二项式定理在知识交会处的应用

刘海涛

(安徽省芜湖市第一中学)

1 求近似值

方法指导1)当a的绝对值很小,且n不太大时,常用近似公式(1＋a)n≈1＋na,因为这时二项展开式的后面部分很小,可以忽略不计.类似地,有(1－a)n≈1－na.使用上述两个公式时应注意a满足的条件,以及题目对计算精确度的要求.

2)对于有些求近似值的问题,我们常构造(b＋c)n或(b－c)n,然后利用二项式定理来计算.

例1求1.029的近似值(精确到小数点后三位).

2 整除或余数问题

方法指导1)利用二项式定理解决整除问题,通常把底数写成除数(或与除数有密切关系的数)与某数的和或差的形式,再利用二项式定理展开.

2)解决求余数问题,要构造一个与题目条件有关的二项式.

例2设a∈Z,且0≤a≤16,若42020＋a能被17整除,则a的值为( ).

A.1 B.4 C.13 D.16

因为81和72均能被9整除,所以8011被9除的余数为8,故选C.

3 证明不等式

方法指导1)通过二项式定理的正用与逆用,结合不等式证明的方法进行论证.

2)应用二项式定理时应注意巧妙构造二项式.

3)证明不等式时,应注意运用放缩法.

例4请利用二项式定理证明:3n＞2n2＋1(n≥3,n∈N∗).

4 求代数式的值

5 与导数知识的交会

例6已知(x＋2)10＝a0＋a1x＋…＋a10x10,则(a1＋3a3＋…＋9a9)2－(2a2＋4a4＋…＋10a10)2的值为________.

令x＝1,得10×39＝a1＋2a2＋…＋10a10.

令x＝－1,得10＝a1－2a2＋…－10a10.

于是

分别赋值x＝1,x＝－1,即可解题.

6 与数列知识的交会

(完)