浅埋隧道衬砌局部渗漏渗流场解析研究

张天宇

(大连海事大学,辽宁 大连 116026)

0 引言

近年来，随着我国轨道交通事业的快速发展，有关隧道渗流场的研究越来越受到关注。隧道渗流场会与隧道围岩应力场和隧道围岩温度场发生耦合，从而影响隧道衬砌内部应力[1]。当渗流与应力单独耦合时，甚至还会发生涌水等重大地质灾害[2]。隧道渗流还会对软土隧道产生影响，可能会使隧道地表沉降以及地层部分土壤组成物损失[3]。在隧道工程中，渗流分析受土壤渗透性质、隧道衬砌防渗性质[4]以及地表水头取值等一系列因素影响，其中隧道衬砌渗漏对隧道渗流场的影响较大，所以部分衬砌渗漏情况下的隧道渗流场具有重要研究意义。

目前，对于隧道渗流场的研究方法主要有数值法、模型试验法和解析法。科研人员利用数值法和模型试验，已经对隧道渗流场有了较为深入的研究[5-8]。

而解析法则由严谨的公式导出，可使分析结果更直观精确，有利于结果的对比与评估，便于深入研究。国内外学者对隧道渗流场在不同的工况条件下，用不同的方法进行了解析研究。镜像法对于解决具有对称性的渗流解析问题具有重要意义。李鹏飞等[9]利用叠加原理以及综合镜像法，得出了考虑衬砌时平行四孔隧道渗流场的解析解；张冶国等[10]把镜像法与复变函数理论相结合，得出了邻近补水断层的水头分布解析式。相较于镜像法而言，保角变换可以解决复杂边界条件下的渗流问题。杜朝伟等[11]根据无线含水层竖井理论以及保角变换法，得出了隧道的衬砌水压力计算公式；ZHANG等[12]使用保角变换法，得出了在非达西渗流条件下的带衬砌隧道渗流场解析解；PARK等[13]以保角变换法为基础，把半无限地层映射为圆环，从而得出隧道渗流场解析解在不同边界渗流条件下的情况。

此外，还有诸多解析方法，赵建平等[14]采用双极坐标来描述等势线，得出了富水地区隧道渗流场的解析解。谢寒松等[15]把地下水水力学理论以及复变函数反演变换作为基础，得出了充水岩溶隧道的渗流场解析解。然而，这些解析研究大多将隧道衬砌模型理想化，很少考虑隧道衬砌特定角度渗漏水对浅埋隧道渗流场的影响。

针对上述研究现状，本文对浅埋圆形隧道部分衬砌渗漏条件下的渗流场进行了解析研究。本文应用保角变换，把非齐次边界条件下的二维稳态达西渗流方程转换到圆环坐标系下，在MATLAB软件中得到圆环坐标系下的水头空间函数后再转换回原直角坐标系，从而得出隧道衬砌渗漏条件下的隧道渗流场解析解，与ANSYS中进行的仿真模拟结果吻合较好。通过对本文解析解进行详细的参数分析，发现解析解结果受隧道半径、隧道埋深、地表常水头以及隧道衬砌渗漏部位的圆心角度等因素影响。本文参数分析的结果对实际隧道衬砌渗漏问题的分析有一定意义。

1 计算模型及假设

对于大多数三维隧道的达西渗流问题，由于其长度尺寸远大于平面尺寸，故近似按照平面应变[16]问题来求解其横截面的稳态渗流问题，建立的二维浅埋圆形隧道横截面渗流模型见图1。

图1中，H为地表常水头的取值。隧道中心到地表的距离为h，隧道半径为r，C点是对应隧道极角为ϑ处的衬砌单元，隧道衬砌位于方位角δ处的对应圆心角为α处的劣弧AB漏水，其余角度处衬砌完好。

在模型土体(x,y)处，二维稳态达西渗流方程为：

(1)

其中，φ(x,y)为位置坐标(x，y)处土体单元水头。

在地表处有边界条件：

φ(x,y)∣y=0=H

(2)

在隧道衬砌渗漏水的AB劣弧部分：

(3)

在隧道衬砌不漏水的AB优弧部分：

φ(x,y)∣x2+(y+h)2=r2=-h+rsinθ

(4)

在以下计算中采取如下假定：不考虑地表水头随着隧道衬砌渗漏水过程的变化；不考虑土层各高度处渗流性质的差异；不考虑隧道的漏水衬砌部分与不漏水衬砌部分连接处的突变性；不考虑隧道衬砌与渗漏水体接触后渗漏性质的变化；隧道渗漏水部分的水头等于其位置水头；隧道非漏水部分在其表面的水头函数法向梯度为0。

2 模型求解

2.1 保角变换

将图1中的直角坐标系通过如下保角变换[17]式转换到图2的圆环坐标系中：

(5)

图2中，除去图1中已有标识外，A′,B′和C′点分别是原直角坐标系中A,B和C点保角变换后在圆环坐标系中对应的点，而原直角坐标系中ϑ,δ以及角α则分别对应保角变换后圆环坐标系中的θ，Ω以及ε角。

2.2 渗流方程求解

由坐标转换式(2)，得到方程(1)在圆环坐标系中的表达形式为：

(6)

由数学物理方法[18]中的分离变量法，可得方程(3)的通解为：

(7)

相应的边界条件式(2)～式(4)变为：

(8)

将式(8)中的第一式代入式(7)后，由圆环坐标系中达西渗流方程的对称性可得：

(9)

采用边界配点法[19]求解圆环坐标系下的方程(6)。对于隧道衬砌漏水的AB劣弧以及不漏水的AB优弧部分，沿隧道衬砌逆时针的方向选取M个控制点，其中有m个控制点落在AB劣弧部分，有(M-m)个控制点落在优弧部分。

对落在AB劣弧部分的m个控制点，将式(8)中第二式代入式(7)后得：

(10)

对落在AB优弧部分的(M-m)个控制点，将式(8)中第三式代入式(7)后得：

(11)

将式(7)的无穷级数项数取前N项来进行后续计算，联立式(10),式(11)，可得广义矩阵方程如下所示：

[D]∣(M,2N+1)[Φ]∣(2N+1,1)=[H]∣(M,1)

(12)

式(12)中级数的前N项系数矩阵[Φ]∣(2N+1,1)、相应的左乘矩阵[D]∣(M,2N+1)以及水头矩阵[H]∣(M,1)分别满足：

[Φ]∣(2N+1,1)=[B0,A1,B1,…，AN,BN]T

(13)

(14)

[H]∣(M,1)=[0,…，0，hr(θm+1)-
H,…,hr(θM)-H]

(15)

在计算过程当中选取隧道衬砌计算点总数M远大于所取级数项系数2N+1，以保证级数系数求解的精度。由式(13)可得级数的系数矩阵[Φ]∣(2N+1,1)满足：

[Φ]∣(2N+1,1)=[D]-1∣(M,2N+1)[H]∣(M,1)

(16)

将式(16)中相应的级数系数代入式(7)可以得到圆环坐标系下的稳态渗流方程解。通过式(5)中的保角变换便可得地面坐标系中的稳态渗流方程通解。

3 解析解验证

为验证本文解析解的正确性，令隧道中心到地表的距离为h=20 m，隧道半径r=4 m。选取隧道衬砌控制点个数M=3 600，并且沿着隧道衬砌逆时针均匀分布。隧道衬砌漏水部分对应的圆心角α=20°，模型地表水头高度H=0 m。经过试算，当式(6)中级数项数取N=17时，解析解结果收敛，并且与下文ANSYS有限元软件的模拟结果吻合良好。

在ANSYS有限元软件模拟的过程当中，选取平面模型矩形尺寸为50 m×50 m，矩形除上方边界设置为常水头外H=0 m，其余三面均设置为不透水及水头函数的导数在其余三面为0。

3.1 水头函数验证

选取隧道渗漏水的衬砌中心分别位于图1中δ=80°,35°,-10°,-55°处，分别绘制出相应衬砌渗漏水位置的水头函数与ANSYS有限元软件的计算结果对比如图3所示。

由图3可知，4种角度的隧道渗漏解析解水头与ANSYS有限元软件模拟的相应隧道衬砌工况的结果在远离隧道衬砌的部分十分符合，在隧道衬砌漏水部分的附近有些许差距，但也吻合较好。随着隧道衬砌漏水部分距离地表越深，其附近的水头等值线数值越小，这是符合初始条件式(11)的物理规律的。

3.2 水压力函数验证

取重力加速度为g=10 m/s2,水体密度为ρ0=103kg/m3，忽略水体渗流时的动能，以大气压强为计算零点，由伯努利方程，可得水头为φ0处的土体渗流水压力p(φ0)满足以下方程：

p(φ0)=ρ0gH-ρ0gφ

(17)

联立式(7)和式(17)可得隧道横截面稳态渗流时任一点水压力。

选取与图3中相同的角度δ=80°,35°,-10°,-55°使衬砌部分渗漏水，分别绘制出相应衬砌渗漏水位置的水压力函数与ANSYS有限元软件的计算结果对比如图4所示。

由图4可知，4种角度的隧道渗漏解析解水压力与ANSYS有限元软件模拟的相应隧道衬砌工况的结果在远离隧道衬砌的部分十分符合，在隧道衬砌漏水部分的附近有些许差距，但也吻合较好。随着隧道衬砌漏水部分距离地表越深，其附近的水压力等值线数值越大，这是符合式(17)的物理规律的。

3.3 三孔渗流模型求解

为进一步验证本文的解析解对于隧道衬砌渗漏部分的敏感性，现选取隧道衬砌上每隔120°的处于正三角形三个顶点上的3个渗漏点，每个渗漏点对应的圆心角仍为α=20°。所绘制出的解析解水头与水压力等值线与ANSYS有限元软件对比如图5所示。

由图5可知，在正三角形顶点处均渗漏水的情况下，本文水头与水压力的解析解均与ANSYS有限元软件模拟的相应隧道衬砌工况的结果较为吻合。随着隧道衬砌漏水部分距离地表越深，其附近的水头等值线数值越小，水压力等值线数值越大，并且仍然呈现出左右对称的趋势。由此可见，本文无论是水头还是水压力的解析结果对于隧道衬砌多处漏水的情况有较高的灵敏度，这也更好地验证了本文解析解的正确性与可靠性。

4 参数分析

为对本文解析解进行进一步的参数分析，采用控制变量法，分别改变模型条件中的隧道半径、隧道埋深、地表水头以及隧道衬砌渗漏水的角度，在此过程当中其他参数不变，选取隧道拱顶中心渗漏的情况分析如下。

4.1 隧道半径对渗流水头的影响

选取隧道半径分别为r=3 m,4 m,5 m，保持其余变量不变，绘制出3种隧道半径条件下的隧道横截面水头等值线如图6所示。

分析图6可知，随着隧道半径的增加，相同数值的水头线逐渐向隧道外围正法线方向移动。在半径增幅相同的情况下，半径基值越大，水头等值线向外移动的幅度越小，这为同一地质条件下的变截面隧道渗流分析提供了参考。

4.2 隧道埋深对渗流水头的影响

选取隧道中心到地表的距离分别为h=19 m,20 m,21 m，保持其余变量不变，绘制出三种隧道埋深条件下的隧道横截面水头等值线如图7所示。

分析图7可知，随着隧道埋深的增加，在隧道拱顶一定范围内，相同数值的水头线逐渐向隧道外围负法线方向移动。随着与隧道拱顶竖直直线夹角的增加，相同数值的水头线逐渐变化至相交，最后向隧道外围正法线方向移动。在半径增幅相同的情况下，半径基值越大，水头等值线向外移动的幅度越小，为不同海拔的隧道横截面渗流分析提供了基础。

4.3 地表水头对渗流水头的影响

选取地表水头分别为H=0 m,1 m,2 m，保持其余变量不变，绘制出三种地表水头条件下的隧道横截面水头等值线如图8所示。

分析图8可知，随着地表水头的增加，相同数值的水头线向隧道外围负法线方向大幅移动。这为纵向处于非水平地表水流的隧道横截面渗流分析提供了基础。

4.4 隧道衬砌漏水角度对渗流水头的影响

选取隧道拱顶中心渗漏的角度分别为α=20°,25°,30°，保持其余变量不变，绘制出3种隧道拱顶中心渗漏角度条件下的隧道横截面水头等值线如图9所示。

分析图9可知，随着隧道拱顶中心渗漏角度的增加，相同数值的水头线向隧道外围正法线方向移动，在隧道拱顶正上方，3种隧道拱顶渗漏角度相同位置的水头差别不大。随着与隧道拱顶竖直直线夹角的增加，不同拱顶渗漏角度的水头等值线差别逐渐增大，为同一隧道不同拱顶渗漏情况下的横截面渗流分析提供了基础。

5 结论

针对浅埋圆形隧道部分衬砌渗漏条件下的稳态渗流场，本文采用保角变换，结合极坐标条件下拉普拉斯方程的级数解，利用MATLAB的广义矩阵运算求解出级数解中相应的系数，得出了隧道衬砌渗漏条件下的渗流解析解，并得出了以下结论:

1)在不同隧道衬砌渗漏条件下，本文用MATLAB软件实现的稳态渗流解析解的水头函数和水压力函数均与ANSYS有限元软件的模拟结果较为吻合，解析精度较高。

2)本文的解析解相对于如ABAQUS，PALXIS以及ANSYS之类的有限元软件而言，具有更高的运行效率，在普通办公电脑上用MATLAB得出解析解计算结果只需4 s左右。并且只要输入相应的模型计算参数，即可得出隧道稳态渗流水头和水压力函数在任意处的具体取值，相比于有限元软件从建模到得出结果的一系列过程来说更为简洁、通用。

3)对本文模型的隧道半径、隧道埋深、地表常水头取值以及隧道衬砌渗漏部分对圆心角进行了一系列详细的参数分析，讨论了在各自变量变化时相应的渗流水头函数的变化趋势，并且给出了各个参数分析的结果对相应工况条件下隧道渗流场分析的意义。

4)将本文模型的土体条件进行更改，便可以在保角变换作用下求出在多层土体中的隧道渗流场解析解。因此，本文模型的适用范围较为广泛。