对一条特殊电场线的讨论

申强强

阜阳市红旗中学，安徽 阜阳 236000

电场中常用电场线来形象地了解和描述电场中各点电场强度的大小和方向。一些较复杂的电场，如两个不等量点电荷的电场，对于高中生来说难以用数学公式直接计算。因此，通过电场线来了解电场中各点电场强度的大小和方向，是学生必须掌握的。但是，某些资料及习题中，对于一些复杂电场的某些特殊电场线的描绘有时容易引起学生误解。这类题目的本意是训练学生准确掌握所学知识，但是如果没有深入分析和正确理解，反而会误导学生。

1 习题呈现

例1（2015上海高考）两个正、负点电荷周围电场线分布如图1所示，P、Q为电场中两点，则（ ）

图1 正、负两个点电荷周围的电场线分布

A.正电荷由P静止释放能运动到Q

B.正电荷在P的加速度小于在Q的加速度

C.负电荷在P的电势能高于在Q的电势能

D.负电荷从P移动到Q，其间必有一点电势能为零

例2如图2所示的四幅电场分布图中，说法正确的是（ ）

图2 四种电场分布图

A.甲为等量同种点电荷的电场线

B.乙中离点电荷距离相等的a、b两点电势相等

C.丙中在c点的场强大小小于d点的

D.丁中某一电荷放在e点或f点，它的电势不同

上面所举例题中，均涉及到两个不等量异种点电荷的电场线图像，有些看似很常规，实则不然。在图1和图2丙图中，描绘了两个不等量异种点电荷的电场线，且正电荷所带电荷量的绝对值大于负电荷所带电荷量的绝对值。两图中均画出了一条沿着两个点电荷连线、终止于负电荷的电场线，这条电场线应当如何理解呢？

2 理论分析

以两个点电荷连线为x轴建立坐标系，设两电荷的电荷量分别为q1=2q和q2=-q，相距为2a，且将电荷量为q1的点电荷置于坐标（-a，0）处，电荷量为q2的点电荷置于坐标（a，0）处。由点电荷场强公式和场强叠加原理，在负电荷右侧存在一点，其电场强度的大小为零，即

解得

设想将正试探电荷从负电荷附近沿着x轴移动至无限远处。在从负电荷附近移至A点的过程中，电场力向左，与位移方向相反，所以电场力做负功。从A点移至无限远的过程中，电场力向右，做正功。电场力先做负功再做正功。由此可以判断，从负电荷处沿x轴至无限远的过程中，试探电荷的电势能先增加后减少，即电势先增加后减少。取无限远处电势为零，则从负电荷处到A点电势升高，从A点到无限远处电势降低。

假设存在一条从无限远出发、沿着x轴直接终止于负电荷的电场线，而沿着电场线的方向电势降低，这与刚才分析所得结论相矛盾，所以不存在这样一条电场线。

也可以根据点电荷电势的公式，计算两个不等量点电荷的连线上的电势，找到其变化情况。x轴上任一点处电势的大小为

利用GeoGebra画出上式的函数图像，能更加简单、方便地找出电势的极值点（图3）。通过极值点工具，可以发现在负电荷右侧有一个极值点，即图3中的B点。取无限远处电势为零，从图中能看出，从负电荷至无限远的位置，电势先增大后减小，所以不存在一条沿着x轴直接终止于负电荷的电场线。

图3 q1=2 C，q2=-1 C的U-x图像

那么，实际的电场线到底是怎样的呢？

3 两个不等量点电荷的电场线

仍以两个点电荷连线为x轴，相距2a的两个点电荷的电场线方程为［1］

如果不加限制，电场线有无数条，其中不同的c对应了不同的电场线，经过电场中某一确定点的电场线与某一个c值相对应。由（4）式，同样可利用GeoGebra画出上式的函数图像。

在GeoGebra中输入电场线方程，令q1=2 C，q2=-1 C。设置滑动条c，拖动这个滑动条即可改变c值，便能显示对应的电场线。使用追踪功能，可以同时显示不同c值对应的电场线，适当设置滑动条c变化的步长，得到的图像如图4所示。

图4 q1=2 C，q2=-1 C的不等量点电荷电场线

图4中并没有图1所示的看似从无限远发出、终止于负电荷的一条电场线，且只画出了部分电场线。精细调节c值的变化，发现在c=1附近，可以得到如图5中虚线所示的两条特殊的电场线。乍看起来，其中一条电场线像是闭合的曲线，另一条则像是从负电荷出发一直到无限远的射线。可以证明，在数学上，虚线上的点均满足c=1时的电场线方程，且两线的交点，正是场强为零的点。那么，在物理上，这是否表示存在虚线所示的电场线？

根据静电场的基本性质，静电场是有源无旋场，其电场线不可能是闭合曲线。而且，由图5中的电场线，是不是说电场线可以相交？以上这些矛盾该如何解释呢？

关于图5中的特殊电场线，有两种不同的处理方式。一种方式是，回避这条特殊的电场线。图5中虚线的交点这样的点是电场中的奇点，过奇点不能画出电场线［2］。我们熟悉的两个等量点电荷连线的中点，就是一个奇点。不少大学、中学教材及资料中给出的两个等量正点电荷电场线图像［3-5]（图6），就是这样处理的。

图5 q1=2 C，q2=-1 C在c=1附近的电场线

图6 两个等量正点电荷电场线画法一

另外一种方式是画出奇点附近的电场线。有些教材给出的两个等量正点电荷电场线图像如图7所示［6-7］。那么，图7中两电荷连线的中点处是电场线的交点吗？回答是否定的。这是一个微妙的问题，需要用到较深的数学知识，本文不予深入讨论［6］。

图7 两个等量正点电荷电场线画法二

这两种处理方式画出的电场线，均能大致描述电场中电场强度的大小和方向，而不违背静电场的基本规律。在第一种处理方式中，过奇点不能画出电场线，从而避免了电场线形成闭合曲线以及电场线相交于奇点的情况发生。而在后一种处理方式中，电场线除了起始于（或终止于）电荷处之外，还可以起始于（或终止于）场强为零的点［6］，同样不会发生电场线形成闭合曲线以及电场线相交于奇点的情况。

4 反思和建议

上面的两种处理方式，同样适用于两个不等量点电荷的电场线图像。对于q1=2 C，q2=-1 C这样的两个不等量异种点电荷的电场线图像，也可以画出图5中虚线处的电场线。但要注意，q2右侧附近中央的电场线并非直线，而且也不是直接延伸至无穷远。

但是对于高中生来说，这种画法恐怕不易理解，而且也不是教学重点。因此，建议采用另一种方式处理，不必画出这几条电场线。对于两个不等量异种点电荷的电场线图像，可以按照下面例3中的方式，选择适当的间隔，画出电场中几条电场线。只要能准确表达电场中的场强分布，使学生能够判断电场中某点场强的大小及方向即可，其他包含奇点的复杂电场的电场线，可以照此处理。

例3（2009北京高考）某静电场的电场线分布如图8所示，图中P、Q两点的电场强度的大小分别为EP和EQ，电势分别为UP和UQ，则（ ）

图8 某静电场的电场线分布

A.EP＞EQ，UP＞UQB.EP＞EQ，UP＜UQ

C.EP＜EQ，UP＞UQD.EP＜EQ，UP＜UQ