,分式中的分子m为船上一端移到另一端的“净质量”.要正确理解“净质量”的含义.

示例1如图2所示,在光滑的水平地面上有一辆平板车,车的两端分别站着人A和B,A的质量为ma,B的质量为mb,ma＞mb.最初人和车都处于静止状态.两人同时由静止开始相向而行,车的质量为M,A和B同时到达车的另一端后停止.求车后退的距离.

图2

模型拓展2由船上一个人的运动拓展为多物体的先后运动:由模型特征可知,船后退的距离s船＝,只和从船的一端移动到另一端的“净质量”有关,和“净质量”移动的时间无关.

示例2在冰面上静止着质量为M、长为L的车,车的一端由一名士兵用实弹射击在车另一端的靶子,已知士兵与其武器装备的质量为m,每颗子弹的质量为m1,当士兵发射了n1颗子弹后稍作休息,又发射了n2颗子弹,并全部击中靶子,求车后退的距离.

答案

模型拓展3把水平方向的问题拓展为竖直方向:由可知,知道了船或人的一方的位移,就知道了另一方的位移.

示例3总质量为M的气球下端悬着质量为m的人,静止于高度为h的空中,欲使人能完全着地,绳长至少应为多长? (人可视为质点)

答案L＝(h是人相对于地的位移).

模型拓展4把水平方向的直线运动问题拓展为水平方向的曲线问题:小球下滑过程中整体动量并不守恒,但整体在水平方向上动量守恒.

示例4质量为M的物体静止在光滑水平面上,其上有一个半径为R的光滑半圆形凹面轨道,把质量为m的小球自轨道右侧与球心等高处由静止释放,求M向右运动的最大距离.

答案

例1如图3所示,质量为M的滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动,质量为m的小球与滑块上的悬点O由一不可伸长的轻绳相连,绳长为L.开始时,轻绳处于水平拉直状态,小球和滑块均静止.现将小球由静止释放,当小球到达最低点时,滑块刚好被一表面涂有黏性物质的固定挡板粘住,在极短的时间内速度减为零,小球继续向左摆动到绳与竖直方向的夹角为60°时达到最高点.滑块与小球均视为质点,空气阻力不计,重力加速度为g,则以下说法正确的是( ).

图3

A.绳的拉力对小球始终不做功

B.滑块与小球的质量关系为M＝2m

例2如图4所示,将一质量为M、半径为R内壁光滑的半圆槽置于光滑的水平面上,现从半圆槽右端入口处由静止释放一质量为m(M＞m)的小球,则小球释放后,以下说法正确的是( ).

图4

A.小球能滑至半圆槽左端槽口处

C.若开始时小球在半圆槽最低点且小球有方向向左大小为v0的初速度,则小球再次回到半圆槽最低点时的速度大小为

D.若开始时小球在半圆槽最低点且小球有方向向左大小为v0的初速度,如果小球能从左侧槽口飞出,则离开槽口后还能上升的最大高度为H＝

小球和半圆槽组成的系统水平方向不受外力,水平方向动量守恒且总动量为零,当小球到半圆槽左端最高处时,小球和半圆槽速度相等,由动量守恒定律知,速度为零,结合机械能守恒定律可知小球能滑至半圆槽左端槽口处,故选项A 正确.

设小球滑至半圆槽最低点时半圆槽的位移大小为x,取向左为正方向,由系统水平方向动量守恒可得,故选项B错误.

若开始时小球在半圆槽最低点且小球有方向向左大小为v0的初速度,设小球再次回到轨道最低点的速度大小为v1,槽的速度大小为v2,取向左为正方向,根据动量守恒定律得mv0＝mv1＋Mv2.根据机械能守恒定律可得,联立解得,另一解为v0舍去,故选项C正确.

若开始时小球在半圆槽最低点且小球有方向向左大小为v0的初速度,如果小球能从左侧槽口飞出,取向左为正方向,根据动量守恒定律可得mv0＝(m＋M)vx.

总之,人船模型是一个重要的物理模型,在学习过程中要熟练掌握模型特征的推导、模型特征的推论和拓展,这样才能在解题中高效应用.

(完)