基于数学专业对复变函数课程进行的教学探析

摘要：复变函数是全国高等学校数学专业的一门专业必修课，复变函数的理论和思想方法在物理、工程以及数学其他分支学科中都有广泛的应用。结合我校数学与应用数学专业（师范）特点，本文分析了目前复变函数课程教学中存在的困难以及不足，进而对复变函数教学路径进行了探析，以期增强学生学习兴趣，提高课程的教学效果，形成良好的教学循环。

关键词：复变函数；数学专业；教学路径探析

Abstract：Complex variable function is a professional compulsory course in mathematics majors in colleges and universities across the country，and the theory and analysis methods of complex variable functions are widely used in physics，engineering and other sub-disciplines of mathematics.Combined with the characteristics of mathematics and applied mathematics（teacher-training）in our school，this paper analyzes the difficulties and shortcomings in the current teaching of complex variable function courses，and then analyzes the teaching path of complex variable functions in order to enhance students' learning interest，improve the teaching effect of the curriculum，and form a good teaching cycle.

Keywords：Complex functions； Mathematics majors； Teaching path analysis

1 概述

復变函数的理论和方法在物理、工程、力学等诸多学科领域都有广泛的应用，并且在数学学科的其他分支中也占据着非常重要的作用，如偏微分方程、泛函微分方程、调和分析等。复变函数是我校数学与应用数学专业（师范）学生的一门专业必修课程，也是数学分析的后续课程，通过复变函数理论的系统学习，有助于巩固和加深学生对数学分析课程中知识点的认知和理解，并且对数学专业学生后续课程的学习至关重要，有利于培养学生的创新思维和分析问题解决问题的能力。我校数学与应用数学专业具有师范类性质，对于今后从事中学数学教育的学生而言，掌握好复变函数的基本理论与思想方法，将有助于他们在中学以更高观点去教学，优化教学设计。而对于今后在数学领域深造的学生而言，不少高校在研究生复试时需要考查复变函数理论，学习复变函数不仅为考研奠定良好的基础，从长远角度来看，也为学生在后续更深层次的数学专业课程学习打下牢固的基础。

2 复变函数教学中面临的困难

2.1 课程课时少而难度大

我校2022年数学与应用数学专业（师范）通过教育部师范类专业中学教育二级认证，根据本次专业认证中新制订的人才培养方案，复变函数的理论课时压缩为48课时，理论学分为3学分，而类似于数学分析、高等代数等数学专业基础课程，复变函数的理论知识是具有一定深度和难度的。复变函数是数学分析的后续课程，两门课程在知识框架结构上具有较强的相似性，如果学生对数学分析的基本知识理论没有掌握好，那么在学习复变函数时就会产生一定的畏惧心理，觉得这门课程难度大，比较难学。

针对数学专业学生，我们所选用的教材是钟玉泉老师编著的《复变函数论》（第五版），基于所选用教材，复变函数课程讲授的主要内容是复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的幂级数表示法、解析函数的洛朗展式与孤立奇点、留数理论及其应用、共形映射。而在课时相对少、所需讲授内容相对多、课程难度又相对大的情形下，如何将课程中很多概念、理论和方法讲解好，并将课程思政元素融入课堂教学当中，让学生理解消化好，这对授课教师来说是一个考验。

2.2 学生学习兴趣不足

复变函数作为数学与应用数学专业（师范）学生的专业基础课，它的数学专业性质决定了课程内容较为复杂抽象，学生在学习过程中体会不到其理论知识在实际问题解决中的应用价值，从而学生的学习信心和学习兴趣不能得到有效激发。

另外，复变函数是数学分析中实变函数微积分的推广和扩展，复变函数的极限与连续性概念、导数与微分积分定义、复变函数项级数收敛等这些概念性质，与数学分析中非常相似，那么学生在学习这些相似知识点时，会觉得这些知识点都是以前学过的，学习兴趣不高，并且会产生懈怠心理。而这两门课程之间肯定是有很大区别的，当授课教师在讲解复变函数中异于数学分析中的理论知识时，学生往往由于懈怠心理而错过了新知识的学习，如此更提不起学习兴趣。

另一方面，我校数学与应用数学专业复变函数课程安排在大三下学期，这个阶段学生大多处于就业或考研的准备当中。对于有意从事中学教学的学生而言，他们需要通过教师资格证考试才能获得中学数学教学资格，而教师资格证考试所涉及的数学专业知识主要是数学分析、高等代数、解析几何以及概率论与数理统计，未涉及复变函数的理论知识，在当前应试教育背景下，学生会觉得复变函数理论对中学教学没有多大用处，从而不重视复变函数的学习，学习兴趣和热情自然也不足。而对于有意考研深造的学生，他们在备战时，同样只关注与考研相关的数学专业知识，如数学分析、高等代数。考研的学生短期目标明确，不愿花太多时间去学习与考研初试无关的复变函数，对该课程的关注度就不够，更谈不上学习兴趣了。

2.3 教学手段不够丰富

在复变函数的教学过程中，多数教师采用“单声道”“满堂灌”的教学方式，忽视了对学生学习积极性的调动以及学习方法的指导和引领，多数学生对于很多概念定理定义只能停留在记忆背诵的层面，比如，刻画解析函数的四个等价定理，其中第一个等价定理［1］：函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充要条件是：（1）二元函数u（x，y），v（x，y）在区域D内可微；（2）u（x，y），v（x，y）在D内满足柯西-黎曼方程。而第二个刻画解析函数的等价定理，只是在第一个等价定理的基础上将其中的条件（1）换成条件“（1）'u_x，u_y，v_x，v_y在D内连续”，如果授课教师在讲解这个知识点时采用直接灌输的方式，学生体会不到条件（1）和（1）'之间的区别，甚至最后可能会忘记这两个条件，只对第（2）个条件有点印象，那么在考试时就容易出错，体验不到成就感和自信心，这样一来学生觉得课程内容难度大还比较枯燥，教师也无法达到设想的教学质量，教学热情也有所降低，无法形成一个良好的教学循环。

3 復变函数教学路径探析

综上所述，在有限的教学课时内，想实现师生共赢的局面，有必要对复变函数课程进行一定程度的教学探索与改革。课程课时少而难度大，授课对象是数学与应用数学专业学生，再结合本专业的师范性特点，在教学过程中，教师要结合学生的认知规律和实际需求，对课程内容要有自己深层次的思考，不能仅局限于所选用的教材，还要查阅相关的其他教材以及文献资料，了解复变函数的学科前沿，精确把握住课程的重难点，对课程内容进行有效的整合与取舍，并且采用多样化的教学方式，生动透彻地讲授课程知识点，从而达到良好的教学效果。

3.1 复变函数教学需结合学生需求

在复变函数教学中，教师可以结合学生对复变函数理论的认知需求、兴趣需求以及应用需求，有效降低复变函数的学习难度，促进学生学习该课程的信心和热情，提高学生的学习兴趣。

复变函数中的很多基本理论知识点和思想方法与数学分析中非常相似，在讲解过程中，可以采用类比思想进行有效整合，简要讲解相同点，重点突出不同点，降低学生学习难度，并且提高学生学习效率。比如，在讲解初等多值函数时，可以类比于数学分析中的反三角函数如正弦函数y=sinx，其中x是y的反正弦函数，根据正弦函数的周期性，反正弦函数是一个多值函数，而在实数范围内，为了使反正弦函数有意义，我们限定了反正弦函数的值域为[－π/2，π/2]。那么，对于初等多值函数的学习，可以采用类似的思想，限定因变量的取值范围，这样学生就容易理解单叶性区域以及单值解析分支等概念，符合学生的认知发展规律，增强学生学习的信心，提高学生分析问题的能力。

而且，在教学过程中，可以采用数形结合，让学生体会到复变函数与几何的联结以及美妙之处，增强学生的学习兴趣。复变函数理论中蕴含着丰富的几何思维，复数可以视为平面上的二维向量，复数的加减就对应向量的加减，复数的模和辐角对应向量的长度和与实轴的夹角，复数相乘z₁z₂相当于把z₁所对应的向量长度伸缩z₂倍，再旋转一个角度（z2的辐角），在讲解过程中可以借助于几何图形直观演示，提高学生学习的积极性与能动性。

另外，对于有意从事中学教育的学生，教师在讲授复变函数内容时，要体现知识点在中学数学教学中的联系与应用，这样学生就会产生学习兴趣和学习动力。比如，可以和学生简要介绍《普通高中数学课程标准（2017版）》中的必修模块“几何与代数”包含平面向量及其应用、复数、立体几何初步等内容［2］，而复数理论与平面向量几何之间是有密切联系的，并且复变函数理论也可以为中学数学解题提供新的思想方法，这样学生就体会到复数内容在高中数学学习的重要性，从而重视复变函数的学习。

3.2 教师对教学内容进行深层次思考

首先，对于复变函数教学，开好头起好步很重要，如果一上来就直接讲述课程理论知识，学生对这门课程的背景及发展历程不了解，就无法产生对这门课程的好奇心和学习动机。因此，教师在引言部分要简要讲述复变函数的发展历史，让学生了解数系的扩充过程，领悟其中所蕴含的理性思维的作用。可以简要介绍三位数学大家——法国数学家柯西、德国数学家黎曼和魏尔斯特拉斯，在复变函数理论的发展历程中所做的巨大努力以及他们的励志事迹，让学生感悟到任何一个学科理论从形成到完善再到系统化并不是一蹴而就的，激励学生要有勇于进取、不畏艰难、开拓创新的科学精神。再介绍复变函数在物理、力学以及其他数学分支如代数学、微分方程等方面的应用，让学生体会到复变函数的实际应用性，激发他们的学习兴趣。

其次，在复变函数理论知识点讲授过程中，适当关注与课程内容相关领域的动态进展，并适时地在课堂上与学生讨论，打破数学教学的沉闷。例如，在课堂上观察到学生听得比较疲倦，注意力不是很集中时，可以切换一下重心，比如，和学生讲讲最近2022年物理学诺贝尔奖获得者的事迹，三位获得者都是在量子力学领域做出卓越贡献，而量子力学中著名的薛定谔方程是奥地利物理学家薛定谔借助于复变函数得出的。这样一来，既缓解了学生的学习疲劳，又让学生体会到复变函数的重要性，拓宽了知识视野，同时增加了学生学习的兴趣。

最后，教师在讲授知识点时可以适时地结合自己的科研工作，形成科研与教研相互促进，也让学生感悟到课程知识点的学习价值。以笔者为例，笔者现在所研究的关于多个体系统的时间渐近行为的课题，其中在分析解的适定性时就用到解析函数零点的孤立性以及唯一性定理，那么在讲解到复变函数第四章第4节时，可以和学生简要提及解析函数的特性在自己所做科研工作中的应用，以加深学生对知识点的理解，并且增强学生学习该课程的兴趣和热情，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

3.3 教学方式多样化

我们可以充分利用在线教学平台，由于课时的限制，在课堂教学中不可能涉及教材中的所有知识点，那么学生可以根据自身的课堂学习情况，在课后对平台中的教学视频、课件以及其他学习资料进行学习，巩固课堂上的学习内容，并且可以对自己感兴趣而课堂上未详细讲解的知识点进行深入学习。目前我校给师生提供了完善的学习通教学平台，教师可以在课前、课中、课后发布在线作业、测试以及相关知识点的主题讨论。比如发布主题讨论：解析函数在其定义域中某点领域内的取值情况完全决定着它在其他部分的值，请谈谈你对解析函数这一特性的看法。学生可以在讨论区发表自己的感悟，互动交流，这样不仅可以巩固对解析函数特性的理解，学生之间还可以互相学习互相激励，营造良好的学习氛围。另外，在教学过程中，可以将班级同学分成几个小组，对于一些学习任务可以组织小组交流讨论，这样课堂教学会充满活力，学生的团队合作能力也得到训练和加强。其次，教师可以建立一个班级QQ群，向学生推送一些关于数学专业的公众号，如赛先生、和乐数学、遇见数学等，看到积极向上、求真务实、充满正能量的视频或文稿可以转发在班级QQ群，以培養学生不断探索、刻苦钻研、勇于进取的科学精神，激励学生要脚踏实地地做人做事做学问。最后，可以适当采用对分课堂、翻转课堂等教学方法，让学生的参与度更强，激发学生学习的主观能动性，从而获得对知识点更深层次的理解与体验。

结语

在新时代一流学科建设的驱动下，有必要对复变函数课程进行有效的教学路径探析，以适应时代发展需求。结合我校数学专业特点，本文首先指出了目前复变函数课程教学中面临的一些困难，然后从课程教学结合学生需求，教师自身要对教学内容进行深层次思考，以及教学方式多样化这三个方面，探析了新时代背景下复变函数课程教学路径。这些观点仅是立足于我校数学专业情况的一点个人浅见，在今后的教学中，会持续改进课程教学措施，提高学生学习兴趣，培养学生创新思维，提高教学质量。

参考文献：

［1］钟玉泉.复变函数论［M］.5版.北京：高等教育出版社，2021.

［2］李浏兰，方敏，刘刚.复变函数与中学数学教学［J］.高等数学研究，2022，25（3）：83-85.

［3］李志艳.浅谈复变函数课程教学改革［J］.科技视界，2021：46-47.

［4］侯利元，刘念平.以初等函数为例对复变函数进行的教学探讨［J］.乐山师范学院，2021，36（2）：110-115.

基金项目：国家自然科学基金项目（12201172）；合肥学院人才科研基金项目（21-22RC23）；合肥学院教育教学改革研究重大项目（2021hfujyxm03）；安徽省级课程思政示范课程（2021kcszsfkc359）；合肥学院基层教研室示范项目（2020hfujyssf02）；合肥学院重大教学研究项目（2020 hfujyxm01）；安徽省教学研究重点项目（2020jyxm1591）

作者简介：朱婷婷（1992—），女，安徽合肥人，博士，研究方向：微分方程及其应用。