利用等效法解答单摆的周期问题

徐 石

(安徽省宿州市第二中学)

等效法是通过对问题中的某些因素进行变换或直接利用相似性,移用某一规律进行分析而得到相同效果.利用等效法不仅可以使问题变得简单易解,还有助于活跃学生的思维.

我们在学习单摆的过程中就可以利用等效法进行分析.如在利用单摆的周期公式解题时,由于题目背景不同,单摆的周期公式可以广义地表示为,式中l′为等效摆长,g′为等效重力加速度.

1 等效单摆摆长

表1

例1如图1所示,光滑绝缘圆弧轨道的半径为R,最低点N点左侧处于垂直纸面向外的匀强磁场中,现将一带负电的小球(可视为质点)自最低点右侧的M点由静止释放,M、N两点间的距离远小于轨道半径R,小球到达最左侧的位置为P点(图中未画出),小球运动过程中始终未脱离轨道,已知重力加速度为g,下列说法正确的是( ).

图1

A.P点比M点高

B.小球向左经过N点后,对轨道的压力立即变大

C.小球在P点和M点处对轨道的压力大小不相等

解析

小球在轨道中运动时,由于只有重力做功,则机械能守恒,则P点与M点等高,选项A错误;小球向左经过N点后,因洛伦兹力方向向下,则对轨道的压力立即变大,选项B正确;小球在P点和M点处速度为0,只受到重力和轨道的支持力,且P、M两点关于最低点位置对称,则对轨道的压力大小相等,选项C 错误;因为洛伦兹力方向始终和速度方向垂直,且M、N两点间的距离远小于轨道半径R,则小球的运动可看作单摆,小球运动的周期为T＝,选项D 正确.

例2如图2 所示,倾角为θ的斜面MN上的B点固定一光滑圆弧槽AB(对应的圆心角小于10°),其圆心在B点正上方的O点,另外,光滑斜面OC和OD的下端亦在MN上,让可视为质点的小球分别无初速度出发,从A点到达B点的时间为tB,从O点到达C点的时间为tC,从O点到达D点的时间为tD.比较这三段时间,正确的是( ).

图2

A.tB＞tD＞tCB.tD＞tC＞tB

C.tB＝tC＝tDD.tB＞tC＝tD

解析

由单摆运动的等时性可以知道,从A点到达B点的时间以OB为 直径作圆,由于OD垂直于MN,则点D在该圆上,利用等时圆的性质分析可知tC＜tD,由几何关系可知,OD与竖直方向的夹角等于斜面倾角,则OD段为l＝

故选项A 正确,选项B、C、D 错误.

2 等效重力加速度

表2

例3如图3所示为相同的小球(可看作质点)构成的单摆,所有的绳子长度都相同,在不同的条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4,关于周期大小关系的判断,正确的是( ).

图3

A.T1＞T2＞T3＞T4

B.T4＜T1＝T3＜T2

C.T4＞T1＝T3＞T2

D.T1＜T2＜T3＜T4

解析

设绳长均为L,根据单摆的周期公式可得

则T4＞T1＝T3＞T2,故选项C正确.

例42021年5月15日,中国自主研发的火星探测器“天问一号”成功着陆火星.已知在火星表面一摆长为L的单摆完成n次全振动所用的时间为t.探测器在离开火星表面返回时,在离火星表面高度为h的圆轨道以速度v绕其运行一周所用时间为T.已知引力常量为G,火星可视为匀质球体,火星的密度为( ).

故选项A 正确.

(完)