直面评价体系?摇 优化数学教学

闻君

［摘  要］ 《中国高考评价体系》对选拔高素质创新人才具有指导意义. 文章以恢复高考后的数学能力考核六次变革情况为起点，以“任意角的三角函数”的教学为例，从以下三方面谈如何直面评价体系，优化数学教学：设定教学目标，明确教学内容；实施教学设想，揭露设计意图；深入总结反思，提出教学感悟.

［关键词］ 高考；评价体系；三角函数

根据国家新一轮高考改革的需要，教育部考试中心制定了《中国高考评价体系》（简称“评价体系”），该体系以选拔高素质创新人才为基准，确立了“一核”“四层”“四翼”的框架（见图1），为优化高中数学教学明确了方向［1］.

研究背景

近四十年来，我国数学高考发生了多次变革，对学生数学能力的考查要求越来越明确、具体与深入. 每一时间段所对应的能力考核要求虽有所区别，却又环环相扣、逐渐完善. 如图2所示，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（简称“新课标”）的颁布与评价体系的实施，明确了学科素养与核心素养的关系［2］. 基于此背景实施数学教学可强化学生对知识的理解与应用意识，达到“减负增效”以及提升学生数学学科核心素养的目的.

设定教学目标，明确教学内容

随着高考评价体系的完善，对课堂教学提出了较高的要求. 从单元教学的角度来看，“比”是任意角的三角函数的本质特征. 从学情来看，学生在之前接触过函数、指数函数、对数函数等相关知识的研究方法、分析过程、刻画方式，因此学生有一定的基础.

1. 设定教学目标

基于学情与教学内容的特点，本节课教学的主要目标为：带领学生从实际情境中抽象出单位圆，并从单位圆与角的终边交点的唯一性中建构“任意角的三角函数”的概念，类比并验证锐角三角函数与任意角三角函数的异同点，探寻其兼容性，以例题强化学生对三角函数相关知识的认识，培养学生的抽象素养.

2. 明确教学内容

从教学内容来看，将单位圆教学放在弧度制教学中进行，从一定程度上分散了本节课教学的难点. 如果带领学生从锐角三角函数出发，先探寻出单位圆的定义，而后抽象出任意角三角函数的概念，教学容量与难度都比较大，对学生的思维能力要求较高，学生在此过程中容易出现思维卡壳现象.

单位圆教学，要突出以下内容：①将三角函数的“周期性”凸显出来；②揭露任意角三角函数的知识结构；③教学流程要与三角函数的发展史相结合；④从发展的角度来实施教学，为后续学习奠定基础. 从学生思维的角度来说，要完成上述内容，确实需要花费不少时间和精力.

为了让学生更好地建构与内化任意角三角函数的知识，教师可带领学生从“角的终边与单位圆交点的坐标”开始探索与分析，让学生明晰任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，不论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的.

以上教学内容与学生接触过的函数概念遥相呼应，既能揭露三角函数所存在的函数特性，又能彰顯数学知识前后的连贯性和系统性. 而后借助一道证明题，引导学生自主探索与剖析终边定义法，让学生亲历证明过程，理解为什么任意角α的三角函数值只与其大小相关，与点P在其终边的位置毫无关系.

实施教学设想，揭露设计意图

1. 生活情境，导入主题

教学目标与教学内容一旦确定后，则进入实施环节. 本节课，教师先借助多媒体展示指数函数、幂函数、对数函数等不同函数的模型与应用情况，而后呈现出一幅摩天轮图，要求学生观察该图，思考用哪个函数模型可以刻画摩天轮运动. 学生经过思考与交流，一致表示在他们的认知中不存在能够刻画摩天轮运动的函数模型. 在此基础上，经过师生积极互动后一致认为，需要引入一个新的函数模型来刻画摩天轮运动，于是教师趁机揭露本节课的教学主题——三角函数.

设计意图 一方面，数学是从生活实际中抽象而来的. 摩天轮的引入正是为了让学生体验“数学源于生活且服务于生活”的理念，为帮助学生形成用函数解决问题的能力奠定基础. 另一方面，摩天轮具有周而复始旋转的特点，它和任意角三角函数的性质有一定的相关性，引入摩天轮不仅能吸引学生的注意力，还能借机培养学生的抽象素养，让学生从摩天轮这个生活实际中抽象出单位圆的概念，为接下来研究三角函数奠定基础.

2. 借助例题，建构概念

在弧度制下，角的范围可以扩展到全体实数. 教材中呈现的概念虽然语言精练、严谨，但对于学生而言就是一串数学符号，理解起来比较困难. 若借助例题探索与问题驱动，常常能让学生自主发现、直观认识相应的概念，使学生形成长时记忆的同时也能为后续研究类似问题夯实基础.

如图3所示，以单位圆的圆心O为原点，射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为（1，0），点P的坐标为（x，y）. 射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.

追问1：这几种情况下，点P的坐标是唯一且确定的吗？

追问2：一般情况下，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标是唯一且确定的吗？

经过以上几个问题的探索，学生一致认为：任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的. 所以，点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数. 经过总结和完善，给出以下定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y）.

正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数.

设计意图 研究数学对象时，要揭示其本质. 函数本质的研究在本节课至关重要，尤其要让学生将函数的一一对应关系烂熟于心. 此处，教师借助例题引导学生明晰单位圆上点P的横坐标x、纵坐标y与角α为一一对应关系，因此它们都是角α的函数. 在此基础上，排除=tanα无意义的取值，明晰单位圆上点P的纵坐标y与横坐标x的比值与角α也是一一对应的关系，确定正切函数的定义. 所以，例题的探索促使三角函数定义的产生.

3. 适当引导，辨析概念

师：之前我们在初中阶段就接触过锐角三角函数，大家思考一下，用锐角三角函数的定义所获得的三角函数值与本节课用任意三角函数的定义所获得的三角函数值有没有什么联系？

学生合作交流，获得结论：借助相似三角形的性质，发现通过锐角三角函数的定义所获得的三角函数值等于本节课用任意三角函数的定义所获得的三角函数值.

设计意图 将本节课教学内容与学生原有认知结构中的锐角三角函数进行类比，促进学生自主验证锐角三角函数满足任意角三角函数的特征，发现两者定义的兼容性，让学生切身体会数学知识的系统性特征.

4. 实际应用，深化理解

任何概念、定义、法则等的学习成效最终都体现在实际应用中. 想要深化学生对概念内涵与外延的理解，就必须带领学生从知识的实际应用出发，促进学生思维灵活性、深刻性与严谨性的发展.

师：通过证明过程，大家有什么发现吗？

生4：不论点P的位置在哪里，三角函数的值都不会因此发生改变.

设计意图 通过例题的思考，让学生充分体验到三角函数值仅仅与角的大小有关，与点P在角的终边上的位置毫无关系.

关于“角α终边上的点并不在单位圆上，该怎样获得它的三角函数值”这个问题，教师若将它作为课后自主探究内容供学生思考，可能难以达到理想的效果；而将它放在课堂中作为例题让学生探索、证明，可以进一步深化学生对三角函数定义的理解.

5. 立足反思，形成套路

在教学中，教师带领学生从摩天轮这个生活实际出发，鼓励学生自主抽象出任意角三角函数模型，又引导学生结合单位圆、相似三角形、直角三角形等已有知识来建构新知识，有效提升了学生的数学抽象素养与直观想象素养，为学生数学核心素养的发展奠定了基础.

课堂尾声，教师要求学生做如下反思：①说一说本节课咱们学了哪些内容，应用了哪些数学思想方法？②与我们学过的哪些知识具有怎样的关联？③通过本节课的学习，你有什么体会？

设计意图 引导学生通过教学内容、思想方法等的回顾与提炼，为新旧知识建构桥梁，实现知识的正迁移. 心得体会的总结为后续研究类似问题提供了方法指导，为形成研究“套路”奠定了基础.

深入总结反思，提出教学感悟

1. 教学总结

基于单元教学视角与学生原有认知水平设计课堂，首先把与任意角三角函数相关的知识归类，帮助学生搭建沟通新旧知识的桥梁，促使正迁移顺利发生. 整个课堂探究活动都围绕教学主题展开，学生的思维在教师由浅入深地引导与启发下拾级而上，培养了学生的数学抽象、直观想象与数学建模等素养.

2. 教学反思

虽说课堂教学成效尚可，但课堂没有留有充足的时间与空间让学生自主作图以探寻特殊角与单位圆交点的坐标. 同时，例题教学过程中的终边定义法的证明过程，也可以进一步优化.

3. 教学感悟

课堂重点是揭露函数的本质，因此最佳的授课时机就在学生对初等函数有明确认识的基础上. 类比方式的应用，不仅能深化学生对本节课知识的认识，还能帮助学生复习与之相关的内容，让学生在类比中辨析概念，建构完整的知识结构.

从评价体系的角度来看，本节课在“核心价值、学科素养、关键能力与必备知识”上，确实做得比较到位，但关于“立德树人、服务選才”方面，还有待提高.

总之，直面评价体系是优化数学教学的上上之策，教师一定要明确“为什么考”“考什么”“怎么考”三个问题，才能从真正意义上实现“一核”“四层”“四翼”，培养社会发展需求的高素质人才.

参考文献：

［1］ 教育部考试中心.中国高考评价体系说明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］ 任子朝，赵轩. 基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径［J］. 中国考试，2019（12）：27-32.