动量守恒定律的应用重在“四个”选取

2023-02-27 05:42魏于凯高爱虎刘荣良刘立毅正高级教师
高中数理化 2023年2期
关键词:参考系物块动量

魏于凯 高爱虎 刘荣良 刘立毅(正高级教师)

(1.山东省德州市第一中学 2.山东德州实华化工有限公司)

动量守恒定律是力学中的一个重要定律,应用广泛,然而并不是所有的力学过程都能应用动量守恒定律求解,因为动量守恒是有条件的,动量守恒定律的应用重在“四个”选取.

1 正确选取守恒条件

动量守恒定律成立的条件有三种:1)理想守恒:系统不受外力或所受外力的矢量和为0;2)近似守恒:系统所受外力的矢量和不为0,但内力远大于外力;3)单向守恒:系统所受外力的矢量和不为0,但在某方向上合力为0(或该方向上内力远大于外力),系统在该方向上动量守恒.只要满足上述三种条件之一,系统的动量或某方向的动量就守恒.由此可知,在应用动量守恒定律前,首先要判断系统是否满足动量守恒的条件.

例1如图1所示,光滑水平面上有两个等高的滑板A和B,质量分别为mA=1kg,mB=2kg,A右端和B左端分别放置物块C、D,物块质量为mC=mD=1kg,A和C以相同速度v0=10 m·s-1向右运动,B和D以相同速度kv0向左运动,在某时刻发生碰撞,作用时间极短,碰撞后C与D粘在一起形成一个新滑块,A与B粘在一起形成一个新滑板,物块与滑板之间的动摩擦因数均为μ=0.1.重力加速度g取10m·s-2.

图1

(1)若0<k<0.5,求碰撞后瞬间新物块和新滑板各自速度的大小和方向;

(2)若k=0.5,从碰撞后到新滑块与新滑板相对静止时,求二者相对位移的大小;

(3)若k=0.5,碰后二者相对滑动过程中,当新滑板速度达到0.5m·s-1时,进入一段μ′=0.01的粗糙水平面,求新滑块与新滑板刚刚达到速度相等瞬间的速率.(结果可用分数表示)

解析

(1)设向右为正方向.物块C、D碰撞过程中满足动量守恒,设碰撞后物块C、D形成的新滑块的速度为v物,则有

(2)若k=0.5,可知碰后瞬间物块C、D形成的新滑块的速度为v物=5(1-k)m·s-1=2.5 m·s-1,碰后瞬间滑板A、B形成的新滑板的速度为v滑=,可知碰后新滑块相对于新滑板向右运动,新滑块向右做匀减速运动,新滑板向右做匀加速运动.新滑块的质量为mCD=2kg,新滑板的质量为mAB=3 kg,根据动量守恒定律得mCDv物=(mAB+mCD)v共,解得相对静止时的共同速度为v共=1m·s-1.根据能量守恒定律得

点评

正确判断系统是否满足动量守恒的条件是解决本题的关键.第(1)问,A、B碰撞和C、D碰撞过程作用时间极短,内力远大于外力,满足动量守恒条件2).第(2)问,由于地面光滑,新滑块和新滑板作用过程所受外力的矢量和为0,满足动量守恒条件1).第(3)问,系统进入粗糙区域前,动量守恒,可用动量守恒定律求解;系统进入粗糙区域后,由于水平面的摩擦力作用,系统动量不再守恒,可用动量定理求解.

2 准确选取作用过程

系统的动量守恒,不是仅有初、末两状态动量相等,而是在研究的整个过程中总动量一直保持不变.动量守恒的条件是否满足,与研究过程的选取密切相关.当系统经历多个过程时,如果系统的动量在整个过程中不守恒,而在某个子过程中守恒,我们可以选取该子过程进行研究,从而应用动量守恒定律.

例2如图2所示,质量为M=5kg的长木板在光滑水平面上以vM=1.8m·s-1的速度向右运动,木板右侧地面上有一固定的带孔挡板,挡板上孔的大小恰好允许木板通过.某时刻,质量为m=1kg的小物块以v0=9m·s-1的初速度从左侧冲上长木板,物块与木板间动摩擦因数为μ=0.1.一段时间后,物块与挡板发生弹性碰撞,已知物块与挡板碰前已与木板达到共速,重力加速度g取10 m·s-2,不计空气阻力,求:

图2

(1)物块第1次与挡板碰撞前,物块与木板因摩擦而产生的热量Q;

(2)物块第1次与挡板碰后向左运动到离挡板最远时,木板的瞬时速度v;

(3)物块从木板上掉落前与挡板最多碰几次.

解析

(1)设向右为正方向.从物块冲上木板至二者第一次达到共速v1的过程,对物块、木板由动量守恒定律有mv0+MvM=(m+M)v1,解得

根据能量守恒定律可得

(2)从物块第1次反弹至向左离挡板最远过程,对物块、木板系统由动量守恒定律有Mv1-mv1=Mv,解得v=2.4m·s-1.

(3)假设物块与挡板第1次碰后至第2次碰前与木板已达到共速v2,对二者在该过程由动量守恒定律有Mv1-mv1=(m+M)v2,解得v2=2m·s-1;在此过程中物块向左匀减速的位移为

由Q=μmgΔx1得,物块与挡板第1次碰前相对木板向右移动的距离为

物块与挡板第1次碰后至第2次碰前,由能量守恒定律有

解得物块相对木板向左移动的距离为Δx2=15m,物块未从木板上掉落;同理,物块与挡板第2 次碰后至第3次碰前达共速v3的过程,由动量守恒定律有

解得物块相对于木板向左移动的距离为

物块从木板上掉落.所以物块从木板上掉落前,最多与挡板碰2次.

点评

第(1)问注意Q=μmgΔx中的Δx应是物块与木板的相对路程.第(3)问解题关键是准确选取过程,使系统动量守恒.系统运动的整个过程,物块受挡板弹力作用,动量不守恒.而物块第1次碰挡板前,以及与挡板两次碰撞之间的子过程,系统的动量守恒.物块每次与挡板碰前都能与木板达到共速是关键点,可用假设法证明.物块与挡板第1次碰撞后,以原速率远离挡板,由于木板、物块系统动量守恒,二者的质量关系决定了二者速度再次相同时的速度方向:1)当m板<m块 时,与物块速度同向,二者远离挡板,不会发生第2次碰撞;2)当m板>m块时,与木板速度同向,二者靠近挡板,会发生第2次碰撞,本题属于后一种情况.物块再次停在木板上适当的位置,之后还能继续与挡板碰撞.物块相对木板向左移动的距离大于物块最初向右运动时距离木板左端的距离时物块从木板左端掉下,是需要挖掘出的隐含条件.

3 灵活选取作用系统

应用动量守恒定律解决问题时,研究对象都是两个或两个以上的物体组成的系统,究竟选取哪几个物体组成的系统作为研究对象,应根据求解问题的需要和该系统是否满足动量守恒条件来确定.选取合适的系统,使之满足动量守恒的条件,是应用动量守恒定律的前提和基础.若整个系统的动量守恒,可对整个系统应用动量守恒定律;有时整个系统的动量不守恒,但部分物体组成的系统(称为子系统)动量守恒,我们也可以选取该子系统为研究对象,对该子系统应用动量守恒定律.

例3如图3所示,半径R=0.5m 的四分之一光滑圆弧轨道A与长l=1 m 的平板B均静置于光滑水平地面上,A与B刚好接触且A的最低点P与B的上表面相切,一物块C(可视为质点)静置于B的最右端,C与B上表面的动摩擦因数μ从左往右随距离l均匀变化,其变化关系如图4所示.已知A、B、C的质量均为m=1kg,重力加速度g取10m·s-2,现给C一水平向左的初速度v0=4m·s-1.

图3

图4

(1)求C由B最右端滑至最左端过程中克服摩擦力做的功W克;

(2)求C相对于A最低点P所能达到的最大高度h;

(3)若将A、B粘连在一起,改变v0大小,其他条件均不变,使C能够沿A上升,且再次返回到A最低点P时具有相对于地面水平向左的速度,求v0的取值范围.

解析

(1)设向左为正方向.对A、B、C系统,C由B最右端滑至B最左端过程,由动量守恒定律有mv0=mv1+2mv2,由能量守恒定律有

由功能关系有

(2)假设C未从A左侧飞出,对A、C系统,C由P滑至在A上的最高点过程中水平方向动量守恒,有mv1+mv2=2mv共,由机械能守恒定律有

联立解得h=0.1m<R,假设成立.

(3)对A、B、C系统,C由B最右端滑至在A上最高点又返回P过程,由水平方向动量守恒有

由能量守恒定律得

点评

第(1)问,解题关键是如何灵活选取系统,使其满足动量守恒.C在B上向左滑动过程,B受A向右的弹力,B、C系统动量不守恒.此时可将A、B视为整体.构建A、B整体与C的二体持续作用模型,因此应选取A、B、C三者为系统进行研究.由图4知C受B摩擦力Ff=(μ1+kl)mg随距离l线性变化,可用平均力法求热量.第(2)问,C向左滑至P处时A、B分离,之后B匀速运动,A、C系统动量守恒.C是否从A飞出,需用假设法论证,可将C上升高度h与R比较:若h≤R,没有飞出;若h>R,已飞出.第(3)问,需注意A、B、C系统仅在水平方向动量守恒.C在A上往返运动时受力如图5所示,根据C返回P点时速度向左,可知C的水平分运动为向左的减速运动.根据vC有实数解,其判别式大于0,求出v0的最小值.

图5

4 恰当选取参考系

由于动量的大小与参考系的选取有关,应用动量守恒定律时,在相互作用前后系统中各物体的动量必须相对同一惯性参考系,各物体的速度必须是相对同一参考系的速度,一般以地面为参考系.物体在沿水平方向运动的斜面上滑动时,若涉及物体速度、加速度与斜面倾角间关系,需选取斜面为参考系才能方便求解.

例4如图6所示,倾角θ=37°的斜面体abc静止在水平地面上,斜面体质量M=6kg,竖直边bc高h=2.1m,斜面ac光滑.将质量m=2kg的小物块从斜面顶端由静止释放.已知sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g取10m·s-2,忽略空气阻力,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,计算结果均保留至小数点后一位.

图6

(1)若水平地面光滑,求小物块滑到底端a时的速度v1的大小;

(2)若斜面体与水平地面间的动摩擦因数μ=0.1,求小物块从顶端c滑到底端a的过程中斜面体与小物块间作用力F1的大小以及斜面体位移x的大小.

点评

第(1)问,正确构建和判别单向守恒模型——系统仅在水平方向动量守恒,是正确求解的基础.选定合适的参考系,确定物块相对参考系的速度、加速度和位移是关键.动量守恒中的速度要以地面为参考系.图7 中物块相对斜面的速度(v相=方向沿斜面向下,涉及θ的方程tanθ=中速度需以斜面为参考系,这是本题的一个思维陷阱.第(2)问,系统因受地面摩擦力而动量不守恒.参考系的选取仍是关键:牛顿第二定律中的ax、ay、aM是以地面(惯性系)为参考系的,需以斜面为参考系.

图7

图8

图9

图10

(完)

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