外弹道学在反斜面上驻扎点计算的应用

金莫迪 胡恒睿 (指导教师 王清礼)

(辽宁省沈阳市辽宁省实验中学)

1 背景介绍与问题重述

外弹道是一个军事术语,指的是弹丸在离开身管后的运动和行为,简单来说,就是炮弹在空中的飞行轨迹.反斜面也是一个军事术语,指的是山地攻防战中背向敌方、面向我方的一侧山坡,使用得当可以大幅削减敌军直射炮火对我军的杀伤.

2 模型建立

2.1 研究对象及符号说明

本文以美式M101105 mm 榴弹炮为研究对象,下面对它进行基本介绍.

M101105mm 榴弹炮,炮弹初速度为472 m·s－1,口径为105mm,射角－0.087～1.152,最大射程15km,发射的M1高爆弹重19.08kg.本文以这一型号为参考,在MATLAB 平台上进行数据计算,在接下来的模型建立中,本文将采用以上数据代入计算.

本文引入以下参量,下面对其符号进行说明:

v0—炮弹的初速度

h—山顶垂直高度(以x轴为基准面的相对高度)

v—炮弹的瞬时速度

a—炮弹加速度

s—炮与山顶的水平距离

t—飞行时间

α—炮弹发射的角度

g—重力加速度

β—后方山坡倾角

c—阻力系数

θ—炮弹瞬时速度与水平方向夹角

ρ—空气密度

S—炮弹的横截面积

2.2 不考虑空气阻力

2.2.1 假设

在研究本问题时,为了简化模型,本文做出以下假设.1)不考虑空气阻力,即将炮弹轨迹简化为抛物线.2)气温、气压对空气密度的影响,地球曲率会在一定程度上影响炮弹的外弹道,但这两项因素相比火炮射程来说较小,所以忽略.3)长达数十千米的炮弹射程远大于十几米的伤害半径,所以炮弹爆炸攻击的范围可以忽略.4)由于弹丸的起始扰动,弹轴即炮弹中轴并不与速度矢量完全重合,其间的夹角便称为炮弹的攻角(或章动角).攻角也会影响外弹道,然而实际上,对于飞行稳定的弹丸,其攻角总是不大的,因而弹丸围绕质心的运动对其质心运动的影响比较小,所以可以忽略.5)出于高中知识限制和模型简便考虑,本文忽略地转偏向力,忽略炮弹在火炮身管内的运动情况对外弹道的影响,忽略弹丸旋转,假设空气为静止状态,即忽略风的影响.

2.2.2 公式推导

以炮弹发射点为原点,水平方向为横轴,竖直方向为纵轴,构建平面直角坐标系,由速度定义式及匀加速直线运动位移公式得

将式①代入式②中,可得炮弹的轨迹方程

2.2.3 数据代入

在推出上述公式的基础上,将g、v0等常量代入公式中,得到炮弹轨迹方程.其中,g取10 m·s－2,v0＝472m·s－1.

下面进行代入,在不考虑空气阻力的情况下,可得以下炮弹轨迹方程:

2.2.4 初级模型检验

下面运用MATLAB软件进行数值模拟.

陆抑非（1908—1997），名翀，初字一飞，江苏常熟人。早年师从李西山、陈加盦，后游于吴湖帆门下，1937年由吴湖帆改字“抑非”，后以抑非字行。上世纪四五十年代，陆抑非先生在沪上与唐云、江寒汀、张大壮有“江南花卉四才子”的美称，与陆俨少、陆维钊并称浙江美术学院（中国美术学院前身）“三陆”。陆抑非先生不但是花鸟画大家，也是一位杰出的艺术教育家，在国画教育领域勤勤恳恳耕耘六十余年，桃李满天下。

图1 不考虑空气阻力的炮弹轨迹

根据实际情况,α取值范围为0～1.152(弧度).

通过数值模拟,找到和反斜面顶点(即山顶)相切时炮弹初速度与水平方向的夹角α＝0.4088(弧度),由数据模拟分析可知,在炮弹出射角范围内,对于最高点而言,若炮弹发射高于该点,必然引起落地点(y＝0)向右偏移,从而减小了对反斜面的轰炸范围.这一结果也是符合军事常识的,由于本文的研究对象为M101榴弹炮,为直射火力炮,其射程通常在一定范围内随出射角度的增大而增大.所以,对于进攻方而言,当炮弹轨迹与最高点相切时,有最大轰炸范围,那么我们就称该角度为炮手的最佳角度.

由模拟结果可知,在不考虑空气阻力的理想情况下,炮弹的理论射程为16252m.然而在实际作战中,炮兵阵地通常不会设置在极限射程处,据此,设定s＝15000m,h＝500m,即定点(15000,500)为山顶位置坐标.

若反斜面(图1 中A点)底端点横坐标大于16252m,则反斜面可以被火力攻击到.所以,发射角度α在实际所取范围内时:当反斜面倾斜角β＜0.38(弧度)时,则防守方的反斜面有危险,会被火力覆盖;当反斜面倾斜角β≥0.38(弧度)时,则防守方的反斜面完全安全,敌方的火炮在α取值范围内,无论以什么角度射击,都无法攻击到反斜面.

由此,可以得到以下结论:对于炮手方,存在最佳角度α＝0.4088(弧度).对于防守方,β≥0.38(弧度),则绝对安全.

2.2.5 初级模型的不足

在实际作战中,空气阻力对炮弹轨迹的影响非常大.现实中炮弹在横向的速度随时间的推移越来越慢,为不对称的曲线轨迹.而上述模拟中,炮弹轨迹被简化成二次函数,为对称曲线.

2.3 考虑水平方向空气阻力

2.3.1 假 设

2.3.2 公式推导

以炮弹发射点为原点,水平方向为横轴,竖直方向为纵轴,构建平面直角坐标系,如图2所示,由受力分析得

图2 炮弹受力情况

由抛体运动规律可知

2.3.3 数据说明及代入

在推出公式的基础上,将m、g、c、ρ、S、v0等常量代入公式中,得到炮弹轨迹方程.其中m＝19.08kg,g取10m·s－2,v0＝472m·s－1.S可利用炮弹口径来计算,S＝πr2＝π×(0.105m)2＝,ρ取0 ℃101kPa下的标准密度1.297kg·m－3,c按照资料取近似值为0.4.

下面进行代入,可得以下炮弹轨迹方程,考虑水平方向空气阻力

2.3.4 模型检验

运用MATLAB软件进行数值模拟.

根据实际情况,α取值范围为0～1.152(弧度).

通过数值模拟,找到和反斜面顶点(即山顶)相切时炮弹初速度与水平方向的夹角α＝0.4088(弧度),由数据模拟分析可知,在炮弹出射角范围内,对于最高点而言,若炮弹发射高于该点,必然引起落地点(y＝0)向右偏移,从而减小了对反斜面的轰炸范围.这一结果也是符合军事常识的,由于本文的研究对象为M101榴弹炮,为直射火力炮,其射程通常在一定范围内随出射的角度增大而增大.所以,对于进攻方而言,当炮弹轨迹与最高点相切时,有最大轰炸范围,那么我们就称该角度为炮手的最佳角度.

由模拟结果可知,在考虑水平方向空气阻力的情况下,炮弹的理论射程为15871m.然而在实际作战中,炮兵阵地通常不会设置在极限射程处,所以本节设定s＝15000m,h＝500m,即定点(15000,500)为山顶位置坐标.

若反斜面(图3 中B点)底端点横坐标大于15871m,则反斜面可以被火力攻击到.所以,在发射角度α在实际所取范围内时:当反斜面倾斜角β＜0.5218(弧度)时,则防守方的反斜面有危险,会被火力覆盖;当反斜面倾斜角β≥0.5218(弧度)时,则防守方的反斜面完全安全,敌方的火炮在α取值范围内,无论以什么角度射击,都无法攻击到反斜面.

图3 考虑水平方向上空气阻力的炮弹轨迹

由此,可以得到以下结论:对于炮手方,存在最佳角度α＝0.4597(弧度).对于防守方,β≥0.5218(弧度),则绝对安全.由此可见,随着引入水平方向的阻力,弹道末端炮弹飞行的轨迹下坠更加迅速,对反斜面的要求更苛刻.

2.4 考虑水平和竖直方向空气阻力

2.4.1 假 设

在本条件下,做出以下假设.1)仅考虑水平和竖直方向空气阻力.2)忽略气温、气压、地球曲率的影响.3)忽略炮弹爆炸攻击的范围.4)由于弹丸的起始扰动,弹轴即炮弹中轴并不与速度矢量完全重合,其之间的夹角便称为炮弹的攻角(或章动角).攻角也会影响到外弹道,然而实际上,对于能保证飞行稳定的弹丸,其攻角总是不大的,因而弹丸围绕质心的运动对其质心运动的影响比较小,所以可以忽略.5)出于高中知识限制和模型简便考虑,本文假设空气阻力系数为固定值,忽略地转偏向力,忽略内弹道即炮弹在火炮身管内的运动情况对外弹道的影响,忽略弹丸旋转,假设空气为静止状态,即忽略风的影响.

2.4.2 公式推导

以炮弹发射点为原点,水平方向为横轴,竖直方向为纵轴,构建平面直角坐标系.由受力分析得,

上升阶段:

由加速度定义式代入式⑦中,得

等式两边同取不定积分,得

由初态vy＝v0,代入上式得

所以

下降阶段:

2.4.3 数据说明及代入

在推出上述公式的基础上,将m、g、c、ρ、S、v0等常量代入公式中,得到炮弹轨迹方程.其中m＝19.08 kg,g取10m·s－2,v0＝472m·s－1,S利用炮弹口径来计算S＝πr2＝π×(0.105m)2＝m2,ρ取0 ℃101kPa下的标准密度1.297kg·m－3,c通过资料查找取0.4.

2.4.4 模型检验

运用MATLAB 软件进行数值模拟得到炮弹轨迹如图4所示.

图4 考虑水平和竖直方向上空气阻力的炮弹轨迹

根据实际情况,α取值范围:0～1.152(弧度).

通过数值模拟,找到和反斜面顶点(即山顶)相切时炮弹初速度与水平方向的夹角α＝0.4088(弧度),由数据模拟分析可知,在炮弹出射角范围内,对于最高点而言,若炮弹发射高于该点,必然引起落地点(y＝0)向右偏移,从而减小了对反斜面的轰炸范围.这一结果也是符合军事常识的,由于本文的研究对象为M101榴弹炮,为直射火力炮,其射程通常在一定范围内随出射角度的增大而增大.所以,对于进攻方而言,当炮弹轨迹与最高点相切时,有最大轰炸范围,那么我们就称该角度为炮手的最佳角度.

由模拟结果可知,在考虑水平和竖直方向空气阻力的情况下,炮弹的理论射程为18490m.然而在实际作战中,炮兵阵地通常不会设置在极限射程处,所以本节设定s＝15000 m,h＝500 m,即定点(15000,500)为山顶位置坐标.

若反斜面(图4 中C点)底端点横坐标大于18490m,则反斜面可以被火力攻击到.

所以,发射角度α在实际所取范围内时,当反斜面倾斜角β＜0.142(弧度)时,则防守方的反斜面有危险,会被火力覆盖.当反斜面倾斜角β≥0.142(弧度)时,则防守方的反斜面完全安全,敌方的火炮在α取值范围内,无论以什么角度射击,都无法攻击到反斜面.由此,可以得到以下结论:对于炮手方,存在最佳角度α＝0.3288(弧度);对于防守方,β≥0.142(弧度),则绝对安全.由数值模拟结果可知,随着竖直方向上阻力的引入,炮弹下降过程变得更加平缓,反倒是给防守方选择反斜面提供了更加宽松的条件.

3 参数的灵敏度分析

由于战场实际情况的不确定性,本文通过“假设”的方式将未知情况明确化,人为设置了一些参数,下面本文将对参数进行灵敏度分析,进而探讨本文提出的数学模型的可靠性.

3.1 s 对结果的影响

本文在模型检验部分中,提到了“在实际作战中,炮兵阵地通常不会设置在极限射程处,所以本节设定s＝15000m”,可见,本文是在对火炮最大射程模拟后,根据实际情况,确定了代表值15000m.考虑到战场中,火炮阵地的变化可能会很大,所以下面,令参数s在15000上下各改变10%和20%,分别计算反斜面安全角度,由数据模拟可得到表1.

表1

其表明,当s增加10%时,β变化约为18%,当s每减少10%时,β变化约为－15%.可见,s对结果的影响较大,当s减少时,对我军反斜面的倾角要求更宽松,当s增大时,对我军反斜面的倾角要求更苛刻.但根据资料,M101榴弹炮最大的射程约为15km,所以在本模型设定的参数下得到的反斜面倾角,基本可以达到我军防守安全的要求.

图5展现了在不同s下炮弹飞行的轨迹.

图5 不同s 下炮弹飞行的轨迹

3.2 h 对结果的影响

本文在设置h时,选500为代表值,下面令参数h在500m 上下各改变5%和10%,分别计算反斜面安全角度,由数据模拟可得到表2.

表2

其表明,当h变化5%时,β变化不大,这说明对h的设置是合理的,同时,在实际战场中,这一结论也方便了我方观察员选取反斜面的过程.

图6展现了在不同h下炮弹飞行的轨迹.

图6 不同h 下炮弹飞行的轨迹

3.3 m 对结果的影响

本文在设置m时,参考了M101榴弹炮的参数,得到m＝19.08kg,考虑到军工产品制造时对制式弹的精确度要求比较大,所以下面令参数m在19.08kg上下各改变1%和5%,分别计算反斜面安全角度,由数据模拟可得到表3.

表3

其表明,当m每变化5%时,β总是变化不大,这说明对m的设置是合理的,这也很好地说明了,当物体质量较大时,其运动时所受空气阻力对物体运动情况影响不大.

3.4 方位角θ 对结果的影响

考虑双方炮兵阵地较远,方位角变化1°,着弹点就会产生15000m×tan1°＝261.8m 的偏移,但实际上,对于炮弹水平方向上的偏移仅有

对于计算反斜面安全倾角的影响微乎其微,故可忽略.实际上,在真实战场中,敌方炮兵对我军阵地的炮火覆盖不可能仅发射一发炮弹.

4 模型的更多优化空间

本文对考虑水平和竖直方向上空气阻力的炮弹飞行轨迹进行了初步分析,事实上,考虑到现实战场上更复杂的情况,本模型还有许多不足和优化空间.

4.1 炮弹攻角

火炮在实际飞行时,其弹轴即炮弹中轴与速度矢量并不重合.弹轴与速度矢量间的夹角称为攻角.当攻角不等于0时,会进一步对弹丸轨迹产生干扰.

图7

4.2 风

风也是干扰炮弹外弹道的重要因素之一,在本文中假定空气静止,即不考虑风,然而实际情况中,这种理想情况是很难出现的.

图8 有风时的炮弹受力分析和有风时的炮弹弹道

风大致可分为横风和纵风.横风是通过改变空气阻力的方向来影响弹道.风既能影响阻力的大小,又能影响阻力的方向,故而改变射程.

4.3 地转偏向力

我们都知道,地球在自转时,会产生地转偏向力,但在射程较小时可以忽略.考虑到本文研究对象为中短程火炮,其对炮弹弹道的影响较小.限于篇幅,本文不赘述.

4.4 弹丸旋转

本文在建立模型中,忽略了弹丸旋转.事实上,不论是滑膛炮(炮管内无膛线),还是线膛炮(炮管内有膛线),弹丸在飞行过程中都会绕其质心自转.这种自转会对炮弹轨迹造成影响.

4.5 其他因素

除了上述的几个主要因素外,还有其他的因素也会影响到最终结果,如地球曲率、炮弹形状、炮弹爆炸范围等,但是这些因素相较于长达十数千米的火炮射程来说影响极小,所以在这里不做赘述.

5 总结与展望

本文分析了无空气阻力、考虑水平方向空气阻力、考虑水平和竖直方向的空气阻力三种情况下的弹丸弹道以及对应的防御阵地范围,并利用计算机模拟来精确验证公式的准确性,给出数值上的最优解.通过每一次的优化与推导,逐步精确了防御阵地范围.

目前,本文仅以空气阻力对弹丸弹道轨迹的影响为主体优化方向进行了几次优化.但由于现实中环境的复杂性,该模型仍需通过考虑其他因素进一步加以优化.如前文中所述,炮弹攻角、风、地转偏向力、弹丸旋转等因素在理论上对弹丸弹道的影响仍然存在,在具体的科研实践中,仍需利用优化数学模型以及结合具体实验,来更精确地描述炮弹飞行轨迹.

(完)