双极值模糊子格

刘春辉, 白彦辉, 秦学成

(1. 赤峰学院 教育科学学院, 内蒙古 赤峰 024001; 2. 赤峰学院 数学与计算机科学学院, 内蒙古 赤峰 024001)

1 引言与预备知识

格[1-2]作为一类重要的偏序结构,其理论已经深入到了数学的各个分支,在诸如代数学、拓扑学、数理逻辑和概率论等众多领域都有广泛的应用.因此,关于格理论问题的研究也一直是国内外研究者关注的重要领域.模糊集理论由Zadeh[3]于1965年创立,至今,该理论已经在数学及与数学密切相关的模式识别、控制、优化和决策等领域得到了广泛应用.随着社会的进步以及人类思维能力和认知水平的不断提高,人们日益认识到模糊集在改变传统二值观的同时却忽视了事物的两极性.为了弥补这一不足,1994年,Zhang[4]首次将不相容两极性引入模糊集理论中,提出了双极值模糊集(Bipolar fuzzy sets)概念,简称BF-集.之后,Zhang等[5]就BF-集理论对传统模糊集理论的突破给予了充分的肯定.自此,众多学者纷纷加入到了BF-集理论及其应用研究的行列,推动了这一理论的不断成熟和完善.

近年来,人们将双极值模糊集的思想方法成功应用于抽象代数和逻辑代数问题的研究,进一步拓展了双极值模糊集的应用领域[6-12].例如,2011年,Akram[7]提出了双极值模糊图的概念并研究了其性质和刻画.2012年,Majunder[8]提出并刻画了Γ-半群的双极值模糊Γ-子半群.2015年,Mahmood等[9]利用双极值模糊h-理想刻画了Hemi-环.2017年,Jana等[11]研究了双极值BCI/BCK代数的性质.2019年,笔者提出并研究了否定非对合剩余格的双极值模糊理想问题[12].为了进一步以全新的视角揭示格的内部结构特征、丰富格理论的研究内容并拓展BF-集的应用范围,基于上述工作,本文将BF-集的概念和运算与格结构相结合,引入双极值模糊子格的概念并研究它们的性质，获得了一些有趣的结论.

为叙述方便,首先给出关于格和双极值模糊集的一些基本概念.

定义 1.1[1-2]设(L,≤)是一个偏序集,如果L中任意2个元素x、y都有上确界x∨y和下确界x∧y,则称(L,≤)(或简称L)为一个格.

定义 1.2[1-2]设L、M是2个格,f:L→M是映射,如果对任意的x,y∈L都有f(x∧y)=f(x)∧f(y)且f(x∨y)=f(x)∨f(y),则称f为格同态或简称为同态.若格同态f为单射(满射),则称f为格单(满)同态；若格同态f为双射,则称f为格同构.

定义 1.3[4]设X是一个非空集合(论域),记：

J[0,1]={μP|μP:X→[0,1]}，

J[-1,0]={μN|μN:X→[-1,0]}.

是X上的一个双极值模糊集,简称BF-集,简记为

2 双极值模糊子格的定义与性质

本节给出双极值模糊子格的定义并考察其性质.

则称A是L的一个双极值模糊子格,简称A是L的一个BF-子格.记由L的全体BF-子格构成的集合为BFSL(L).

例 2.1设L={0,a,b,c,d,e,f,1},其Hasse图如图1所示.

图 1 格L的Hasse图

表 1

特别地,若

则A∩B和A∪B分别定义如下:

证明因为

所以对任意λ∈Λ有Aλ∈BFSL(L).任取x,y∈L,由(BFSL1)得：

表 2

这是因为：

定理 2.2设L是格,

且对任意的α,β∈Λ有Aα⊆Aβ或Aβ⊆Aα，则

证明因为

所以对任意λ∈Λ有Aλ∈BFSL(L).任取x,y∈L,断言:

3 BF-子格的同态像与原像

其中f-1(y)={x∈L|f(x)=y},称f[A]为A在f下的像.

故f-1[B]满足(BFSL1).类似可证

故f-1[B]亦满足(BFSL2).因此,由定义2.1得

y1∧y2=f(x1)∧f(x2)=f(x1∧x2),

从而由f-1[B]∈BFSL(L)及(BFSL1)得:

故B满足(BFSL1).类似可证

证明设A∈BFSL(L)且具有(sup,inf)-性质.任取y1,y2∈M,则由f:L→M是格满同态及A具有(sup,inf)-性质得,存在x1,x2∈L使

x1∈f-1(y1),x2∈f-1(y2)

故由A∈BFSL(L)及(BFSL1)得:

4 结束语

众所周知,格既是代数学的研究对象,又是偏序结构的自然产物，所以其理论和应用研究一直深受代数领域和序结构领域专家学者们的关注.本文将BF-集理论应用于格结构研究,引入了格的BF-子格的概念并考察其性质特征,证明了BF-子格的BF-交集、同态像和同态原像也是BF-子格.同时,给出了BF-子格的BF-并集成为BF-子格的条件.这些结论为进一步认识格的内部结构提供了一个新的视角和途径,进一步拓展了BF-集的应用范围和格理论的研究思路.

致谢赤峰学院一流扶持学科(教育学、数学及计算机科学与技术)建设项目对本文给予了资助,谨致谢意.