求解二面角问题的两个“妙招”

苏亚亚

二面角问题经常出现在立体几何试题中，此类问题不仅考查同学们对立体几何中二面角知识的掌握程度，还考查了运算与直观想象能力.求解二面角问题主要有两个“妙招”.

一、巧用定义

二面角的大小通常用二面角的平面角的大小来表示.运用定义法求解二面角问题，需根据二面角的平面角的定义，在二面角的棱上任取一点，并过该点在两个半平面内作垂直于棱的两条直线，则这两条直线所夹的角即为二面角的平面角.最后借助几何知识，如线面垂直的性质定理、正余弦定理、勾股定理等求得平面角的大小，即可求出二面角的大小.

運用定义法求解二面角问题，必须从图形中找到突破口，即根据图形的特点和二面角的平面角的定义，求作或确定二面角的平面角.再通过转化，将空间中的几何关系转化到平面内，借助平面几何知识求得二面角的平面角的大小.

二、巧构向量

向量法是解答立体几何问题的常用方法.在求解二面角问题时，首先要根据图形的特征，建立合适的空间直角坐标系，得到相关点的坐标；再根据线面垂直的判定定理，分别求出两个半平面的法向量，那么二面角即为两个法向量的夹角或其补角.

通过建立空间直角坐标系，便可将几何问题转化为向量运算问题，运用向量的数乘运算、数量积公式即可求得二面角的大小.但要注意的是，建立空间直角坐标系的方法不同，所求的点的坐标和运算过程会有所不同.为了便于计算，要让更多的点在坐标轴上.

相比较而言，定义法的适用范围较广，向量法虽然思路较为简单，但解题过程中的运算量较大.同学们在解题时，可根据解题需求选择最佳的方案，以提升解题的效率.

（作者单位：甘肃省陇南市宕昌县第一中学）