基于有误先验融合的无源多目标定位算法*

盛金锋，李 宁，谢 威，郭 艳，余东平

（陆军工程大学通信工程学院，南京 210007）

0 引言

随着无线网络中基于位置信息的服务（location-based services，LBS）需求日益增加［1］，无源定位（device-free passive localization，DFL）［2-3］技术受到了越来越多的关注。与有源定位技术相比，无源定位技术无需目标主动发射无线信号，可应用于入侵检测、安防监控、智能感知、物联网（internet of things，IoT）［4］等场景中。基于无线传感器网络的无源定位方法主要分为4 类：1）基于几何的无源定位方法［5］；2）基于指纹的无源定位方法［6］；3）基于无线电层析成像（radio tomographic imaging，RTI）的无源定位方法［7］；4）基于压缩感知（compressive sensing，CS）的无源定位方法［8-9］。其中，基于几何的无源定位方法通过寻找被遮挡无线链路的重叠覆盖区域来估计目标位置。该方法定位精度较低，且对目标间距有限制。基于指纹的无源定位方法根据现有的指纹库和当前测量值估计目标位置，能有效提升定位性能。但是，指纹的采集以及指纹库的建立会耗费许多能量、资源。基于无线电层析成像的无源定位方法采用了计算机断层扫描技术，可以在不了解目标数量和指纹数据库的前提下定位许多目标，且定位精度较高。但是该方法中大量无线链路的建立会导致硬件、能量资源的过度消耗。基于压缩感知的无源定位方法将目标位置估计转化为位置向量的稀疏重构，所需部署的无线节点数量大大降低，且能在测量值较少的情况下获得较高的定位精度，有效利用了目标位置分布的空间稀疏性。

在基于压缩感知的无源定位方法中，通过压缩感知算法只需采集少量的测量数据就能高概率正确地估计出目标位置。LCS 方法［10］利用贪婪匹配追踪（greedy matching pursuit，GMP）算法实现稀疏重构，并证明了其稀疏表示字典满足约束等距性质（restricted isometry property，RIP）［11］。E-HIPA 方法［12］则利用自适应正交匹配追踪（adaptive orthogonal matching pursuit，AOMP）算法实现稀疏重构，该方法可在不清楚目标数量的情况下定位目标。DR-DFL方法利用变分期望最大化（variational expectation-maximization，VEM）［13-14］算法在稀疏重构的同时实现字典适配。通过自适应地调整字典元素使字典与当前定位环境特性相匹配，可有效减少字典失配问题的影响。

值得注意的是，在实际的定位过程中可通过粗定位或目标历史位置信息获取目标位置向量的先验知识。具体地，利用粗定位方法能够估计出目标可能出现的位置，因而可认定目标处在某些格点的概率大于其他格点。在无先验知识的情况下，目标在监测区域中每个位置上出现的概率均相等。而当获取了目标位置的先验知识后，可相应地增加目标出现在对应位置上的概率，从而促进目标位置估计精度的提升。但是，通过粗定位或目标历史位置信息得到的先验知识往往是不准确的，即该先验知识可能不完整或包含部分错误信息。如果将部分有误的先验知识直接用于定位，可能导致定位性能无法得到有效提升。当先验知识中包含的错误信息较多时，甚至会对位置估计过程造成严重干扰，从而降低定位性能。

为更加有效地利用部分有误的目标位置先验知识，本文在压缩感知框架下设计基于先验知识融合的无源定位算法。该算法将部分有误的先验知识融合于目标位置向量的先验分布中，通过自适应地学习先验模型中的参数，实现对部分有误先验知识的有效利用。该算法可有效避免错误信息对定位过程的干扰，同时充分利用部分有误先验知识中的正确信息提升稀疏重构性能。

1 系统模型

基于压缩感知的无源多目标定位场景如图1所示。在该定位场景中，无线节点均匀部署在定位区域四周。在定位区域内，多个目标随机分布。由于定位目标对链路的遮挡，无线节点上的接收信号强度将发生相应变化。并且，当定位目标处在不同位置时，各节点上接收信号强度的变化也将随之改变。因此，可根据多个无线节点上接收信号强度的变化量，估计目标在定位区域的位置。将定位区域划分为N 个大小相同的格点。此时，目标的位置可表示为：

图1 基于压缩感知的无源多目标定位场景Fig.1 Device-free passive multi-target localization scenario based on compressive sensing

其中，θ∈RN×1为目标位置向量。当第n 个格点上存在目标时，θn=1；否则，θn=0。定位区域中目标的个数可表示为K=‖θ‖0。

如前所述，通过粗定位或目标历史位置信息可获取目标位置向量的先验知识。该先验知识表示定位区域中某些格点上可能存在目标，即目标位置向量的某些分量非零。假设这些分量的索引为，则以较大的概率取非零值。当先验知识包含错误信息时，P 可表示为。其中，C 为正确的索引，代表先验知识中的正确部分；E 为错误的索引，代表先验知识中的错误部分。值得注意的是，在获取先验知识后，通常并不知道哪部分为错误信息。假设θ 的支撑集为，则有，且。因此，部分有误先验知识条件下的无源定位问题可转化为已知P 对θ 进行稀疏重构的问题。

基于压缩感知的无源定位中，实现目标定位的关键就是重构目标位置向量θ.为估计目标位置，首先需采集无线传感器网络中无线节点上接收信号强度的变化值，并作为稀疏重构的测量数据。图1描绘了多条无线链路的影响区域，当该区域中存在目标时，对应链路的接收信号强度将发生变化。当目标远离时，目标对该链路的影响可忽略。定位区域中共部署了M（M＜N）条无线链路，第m 条链路的接收信号强度值可表示为：

其中，Gm、Hm、Lm、ρm和dm分别表示第m 条链路上的接收增益、发射功率、信号传播衰减、路径损耗率以及链路长度。通常情况下，以上参数与目标数无关，是不变的。Sm和εm分别表示该链路上目标阴影效应导致的信号衰减以及测量噪声，其值随目标位置的变化而改变。基于上述分析，链路m 上接收信号强度的变化量可表示为：

2 基于先验知识融合的定位算法

2.1 稀疏先验模型

为诱导目标位置向量θ 的稀疏性同时融合部分有误的先验知识P，提出了3 层高斯先验模型。与传统的两层高斯先验模型不同，该模型通过第3 层的模型参数将目标位置先验知识融合到稀疏信号的先验分布中。3 层高斯先验模型如图2 所示。ε 为服从高斯先验分布的噪声向量，假设其逆方差为β，则似然函数可表示为：

图2 融合部分有误先验知识的高斯先验模型Fig.2 Fusion of gaussian prior model with partially faulty prior knowledge

在该模型中，β 为随机变量，假设其服从伽马先验分布：

其中，αn表示θn的逆方差，且，。在模型第2 层，α 为随机变量，为其分配伽马先验分布：

其中，c 和dn均为αn先验分布的参数，且d={d1，d2，…，dN}。根据式（8）和式（9）可知，当dn较大时，可诱导αn取得较小的值，从而促使θn取得较大的值。在此情况下，如果先验知识完全正确（即），则应为dn（n∈P）赋较大的值，从而诱导对应的格点取非零值。但是，实际中得到的先验知识往往包含错误信息。为有效利用先验知识中的有用信息同时减少错误信息对定位过程的干扰，将dn（n∈P）视为随机变量，并在稀疏重构过程中学习其正确的值。此外，该模型为dn（n∈Pc）赋较小的值d，从而诱导θ 的稀疏性。在模型第3 层，将视为随机变量，并为其分配伽马先验分布：

其中，g 和hn均为dn先验分布的参数，且。

2.2 基于变分贝叶斯推理的稀疏重构

本节采用变分贝叶斯推理的方法实现稀疏重构，同时通过学习随机变量dˉ的值，实现对部分有误先验知识的有效融合。在3 层模型中，观测变量为y，隐藏变量为，确定性参数为。由于后验分布难以解析求解，因此，采用变分贝叶斯推理的方法对其进行估计。具体地，z 的后验分布可表示如下：

其后验分布的参数可表示为：

将式（15）代入式（13），并忽略与α 无关的项，可得：

由于隐藏变量α 服从伽马分布，根据式（22），其后验分布的参数可表示为：

由于隐藏变量dˉ服从伽马分布，根据式（25），其后验分布的参数可表示为：

隐藏变量β、αn和d（nn∈P）的期望分别表示为、以及。设计基于先验知识融合的定位算法，如表1 所示。设定稀疏阈值μth，滤除均值μ 中较小的非零分量。根据最终得到的μ 估计目标位置。

表1 基于先验知识融合的定位算法Table 1 Localization algorithm based on prior knowledge fusion

3 仿真结果及分析

考虑在一个14 m×14 m 的目标监测区域对多个目标进行定位。仿真参数设置如下：N=784，M=56，K=9，|C|=8，|E|=2。其中，|C|和|E|分别表示先验知识中的正确信息量以及错误信息量。信噪比定义为：

在仿真实验中，信噪比的默认值设为SNR=25 dB。仿真次数T=500，第t 次仿真定位误差为：

对比该算法与多种现有定位算法的平均定位误差。参与比较的定位算法为DFL-BP、E- HIPA、DFL-BCS 以及DR-DFL。图3 所示为各定位算法平均定位误差的累积分布函数。从该图可以发现，所提定位算法的平均定位误差最低，并且其取得较小定位误差的概率较高，而取得较大定位误差的概率较低。

图3 各定位算法平均定位误差的累积分布函数Fig.3 Accumulated distribution function of average localization error of each localization algorithm

考察不同先验知识条件下所提定位算法的性能。图4 所示为不同先验知识条件下DR-DFL 方法和本文所提定位方法的性能比较。图4 中，正确信息量|C| 和错误信息量|E| 的变化区间均为［0，9］。可以看到，随着正确信息量的增多，所提定位方法的平均定位误差逐渐降低。这说明，所提定位方法可有效利用先验知识中的有用信息提升定位性能。而DR-DFL 算法由于无法利用目标位置先验知识，其定位性能不受|C|和|E|变化的影响。

图4 先验知识精度对定位性能的影响Fig.4 Effect on localization performance by prior knowledge accuracy

考察信噪比SNR 和目标个数K 对多种定位方法的影响。图5 所示是各定位算法在不同信噪比条件下的定位性能，信噪比SNR 的变化范围为［5 dB，40 dB］。由图5可发现，本文所提定位算法在所有信噪比条件下均能取得最小的平均定位误差。并且，当信噪比较低时，性能提升较大。这说明，测量噪声的大小对先验知识的学习过程影响较大。下页图6展示了各定位算法的平均定位误差与目标个数的关系，其中，目标数K 的变化范围为［3，10］，正确信息量为，错误信息量为。通过图6 可发现，随着目标个数的增加，各定位算法的平均定位误差均逐渐增大。在不同目标数条件下，所提定位算法均能取得最小的平均定位误差。并且，当目标数较大时，利用目标位置先验知识能够获取更大的性能提升。

比较了环境噪声误差变化时各定位算法的定位性能。表2 所示为各定位算法在不同噪声条件下的平均定位误差（平均超过1 000 次实验）。其中，场景1 中噪声为方差为1 的高斯白噪声，场景2 中噪声为方差为2 的高斯白噪声，场景3 中噪声为方差为4 的高斯白噪声，其余条件均相同。由表2 可看出，随着噪声方差的增大，各定位算法的定位性能有所下降，但本文所提定位算法在所有噪声条件下均能取得最小的平均定位误差。

表2 噪声误差对定位性能的影响Table 2 The effect of noise error on localization performance

4 结论

针对无源定位中目标位置先验知识的利用问题，本文设计并实现了基于有误先验融合的无源多目标定位算法。该算法将部分有误的先验知识融入目标位置向量的先验分布中，通过变分贝叶斯推理实现稀疏重构，同时学习模型参数以实现对部分有误先验知识中有用信息的利用。根据目标位置向量后验分布的均值估计目标位置。仿真实验结果表明，本文所提定位算法能够有效利用部分有误的先验知识提升定位性能。